tablas

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
UNIDAD II: LOS FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y SU EMPLEO
OBJETIVO DE LA UNIDAD:
Al final de esta unidad, el estudiante podrá conocer e identificar el uso de los factores de la
Ingeniería Económica en el cálculo económica de alternativas para la toma de decisiones.
Objetivos de Aprendizaje: Al final de esta unidad, el estudiante será capaz de:
1. Encontrar el valor numérico de un factor en las tablas, dada la notación o simbología del
factor.
2. Interpolar linealmente para encontrar el valor correcto, dado un interés y/o un número de
períodos no incluidos en tablas.
3. Calcular el valor futuro de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos
y el valor monetario de una cantidad presente.
4. Calcular el valor presente de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de
períodos y el valor monetario de una cantidad futura.
5. Calcular el valor presente de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de
períodos y el valor monetario de una serie uniforme.
6. Calcular una serie uniforme de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de
períodos y el valor monetario de una cantidad presente.
7. Calcular el valor futuro de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos
y el valor monetario de una serie uniforme
8. Calcular la serie uniforme, dado el interés y período, de alternativas que incluyen
cantidades uniformes crecientes y decrecientes.
CONTENIDO DE LA UNIDAD
Los factores de Ingeniería económica
Factor del valor presente series uniformes y del factor de recuperación de capital.
Factor cantidad compuesta series uniformes y del factor fondo de amortización.
Notación estándar de los factores y el uso de las tablas de interés.
Cálculo de valor presente, valor futuro y de serie anual uniforme
Definición de gradiente y uso del factor gradiente
Valor presente y serie anual uniforme equivalente de gradientes convencionales y trasladados.

2. UNIDAD II: LOS FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y
SU EMPLEO.
Introducción
El uso de los factores de Ingeniería Económica representa el concepto más importante tanto
para el manejo de cantidades a través del tiempo, como para la evaluaciones de alternativas
donde halla que tomar una decisión económica.
El primero y más importante paso que se debe dar al utilizar los factores y resolver problemas
de Ingeniería económica es construir un diagrama de flujo de caja donde se visualiza las
cantidades ubicadas a través del tiempo.
El diagrama de flujo de caja de cantidades, además de ilustrar más claramente el problema a
resolver, muestra de inmediato cuales factores y sus fórmulas deben utilizarse y si las
condiciones del flujo de caja presentadas permiten una aplicación directa de los factores.
Evidentemente las formulas de los factores sólo se pueden usar cuando el flujo de caja de
cantidades se presenta exactamente al diagrama de flujo para las fórmulas. Por ejemplo, los
factores de series uniformes no podrán emplearse si los pagos ocurren cada tercer año en
lugar de cada año. Por lo tanto es importante mencionar las condiciones para los cuales se
aplican el uso de los factores.
Diagrama de flujo y simbología .
Diagrama de flujo de cantidades: Permite visualizar el flujo de efectivo como
resultado de una inversión.
Sea el siguiente diagrama
0
P R = A
Simbología :
Donde:
P = Cantidad Presente o Inversión Inicial: ocurre en el punto cero o en cualquier
punto considerado como presente.
A = R = Serie uniforme de dinero de final de periodos. Deben de ser pagos
iguales al final de cada periodo.
F = Cantidad de dinero en Fecha Futura, se indica en el punto “n” o en cualquier
punto que se considere como fecha futura.
n = número de períodos
F
1 2 3 n - 2 n - 1 n

3. Factores y fórmulas de Ingeniería Económica
1. Factor Pago Único, Cantidad Compuesta ( F/P)
Este factor permite la determinación de cantidades futuras de dinero (F) que se
acumulan después de (n) años (o períodos) a partir de una inversión única (P)
con interés compuesto anualmente (o por periodo). Esto se muestra en la
siguiente figura:
P F = ?
0 n
El monto compuesto o valor futuro ( F) de una cantidad presente (P) es
dado por:
1. F = P ( F/P)
de donde la fórmula original es:
F = P( 1 + i)n
Al factor ( 1+i ) n se le llama factor de pago único cantidad compuesta y
se representa por ( F/P)
2. Factor Pago Simple, Valor Presente o Actual ( P/F)
Este factor determina el valor presente (P) de una cantidad futura (F) dada,
después de (n) años a una tasa de interés (i), esto se muestra en la siguiente
figura:
P = ? F
0 n
El valor presente ( P) de una cantidad futura (F) es dado por:

4. 2. P = F ( P/F)
De donde la fórmula original es:
P = F
(1+i)n
Al factor 1/(1+i)n se le llama factor de pago simple, valor presente y
se representa por ( P/F)
3. Factor Series Uniformes, Valor Presente ( P/A)
Este factor determina el valor presente (P) de una serie anual uniforme
equivalente (A) que empieza al final del año 1 y se extiende durante (n) años a
una tasa de interés (i), esto se muestra en la siguiente figura:
P = ?
El valor presente ( P) de una serie uniforme (A) es dado por:
3. P = A ( P/A)
de donde la fórmula original es:
P = A ( 1+i)n - 1
i(1+i)n
Al factor ( 1+i)n - 1
i(1+i)n
se le llama factor series uniformes, valor presente y se representa
por ( P/A)
A
0 1 2 3 4 5 6 n - 1 n

5. 4. Factor Recuperación de Capital. ( A/P)
Este factor produce el valor anual uniforme equivalente (A) durante (n) años de
una Inversión (P) dada cuando la tasa de interés es (i), esto se muestra en la
siguiente figura:
A = ?
P
0 1 2 3 4 5 6 n - 1 n
La serie uniforme ( A) de un valor presente (A) es dado por:
4. A = P ( A/P)
de donde la fórmula original es:
A = P ( i (1+i)n )
(1+i)n -1
Al factor ( i (1+i)n )
(1+i)n -1
se le llama factor de recuperación de capital y se representa por ( A/P)
5. Factor de Depósito de Fondo de Amortización (A/F)
Este factor produce el valor anual uniforme equivalente (A) durante (n) años de
un valor futuro (F) dado cuando la tasa de interés es (i), esto se muestra en la
siguiente figura:
A = ?
0 1 2 3 4 5 6 n - 1 n
F
La serie uniforme ( A) de un valor futuro (F) es dado por:

6. 5. A = F ( A/F)
de donde la fórmula original es:
A = F i
(1+i )n - 1
Al factor
i
(1+i )n – 1 se le llama Factor de Depósito de Fondo de
Amortización y se representa por ( A/F)
6. Factor Series Uniformes Cantidad Compuesta.
Este factor determina el valor futuro (F) de una serie anual uniforme equivalente
(A) que empieza al final del año 1 y se extiende durante (n) años a una tasa de
interés (i), esto se muestra en la siguiente figura:
A
0 1 2 3 4 5 6 n - 1 n
El valor futuro ( F) de una serie uniforme (A) es dado por:
6. F = A ( F/A)
de donde la fórmula original es:
F = A ( 1+i )n – 1
i
Al factor
( 1+i )n – 1
i se le llama Factor Series Uniforme Cantidad Compuesta
y se representa por ( F/A)
F = ?

7. EJERCICIOS RESUELTOS DE USO DE FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA
1) Dado una cantidad presente de $4,000. Encontrar su monto dentro de 10
años a una tasa de interés del 10%.
F = P (F/P, i%, n)
F = 4,000 (F/P, 10%, 10)
De tablas el Factor F/P = 2.5937
F = 4,000 (2.5937)
F = $10,374.8
2) Se gasta una suma de $2,000 hoy, se gastan $500 al final de cada año
durante 6 años, se gastan además $800 al inicio del año 3 y 5. ¿Cuál es el
Monto al cabo de 6 años, si el interés es del 6%?
P1=
2 , 0 0 0 5 0 0
F
0 1 2 3 4 5 6
8 0 0 8 0 0
F = P1(F/P, i%, n) +A (F/A, i%, n) + P2 (F/P, i%, n) + P3 (F/P, i%, n)
F = 2,000(F/P,6%,6)+500(F/A,6%,6+800(F/P,6%,4)+800(F/P,6%, 2)
Buscando los valores de los factores en tabla
F = 2,000 (1.7716) + 500 (7.7156) + 800 (1.4641) + 800 (1.21)
F = 3,543.2 + 3,857.8 + 1,171.28 + 968
F = $ 9,540.28
3) Un estudiante desea ahorrar durante 5 años para comprar una
computadora que costará $70,000, si el interés es del 4% capitalizable
trimestralmente. ¿Cuánto deberá depositar anualmente?
A = ?
0 1 2 3 4 5
7 0 , 0 0 0

8. Frecuencia de Conversión (m) = 4
Tiempo = 5 años
# de Periodos = Tiempo x m
# de Periodos = n = (5) x (4) = 20
ip = i/m = 4%/4
i p = 1%
A = F (A/F, i p%, n)
A = 70,000 (A/F, 1%, 20)
A = 70,000 (0.04542)
A = $3,179.4
4) ¿Cuanto tiempo tardará en triplicarse una cantidad si el interés es del 8%
capitalizable trimestralmente?
P
0 1 2 n - 1 n
ip = i/m = 8%/4
i p = 2%
F = P (F/P, i p%, n)
3P = P (F/P, 2%, n)
3P/P= (F/P, 2%, n)
3 = (F/P, 2%, n)
De la tabla de Factores e interpolando entre:
F/P n
2.6916 50
3.0 x
3.281 60
De la interpolación se obtiene:
n = 55.5 (# de Periodos)
# de Años = # de Periodos / m
# de Años = 55.5 /4
# de Años = 13.9 Años.
F = 3 P

9. 5) Si una inversión de $2,000 produce un ingreso de $700 al año durante 5
años. ¿Cuál es la tasa de rendimiento sobre la inversión?
7 0 0
2 , 0 0 0
0 1 2 3 4 5
P = A (P/A, i%, n)
2,000 = 700 ( P/A, i%, 5)
2000/700= (P/A, i% , 5)
2.8571 = (P/A, i%, 5)
De la tabla de Factores e interpolando entre:
P/A i%
2.9906 20%
2.8571 x
2.6893 25%
 De la interpolación se obtiene:
 i = 22.2%
6) Encuentre el valor de “A” si la tasa de interés es del 9% anual.
A = ?
A = ?
0 1 2 3 4 5
5 0
Tomando como fechar focal, el año cero tenemos:
P = A (P/A, i%, n) + [A (P/A, i%, n)x(P/F, i%, n)]

10. 50 = A (P/A, 9%, 2) + [A (P/A, 9%, 2)x(P/F, 9%, 3)]
50 = A (1.7591) + [A (1.7591)x(0.7722)]
50 = 1.7591A + 1.3584A
50 = 3.1175A
A = 50/3.1175
A = $16.039
7) Encuentre el valor de “F” si la tasa de interés es del 5% anual
2 0 4 0
0 1 2 3 4 5 6 7
F F
Tomando como fecha focal, el año cero tenemos:
F (P/F, i%, n) + F (P/F, i%, n) = A (P/A, i%, n) + [A (P/A, i%,
n)x(P/F, i%, n)]
F (P/F, 5%, 3) + F (P/F, 5%, 5) = 20 (P/A, 5%, 3) + [40 (P/A, 5%,
4)x(P/F, 5%, 3)]
F (0.8638) + F (0.7835) = 20 (2.7232) + [40 (3.546)x(0.8638)]
1.6473F = 54.464 + 122.521
1.6473F = 176.985
F = 176.985/1.6473
F = $107.44
8) Un banco otorga un préstamo por $11,000 a una tasa de interés anual del
8% y se acordó que se le pagaría en 10 cantidades iguales al final de cada
año. Dando inicio en el primer año, después de que se hubo pagado la 5ª
anualidad el banco ofrece como alternativa hacer un solo pago de $7,000 al
final del siguiente año, es decir, que ya no se harían los 5 pagos restantes
sino uno solo al final del 6 año. Determínese que opción de pago al deudor
para liquidar las ultimas 5 anualidades.
1 1 , 0 0 0 A = ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

11. 1 1 , 0 0 0 1 , 6 3 9 . 3 3 7 , 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6
P = ? 1 , 6 3 9 . 3 3
6 7 8 9 1 0
A lt e r n a t iv a " B "
Calculando la serie de pagos iguales:
A = P (A/P, i%, n)
A = 11,000 (A/P, 8%, 10)
A = 11,000 (0.14903)
A = $1,639.33
Calculando la Alternativa “B”
P = A (P/A, i%, n) + 1,639.33
P = 1,639.33 (P/A, 8%, 4) + 1,639.33
P = 1,639.33 (3.3121) + 1,639.33
P = 5,429.62 + 1,639.33
P = $7,068.95
A lt e r n a t iv a " A "
9) Un préstamo de $1,000 se esta pagando con anualidades de $80 a una tasa
de interés del 5. Un año después de hecho el préstamo se empezó a pagar,
si después de 7 pagos se acuerda que el resto de la deuda se cubrirá con
dos pagos iguales únicos al final del año 9 y 11. ¿A cuanto ascienden estos
pagos de modo que se cancele la deuda totalmente?
X X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
1 , 0 0 0
8 0
1 1

12. Tomando como fecha focal el año 11, tenemos:
eudas = Pagos
P (F/P, i%, n) = A (F/A, i%, n)x(F/P, i%, n) + x (F/P, i%, n) + x
1,000 (F/P, 5%, 11) = 80 (F/A, 5%, 7) + x (F/P, 5%, 2) + x
1,000 (1.7103) = 80 (8.142)x(1.2155) + x (1.1025) + x
1,710.3 = 791.7 + 2.1025x
2.1025x = 1,710.3 – 791.7
2.1025x = 918.6
x = 918.6/2.1025
x = $436.91
10)Una persona compró un equipo de maquinaria en $24,000 y acordó para
pagarlo en 36 mensualidades iguales a una tasa de interés del 1%
mensual. Un plan de pago Alternativo consiste en 2 anualidades de
$4,218.5 al final de 1 y 2 años y ya no pagar las últimas 12
mensualidades. Determínese cual es el mejor plan de pago.
2 4 , 0 0 0 A = ?
0 1 2 3 4 3 3 3 4 3 5 3 6
7 9 7 . 0 4
0 1 2 3 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 2 4
4 , 2 1 8 . 5 4 , 2 1 8 . 5
Calculando el Plan A, tenemos:
A = P (A/P, i%, n)
A = 24,000 (A/P, 1%, 36)

13. A = 24,000 (0.03321)
A = $797.04
Calculando el Plan B, tenemos:
Tomando como fecha focal, el 24ª mes, tenemos:
F = A (F/A, i%, n) + P (F/P, i%, n) + P
F = 797.04 (F/A, 1%, 24) + 4,218.5 (F/P, 1%, 12) + 4,218.5
F = 797.04 (26.9735) + 4,218.5 (1.1268) + 4,218.5
F = 21,498.96 + 4,753.41 + 4,218.5
F = $30,470.87
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
GUIA DE PROBLEMA

14. USO DE FACTORES
1.- Resuelva suponiendo un interés compuesto del 9 % anual:
a) ¿Qué deuda actual podrá liquidarse efectuando pagos de ¢ 100 al final de cada año por 13
años?
b) ¿Qué pago el día de hoy seria equivalente a una pago de ¢ 1,500 que vence dentro de 3
años?
c) ¿Cuál es el valor futuro equivalente de ¢ 5,000 a partir de hoy a 35 años?
2.- Si la familia Urrutia desea tener en su cuenta de ahorro ¢ 18,000 dentro de 5 años para
comprar un auto. ¿Cuánto dinero tendría que depositar anualmente comenzando dentro de
una año, si la tasa de interés es del 6 %?.
3.- ¿Cuánto dinero se acumularía en 14 años, si se hicieran depósitos anuales de ¢ 1,290
comenzando dentro de un año a una tasa de interés del 5%?.
4.- Una persona desea ahorrar durante 5 años para adquirir un rancho en la playa, que costará ¢
50,000. Si el interés es del 12 % capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto deberá depositar
anualmente?
5.- La Srta. Petrusca solicito un préstamo al Banco Cuscatlán por ¢ 10,000 y prometió pagarlos
en 36 mensualidades iguales, cada fin de mes. ¿Cuál es el monto de sus pagos si la tasa de
interés des del 12%?
6.- ¿Cuánto debe depositar un padre cada 3 meses al 4 % de interés capitalizable
trimestralmente para lograr una suma global de ¢ 10,000 al cabo de 15 años para la
educación de su hijo?.
7.- Determine el valor anual de las series uniformes detalladas a continuación. Suponiendo un
interés del 4 %.
800 1000 8000 R=? 2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

15. 8.- Una persona deposita ¢ 1,000 anuales, en una cuenta durante 5 años, al final de los 5 años,
retira, la mitad del saldo de la cuenta, deposita ¢ 2,000 anuales por 5 años más y al final del
decimoquinto año retira el saldo total. Si la cuenta devenga el 8 % de interés. ¿Cuánto retiro
en total?
a) Al final de 5 años.
b) Al final de 15 años.
9.- Una compañía debe actualmente a un banco ¢12,500 que puede restituir en cualquiera
de las tres formas
siguientes:
a) ¢20,500 dentro de 10 años.
b) ¢1,281.25 anuales durante 10 años.
c) ¢12,500 ahora.
Determine cuál es la mejor elección de la compañía, si la tasa de rendimiento es el 10%.
10.- Una persona hace los siguientes depósitos en su cuenta de ahorro:
a) ¢200 anuales durante 5 años.
b) ¢1,500 cada 5 años durante 15 años.
c) ¢250, ¢375 y ¢100 en los años 7, 11, 12 respectivamente.
Si la tasa de interés es del 6% determine:
a) Cuánto tendrá ahorrado al final de 15 años.
b) El Valor presente de estos depósitos.
c) La serie anual uniforme.
11.- Haga los cálculos necesarios para demostrar cuáles de los enunciados que se indican son
verdaderos y cuáles son falsos, si la tasa de interés es el 5% anual.
a) ¢98 hoy son equivalentes a ¢105.60 dentro de un año.
b) ¢3,000 hoy equivalen a ¢3,150 dentro de un año.
c) ¢3,000 hoy equivalen a ¢2,887.14 hace un año.
d) El interés acumulado en un año sobre una inversión de ¢2,000 es ¢100.

16. 12.- La compañía "INSINCA S.A." adquiere una máquina textil para su fábrica de tejidos valorada
en ¢30,783.66, mediante una prima de ¢10,125.22 comprometiéndose a cancelar el resto en
letras mensuales durante 3 años. Si el interés a pagar sobre el crédito concedido es de 8%
anual ¿ A cuánto ascenderá el valor de cada letra?.
13.- Se espera que una máquina tenga un costo de reacondicíonamiento por ¢9,857.98 cada 10
años. Se desea terminar el desembolso anual equivalente gastado en los 25 años de vida de
servicio de la máquina, si el rendimiento esperado es del 12.77 % anual.
14.- Se compró una TV. en ¢ 2,684.45 a un plazo de 24 mensualidades iguales. El primer pago se
hará un mes después de haberío adquirido. El comprador cree que es posible que a los 12
meses pueda pagar, además de la mensualidad, una cantidad de ¢66.85, y que para saldar su
deuda le gustaría seguir pagando la misma mensualidad hasta el final. Este pago adicional
hará que el número de mensualidades disminuya. Calcule en qué fecha se termina de pagar
el televisor, si se adquirió el 10 de enero y la tasa de interés que se cobra es el 1.57%
mensual.
15.- Un préstamo de ¢1,000 se está pagando con anualidades de ¢80, a una tasa de interés del
5% anual. Un año después de 7 pagos se acuerda que el resto de la deuda se cubrirá con dos
pagos iguales únicos, al final de los años 9 y 11, ¿a cuánto ascenderán estos pagos de forma
que salden totalmente la deuda?.
16.- Una persona compra una grabadora en ¢750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales,
comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador
deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a 3 pagos
mensuales. Si la grabadora se adquirió el 10 de enero de 1990, tendrá que pagar en
diciembre de 1990 y diciembre de 1991, 4 mensualidades en cada período (una normal más la
anualidad). Si el interés que se coloca es del 1% mensual. ¿A cuánto ascienden los pagos
mensuales?
17.- Una universidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de ¢4,500
pagaderos al principio del año escolar. Otra forma de pagar los estudios es mediante la
aportación de 10 mensualidades iguales. La primera se paga el 1 de septiembre y la última el
1 de julio del siguiente año. En los meses de diciembre y agosto no hay pago por estar de
vacaciones. ¿A cuánto ascienden los 10 pagos mensuales uniformes para ser equivalentes a
un pago de contado de ¢ 4,500 el 1 de septiembre de cada año, si la universidad aplica una
tasa de interés del 2% mensual?

17. 18.- Una persona piensa depositar ¢ 150 cada mes durante el siguiente año en un banco que paga
una tasa de interés del 1.5 % mensual. Considera que después de hacer los 12 depósitos del
primer año, puede aumentar su ahorro mensual a ¢ 180. ¿Cuánto tendrá al final de dos años,
si no retira ninguna cantidad de dinero durante ese tiempo?
19.- Una familia cuenta con un fondo de ¢ 30,000 para remodelar su casa en el futuro. El dinero
está depositado en un banco que paga un interés de 7 % anual. Si la familia considera que
gastará ¢ 10,000 al final del segundo año y ¢ 15,000 al final del cuarto año, ¿con qué
cantidad podrá contar al final del 5o. año?
20.- El Sr. Wenceslao se propuso ahorrar ¢ 1,000 cada fin de año durante 10 años en un banco que paga
un interés del 12 % anual. Sin embargo, al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar, tuvo que
disponer de ¢ 500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumulo al final de los 10 años, si hizo
ocho depósitos de ¢ 1,000?.
21.- Se compró un equipo de sonido por ¢ 1,100. Se acordó pagarlo en 36 mensualidades iguales,
principiando un mes después de la compra. La tasa de interés es del 1 % mensual. a) Calcule
el pago mensual que deberá hacerse. b) Al final de los 12 , 24 y 36 meses es posible hacer un
pago adicional a la mensualidad de ¢ 100; si se desea pagar el equipo en 36 mensualidades
iguales. ¿A cuanto ascienden ahora los pagos?.
22.- Suponga que se espera que la instalación de ventanas de baja perdida térmica en su región le
represente un ahorro anual de ¢ 285.96 en su recibo de cobro de la calefacción de su casa
durante los siguientes 18 años. Si puede devengar el 5.38 % al año en otras inversiones.
¿Cuánto podría estar dispuesto a gastar para estas ventanas?.
23.- José Pérez quiere que su herencia valga, ¢ 527,468.95 al final de 10 años. Ahora su valor
neto es cero. Puede acumular los ¢ 527,468.95 deseados depositando ¢ 18,239.17 al final de
cada año durante los siguientes 10 años. ¿A que tasa de interés por año deben invertirse sus
depósitos?

18. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
SERIES CRECIENTES Y DECRECIENTES DE CANTIDADES. FACTOR SERIES
ARITMÉTICA. EL GRADIENTE
Gradiente Aritmético.
Es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma uniforme,
es decir, el flujo de efectivo, bien sea ingreso o costo, cambia por la misma
cantidad aritmética cada período de interés. La cantidad del aumento o de la
disminución es el gradiente. El valor del gradiente “G” puede ser positivo o
negativo, dependiendo si va en aumento o en disminución.
Supongamos una serie de cantidades que aumenta de una manera uniforme. De
donde se tiene un gradiente “G” uniforme, de la siguiente manera:
0 1 2 3 n - 2 n - 1 n
G
2 G
G ( n - 3 )
El gradiente “G” se puede calcular de la siguiente manera:
G ( n - 1 )
G ( n - 2 )
A 1
A 1 + G
A 1 + G ( n - 2 )
A 1 + G ( n - 3 )
A 1 + 2 G
A 1 + G ( n - 1 )
A 1
G O 1
G O n
G
0 1 n

19. Supongamos que:
GO1 = Gasto de Operación en el periodo 1.
GOn = Gasto de Operación en el periodo n.
G = GOn – GO1 Ó
n-1
G = F – A1
n-1
Donde:
A1 = 1e r Termino o Cantidad Base.
G = Gradiente
F = Valor Futuro.
Factor serie aritmética para gradientes crecientes y decrecientes. ( A/G)
Es el factor que convierte un gradiente uniforme “G” para (n) años en una serie
anual uniforme (A), con una tasa de interés (i).
La serie anual uniforme equivalente (A) de una serie creciente con un gradiente
uniforme (G) es dado por:
7. AT = A1 ± G (A/G,) el signo + es para series crecientes
El signo – es para series decrecientes
Donde:
AT = La serie anual uniforme equivalente
A1 = la cantidad base o primer término de donde comienza o disminuye la
Serie.
G = Es el gradiente constante
A/G = Factor serie aritmética
De donde la fórmula original es:
AT = A1 + G ( 1/i - ( n ) )
(1+I)n -1

20. Al factor
1/i - ( n ) )
(1+I)n -1
se le conoce como Factor series aritmética y se representa por (A/G)
Factor Serie Aritmética Valor presente. (P/G)
Es el factor que convierte un gradiente uniforme “g” para (n) años en valor
presente (P) en el año 0 con una tasa de interés (i).
El valor presente total (P) de una serie creciente o decreciente con un gradiente
uniforme(G) es dado por:
8. PT = A1 (P/A,) ± G (P/G)
De donde el valor presente del gradiente en su fórmula original viene dado
por:
P = G/i ( ( 1+i)n –1 - n )
I(1+i)n ( 1+i) n
al factor en corchete se le conoce como factor serie aritmética valor
presente y se representa por(P/G)

21. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
EJERCICIOS RESUELTOS DEL USO DE GRADIENTES
1) Una persona adquirió un auto, espera que el costo de mantenimiento sea
de $150 al finalizar el primer año y que los subsecuentes aumente a razón
de $50 anuales. Si la tasa de interés es del 8% anual. ¿Cuál es el valor
presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6 años?
G = 5 0
4 0 0
1 5 0
P t = ?
0 1 2 3 4 5 6
PT = A1 (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n)
PT = 150 (P/A, 8%, 6) + 50 (P/G, 8%, 6)
PT = 150 (4.6229) + 50 (10.523)
PT = 693.435 + 526.15
PT = $1,219.59
2) Una compañía se propone adquirir por $60,000 una máquina que produce
un ahorro anual de $27,000 durante los próximos 4 años. Los costos de
mantenimiento para los próximos 4 años son: Cero para el primer año con
un aumento de $2,000 anuales, a una tasa de interés del 10%. ¿Cuál es el
valor Actual del proyecto?
0 1 2 3 4
6 0 , 0 0 0
2 7 , 0 0 0
0
2 , 0 0 0
4 , 0 0 0
6 , 0 0 0
P t = ?

22. PT = PCOS TOS - PINGRE SOS
PCOSTOS = P + [A1 (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n)]x(P/F, i%, n)
PCOSTOS = 60,000 + [2,000 (P/A, 10%, 3) + 2,000 (P/G, 10%, 3)]x(P/F,
10%, 1)
PCOSTOS = 60,000 + [2,000 (2.4869) + 2,000 (2.3291)]x(0.9091)
PCOSTOS = 60,000 + [4,973.8 + 4,658.2]x(0.9091)
PCOSTOS = 60,000 + 8,756.45
PCOSTOS = $68,756.45
PINGRE SOS = A1 (P/A, i%, n)
PINGRE SOS = 27,000 (P/A, 10%, 4)
PINGRE SOS = 27,000 (3.1699)
PINGRE SOS = $85,587.3
PT = 68,756.45 – 85,587.30
PT = $-16,830.85
3) Un cierto equipo de un determinado proyecto cuesta $785,250. Se espera
que tenga una vida útil de 8 años. Los costos por concepto de impuestos,
seguro y mantenimiento se estiman en $13,650 el primer año, $15,200 el
segundo año y así sucesivamente hasta los 8 años, La tasa de interés es
del 4% anual. ¿Cuál es el costo anual equivalente de la máquina?, Si a los
8 años se estima que la máquina será vendida, ¿Cuánto vale el valor de la
venta?
7 8 5 , 2 5 0 G = 1 , 5 5 0
F = ?
2 4 , 5 0 0
1 3 , 6 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
AT = P (A/P, i%, n) + [A1 + G (A/G, i%, n)]
AT = 785,250 (A/P, 4%, 8) + [13,650 + 1,550 (A/G, 4%, 8)]
AT = 785,250 (0.1485) + [13,650 + 1,550 (3.2944)]
AT = 116,609.63 + 18,756.32
AT = $135,365.95
F = AT (F/A, i%, n)

23. F = 135,365.95 (F/A, 4%, 8)
F = 135,365.95 (9.2142)
F = $11247,288.94
4) Un comercial vende PC bajo las siguientes condiciones: Se hace un primer
pago de $1,300, un mes después de la fecha de adquisión y 9 pagos
adicionales cada uno de los cuales disminuye en $125. ¿Cuál es el valor
anual equivalente de la PC? Y ¿Cuál será el valor a pagar de contado por
la PC? El interés es del 12% mensual.
G = 1 2 5
1 , 3 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
AT = A1 – G (A/G, i%, n)
AT = 1,300 – 125 (A/G, 12%, 10)
AT = 1,300 – 125 (3.5847)
AT = 1,300 – 448.09
AT = $851.91
PT = A1 (P/A, i%, n) – G (P/G, i%, n)
PT = 1,300 (P/A, 12%, 10) – 125 (P/G, 12%, 10)
PT = 1,300 (5.6502) – 125 (20.2541)
PT = 7,345.26 – 2,531.76
PT = $4,813.50
1 7 5
P t = ?
3 0 0
1 , 1 7 5

24. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
LABORATORIO “ USO DE GRADIENTE”
1.Encuentre el monto anual uniforme equivalente a una serie gradiente uniforme en la que el
pago del primer año es ¢ 500, el segundo es de ¢ 600, el tercero es de ¢ 700, y así
sucesivamente hasta un total de 15 pagos. La tasa de interés anual es del 8 %.
2.Si ¢ 10,000 ahora equivalente a 4Z al final del año dos, 3Z al final del año tres, 2Z al final del
año cuatro, y Z al final del año cinco, ¿Cuál es el valor de Z cuando i = 8% anual?.
3.Calcule el equivalente futuro al final de 1999, al 8% anual de la siguiente serie de flujo.
1995 1996 1997 1998 1999
600
1000
800
F=?
400
4.Suponga que los padres de un niño deciden hacer depósitos anuales en una cuenta de ahorros
y realizan el primer deposito en el quinto cumpleaños de su hijo y el ultimo en el decimoquinto.
Si en los cumpleaños 18, 19, 20 y 21 se retiran ¢ 2,000 , ¢ 2,400 , ¢ 2,800 y ¢ 3,200 y la tasa
de interés es del 8% anual. ¿Cuáles son los depósitos anuales en los años cinco al quince?.
5. Encuentre el valor de la cantidad desconocida en el diagrama de flujo mostrado. SI la tasa de
interés es del 12 % anual.
400
300 500 500
200
500
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
R=?
6. Determine el valor de Q en el diagrama de flujo. Si la tasa de interés es del 18 % anual.

25. 500 3Q
2Q
Q
0 1 2 3 4 5 6 7 8
7. Una planta municipal de energía espera generar un ingreso neto de ¢ 500,000 al final de su
primer año y que esta cantidad anual aumente en un 8% cada año durante los próximos 5 años.
Para financiar un nuevo proyecto de construcción, el gobierno municipal quiere emitir un bono
exento de impuestos que pague un interés del 6% anual. ¿Cuál seria la cantidad máxima de
financiamiento por bonos que podría asegurarse? .
8. Suponga que se espera que un pozo petrolero produzca 10,000 barriles de petróleo en su
primer año de producción. Sin embargo, también se espera que su producción subsecuente
disminuya en un 10% con respecto a la producción del año anterior. Se ha comprobado que el
pozo petróleo tiene una reserva de 100,000 barriles.
a) Suponga que el precio del petróleo será de ¢ 30 por barril durante los próximos años. ¿Cuál
seria el valor actual del flujo de ingresos anticipado a una tasa de interés del 15% anual
durante los próximos siete años?.
b) Suponga que el precio del petróleo inicia con ¢ 30 por barril el primer año, pero aumentara
a una tasa del 5% con respecto al precio en el año anterior. ¿Cuál seria el valor actual del
flujo de ingresos anticipado a una tasa de interés del 15% anual durante los próximos siete
años?.
c) Considere de nuevo el inciso (b) . Después de 3 años de producción se decide vender el
pozo petróleo. ¿Cuál seria su precio justo?.
9. ¿Cuál es la cantidad de 10 depósitos anuales iguales que pueden proporcionar cinco prestamos
anuales , si el primer préstamo de ¢ 1,000 se lleva a cabo al final del primer año y los prestamos
subsecuentes aumentan a una tasa del 6% con respecto a la del año anterior, si:
a) La tasa de interés es del 8% anual.
b) La tasa de interés es del 6% anual.
10 Si se depositan ¢ 500 al final del primer año, y en los años subsecuentes aumenta a una tasa
del 6% durante quince años. La tasa de interés anual es del 15%. ¿Cuál es el valor equivalente
presente de este gradiente geométrico?
11. Determine el equivalente presente ( al tiempo cero ) de ¢ 8,140 al final del tercer año y que
disminuye el 10% al final de los años cuarto al veinticinco. Si la tasa de interés es del 15%.