Este documento describe los conceptos básicos de los grupos en matemáticas. Explica que un grupo consiste en un conjunto con una operación binaria que cumple con las propiedades de cerradura, asociatividad, elemento identidad e inversos. También define los subgrupos y proporciona ejemplos como los números enteros y las simetrías de un cuadrado. Además, introduce los grupos finitos y el homomorfismo entre grupos.

1. MatemáticaI UnidadNº5
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Un grupo es un nomoide (G, #) en el que todo elemento
tiene inverso. Si además se verifica la propiedad conmutativa, se
dice que el grupo es abeliano (o conmutativo). En la práctica,
cuando un grupo es abeliano la operación se denota en forma de
suma, y en caso contrario se denota en forma de producto. En el
primer caso (notación aditiva), el elemento neutro se denota por 0
(cero) y el elemento `` opuesto'' de se denota por , y en el
segundo caso (notación multiplicativa), el elemento neutro se denota
por (unidad) y el elemento `` inverso'' de se denota por .
Ejemplos:
 Uno de los grupos más familiares es el conjunto de los
números enteros «Z» que consiste en los números:
..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
 Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un
cuadrado forman un grupo llamado diédrico, y se expresa
como D4. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:
id (se mantiene
tal y como está)
r1 (rotación de
90° a la
derecha)
r2 (rotación de
180° a la
derecha)
r3 (rotación de
270° a la
derecha)

2. MatemáticaI UnidadNº5
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fv (vuelta
vertical)
fh (vuelta
horizontal)
fd (vuelta
diagonal)
fc (vuelta contra
diagonal)
Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (D4). Los vértices
se pintan y se numeran sólo para visualizar las operaciones.
 La operación identidad que lo deja todo como estaba, se
expresa como id.
 Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a la derecha,
expresadas con r1, r2 y r3, respectivamente.
 Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (fv y fh), o
respecto de las dos diagonales (fd y fc).
Subgrupo:
Si H es un subconjunto no vacío de G diremos que es un subgrupo
de G si:
1. H contiene al elemento identidad de G: .
2. la operación binaria es cerrada en H: .
3. H contiene los elementos inversos: .
La operación binaria es siempre asociativa en H ya que es asociativa
para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H
pertenecen a G.
Ejemplo:
El menor de los subgrupos del grupo <G,*> es <{e},*> donde e es
el elemento neutro para * en G, es decir el subgrupo trivial.

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Grupos finitos:
Es un conjunto de números que tiene un principio y un fin, es
decir que ese conjunto no contiene el valor infinito. Es un grupo
cuyo conjunto fundamental G tiene un número de elementos finito.
Ejemplos:
1. (0;100); [-100;500]; etc...esos son intervalos de un conjunto de
números finito.
2. Grupos de permutación
El grupo simétrico SN describe todas las permutaciones de N
elementos. Hay N! permutaciones posibles que dan el orden del
grupo. Por el teorema de Cayley, cualquier grupo finito puede ser
expresado como un subgrupo de un grupo simétricopara un
determinado entero N. El grupo alternante es el subgrupo
correspondiente únicamente de las permutaciones pares.
Homomorfismo de grupos:
En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre
grupos que preserva la operación binaria.
Dados dos grupos y la aplicación es un
homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de
elementos
donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación ( ) es la ley
de composición interna en , y la operación del lado derecho de la
ecuación ( ) es la ley de composición interna en .

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Ejemplos:
La función exponencial en un homomorfismo de grupos entre los
números reales bajo la adición y el grupo multiplicativo de los reales
no nulos (excluido el 0):
dado que
Bibliografía:
http://www.ecured.cu/index.php/Subgrupo
https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_%28matem%C3%A1tica%29
https://es.wikipedia.org/wiki/Subgrupo
https://www.youtube.com/watch?v=62e7ZsjpuYA
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Operaciones/mar
co_operaciones.htm
https://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080117160316
AAexWRL
https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_finito

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