Ssmat3

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Introducci´n a las sucesiones
o

y series num´ricas
e

Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez

Caracas, Venezuela
Septiembre 2005

Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela

http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Nota: Este material est´ disponible en la p´gina web
a a
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´plica en un servidor externo a la Universidad Central de
e
Venezuela, el v´
ınculo se encuentra indicado en esa misma p´gina web.
a

Pr´logo
o

Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Sucesiones y Series
Num´ricas, del curso de Matem´tica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Cen-
e a
tral de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´
ıa,
Geoqu´
ımica, Qu´
ımica, Computaciń, F´
o ısica y Matem´tica.
a
El trabajo de mecanograf´ y la elaboraciń de los gr´ficos est´ a cargo de los autores.
ıa o a a
Agradecemos cualquier observaciń o comentario que deseen hacernos llegar.
o

Ramń Bruzual.
o
Marisela Dom´
ınguez.
Septiembre 2005.

iii

CONTENIDO

Cap´
ıtulo 1. Sucesiones num´ricas.
e 1
1. Definiciones y resultados b´sicos
a 1
2. Sucesiones convergentes. 4
3. El n´mero e.
u 5
4. Sucesiones mon´tonas.
o 5
5. Operaciones con sucesiones 5
6. Repaso de la regla de L’Hˆpital.
o 6
7. L´
ımite infinito 9
8. Sumas finitas y el s´
ımbolo sumatorio. 11
Ejercicios.
Sucesiones. 13

Cap´
ıtulo 2. Series num´ricas.
e 19
1. Series. 19
2. Convergencia y divergencia de series. 22
3. Criterios de convergencia para series de t´rminos positivos.
e 24
4. Criterios de convergencia para series de t´rminos alternadas.
e 30
5. Series telesc´picas.
o 30
Ejercicios.
Series. 32

Cap´
ıtulo 3. F´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o 37
1. La f´rmula de Stirling.
o 37
2. El producto de Wallis. 38
Ejercicios.
F´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o 41

Bibliograf´
ıa 43
´
Indice 45

v

CAP´
ITULO 1

Sucesiones num´ricas.
e

Este cap´
ıtulo es un repaso de cursos previos.
Concepto de sucesiń y ejemplos. L´
o ımite de una sucesiń. Propiedades
o
del l´
ımite. C´lculo de l´
a ımites de sucesiones.

1. Definiciones y resultados b´sicos
a

La idea de sucesiń en R es la de una lista de puntos de R.
o
Son ejemplos de sucesiones:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .

2, 4, 6, 8, 10, . . .

1, 4, 9, 25, 36, . . .

1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .

1, 10, 100, 1.000, 10.000, . . .

1, −1, 1, −1, 1, . . .

Lo importante acerca de una sucesiń es que a cada n´mero natural n le corresponde un
o u
punto de R, por esto damos la siguiente definiciń.
o

´
Definicion 1.1. Una sucesiń es una funciń de N en R.
o o

Si a : N → R es una sucesiń en vez de escribir a(1), a(2), a(3), . . . suele escribirse
o

a 1 , a2 , a3 , . . .

La misma sucesiń suele designarse mediante un s´
o ımbolo tal como {an }, (an ) ´ {a1 , a2 , . . .}.
o
Tambiń usaremos {an }, (an ) ´ {a1 , a2 , . . .}.
e o

Ejemplo 1.2. La sucesiń de Fibonacci {an } est´ definida por
o a
a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 .

1

2 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.

Esta sucesiń fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relaciń con un problema
o o
de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba una nueva pareja cada mes y
que despu´s de dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. El n´mero an
e u
de parejas nacidas en el n-´simo mes es an−1 + an−2 , puesto que nace una pareja por cada
e
pareja nacida en el mes anterior, y adem´s cada pareja nacida hace dos meses produce ahora
a
una pareja nueva.

Una sucesiń, al igual que toda funciń, tiene una representaciń gr´fica.
o o o a
Por ejemplo, sean

αn = n
βn = (−1)n
1
γn =
n

Las gr´ficas de {αn }, {βn } y {γn } son las siguientes:
a

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

Figura 1.1. {αn }

´
1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BASICOS 3

1

1 2 3 4 5

-1

Figura 1.2. {βn }

1

1 2 3 4 5

Figura 1.3. {γn }

Sin embargo se obtiene una mejor representaciń de una sucesiń marcando los puntos
o o
a1 , a2 , a3 , . . . sobre una recta:

0 α1 α2 α3 α4

β1= β3 = ... 0 β 2 = β4 = ...

0 γ3 γ γ1
2

Figura 1.4.

Este tipo de diagramas nos indican “hacia donde va” la sucesiń.
o

´
Definicion 1.3. Una sucesiń {an } es acotada si {a1 , a2 , . . .} es un conjunto acotado.
o
Es decir, si existe K ∈ R tal que |an | ≤ K para todo n ∈ N.

´
Definicion 1.4. Una sucesiń {an } es acotada superiormente si existe M ∈ R tal que
o
an ≤ M .

4 ´

Ejemplo 1.5. Sea an = 1/n. Entonces la sucesiń {an } es acotada superiormente por
o
M = 1.

´
Definicion 1.6. Una sucesiń {an } es acotada inferiormente si existe m ∈ R tal que
o
an ≥ m.

Ejemplo 1.7. Sea an = n. Entonces la sucesiń {an } es acotada inferiormente por
o
m = 1.

´
Proposicion 1.8. Sea {an } una sucesiń, {an } es acotada si y s´lo si {an } es acotada
o o
superiormente y {an } es acotada inferiormente.

2. Sucesiones convergentes.

En lo que sigue {an } denotar´ una sucesiń de n´meros reales.
a o u

´
Definicion 1.9. limn→∞ an = L si:
para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces |an − L| < ε.

En este caso se dice que la sucesiń {an } converge a L ∈ R, o l´
o ımite de {an } es L.

Se dice que una sucesiń {an } es convergente si existe L ∈ R tal que {an } converge a L;
o
se dice que es divergente (o que diverge) si no es convergente.

Ejemplo 1.10. Sea an = 1/n entonces limn→∞ an = 0.

Ejemplo 1.11. Sea an = n! entonces {an } es divergente.

Teorema 1.12 (unicidad del l´
ımite). Una sucesiń convergente tiene uno y s´lo un
o o
l´
ımite.

´
Proposicion 1.13. si {an } es una sucesiń que converge a cero y {bn } es una sucesiń
o o
acotada entonces la sucesiń {an bn } converge a cero.
o

Teorema 1.14. Si {an }, {bn } y {cn } son sucesiones tales que an ≤ bn ≤ cn para todo n
y
lim an = lim cn = L.
n→+∞ n→+∞

Entonces
lim bn = L.
n→+∞

5. OPERACIONES CON SUCESIONES 5

3. El n´ mero e.
u

Se puede probar que la siguiente sucesiń converge:
o
n
1
an = 1+ .
n
Su l´
ımite es unico y es conocido como el n´mero e:
´ u
n
1
lim 1+ = e.
n→+∞ n
Tambiń se puede probar:
e
(a) 2 < e < 3
(b) el n´mero e es irracional.
u

4. Sucesiones mon´tonas.
o

´
Definicion 1.15. Una sucesiń {an } es mon´tona creciente si an ≤ an+1 para todo
o o
n ∈ N.

Ejemplo 1.16. Sea an = n. Entonces la sucesiń {an } es mon´tona creciente.
o o

´
Definicion 1.17. Una sucesiń {an } es mon´tona decreciente si an+1 ≤ an para todo
o o
n ∈ N.

Ejemplo 1.18. Sea an = 1/n. Entonces la sucesiń {an } es mon´tona decreciente.
o o

Teorema 1.19.
(i) Toda sucesiń mon´tona creciente y acotada superiormente es convergente.
o o
(ii) Toda sucesiń mon´tona decreciente y acotada inferiormente es convergente.
o o

5. Operaciones con sucesiones

Teorema 1.20. Sean {xn }, {yn } sucesiones convergentes.
Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Entonces:

lim xn + yn = x + y.
n→+∞

´
Demostracion. Dado ε > 0 existen N1 , N2 ∈ N tales que
(a) si n ≥ N1 entonces |xn − x| < ε/2.
(b) si n ≥ N2 entonces |yn − y| < ε/2.

6 ´

Sea N = max{N1 , N2 }. Si n ≥ N entonces

|(xn + yn ) − (x + y)| = |(xn − x) + (yn ) − y)|
≤ |xn − x| + |yn − y|
< ε/2 + ε/2 = ε.

De donde
lim xn + yn = x + y.
n→+∞

Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Entonces:

lim xn · yn = x · y.
n→+∞

Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Si yn = 0 para todo n, y = 0, entonces
xn x
lim = .
n→+∞ yn y
A los lectores interesados en el An´lisis Matem´tico se les recomienda consultar en algunos
a a
de los libros de la bibliograf´ las demostraciones de estos dos ultimos teoremas.
ıa ´

6. Repaso de la regla de L’Hˆpital.
o

La regla de L’Hˆpital permite calcular l´
o ımites indeterminados para funciones de variable
real.
Las principales indeterminaciones las agruparemos en tres grupos:
0 ∞
(a) 0
, ∞
, 0.∞,
(b) ∞ − ∞, −∞ + ∞,
0 ∞
(c) 0, 1 , ∞0 .
0 ∞
6.1. Indeterminaciones de la forma 0
, ∞
, 0.∞.

Teorema 1.23 (Regla de L’Hopital). Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo
de la forma (a − r, a + r) a, r ∈ R, r > 0. Supongamos que
(a) lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a x→a
(b) g (x) = 0 para todo x en (a − r, a + r), x = a.
f (x)
(c) limx→a = L.
g (x)

ˆ
6. REPASO DE LA REGLA DE L’HOPITAL. 7

Entonces
f (x)
lim = L.
x→a g(x)

La demostraciń del teorema anterior se puede ver en [5]. En este momento no estamos
o
en capacidad de dar la prueba, pero podemos dar una justificaciń.
o
Como f y g son diferenciables en a, entonces f y g son continuas en a. Luego f (a) = 0
y g(a) = 0. Por lo tanto
f (x) − f (a)
f (x) f (x) − f (a) x−a
= = .
g(x) g(x) − g(a) g(x) − g(a)
x−a
Si x → a entonces la expresiń de la derecha tiende a
o
f (x)
lim = L.
x→a g (x)

Luego
f (x)
lim = L.
x→a g(x)

Ejemplo 1.24.
x3 − 1 3x2 3
lim = lim = .
x→1 4x3 − x − 3 x→1 12x2 − 1 11

0
El primer l´
ımite es de la forma 0
.
´
Observacion 1.25. La regla de L’Hopital tambiń es v´lida cuando se consideran
e a
ımites laterales (x → a+ ´ x → a− ),
(a) l´ o
(b) l´
ımites infinitos (x → +∞ ´ x → −∞),
o
∞
(c) l´
ımites de la forma ∞
.
´
Observacion 1.26. El resultado anterior permite calcular l´ımites de la forma 0.∞, to-
1
mando en cuenta que si lim h(x) = ∞ entonces lim = 0. En este caso la regla de
x→a x→a h(x)
1
L’Hopital se aplica a g(x) = ımite de la forma 0 . Tambiń se puede
para obtener un l´ 0
e
h(x)
∞
llevar a la forma ∞ .
Ejemplo 1.27.
ln x 1/x
lim x ln x = lim = lim+ −1/x2
= lim (−x) = 0.
x→0 + +x→0 1/x x→0 x→0+
−∞
El primer l´
ımite es de la forma 0.(−∞), el segundo l´
ımite es de la forma ∞
, el tercer
l´
ımite se simplifica algebraicamente dando origen al cuarto l´
ımite que no es una indetermi-
naciń.
o

8 ´

6.2. Indeterminaciones de la forma ∞ − ∞, −∞ + ∞.
Estas indeterminaciones se resuelven haciendo operaciones algebraicas para llevarlo a
0 ∞
alguna de las formas consideradas antes, es decir, 0
, ∞
, 0.∞.

Ejemplo 1.28.
4x + 1 1 (4x + 1) sen x − x
lim − = lim
x→0 + x sen x x→0 + x sen x
4 sen x + (4x + 1)(cos x) − 1
= lim
x→0 + sen x + x cos x
4 cos x + 4 cos x − (4x + 1) sen x
= lim
x→0 + cos x + cos x − x sen x
4+4
= = 4.
2
El primer l´ ımite es de la forma 0 , el tercer l´
ımite es de la forma ∞ − ∞, el segundo l´ 0
ımite
0
es de la forma 0
y el cuarto l´
ımite ya no es una indeterminaciń.
o

6.3. Indeterminaciones de la forma 00 , 1∞ , ∞0 .
Estos l´
ımites se calculan usando la siguiente propiedad:

´
Proposicion 1.29. Si limx→a f (x) existe, entonces

lim ef (x) = elimx→a f (x) .
x→a

´
Observacion 1.30. Esta Proposiciń tambiń es v´lida cuando se consideran
o e a
ımites laterales (x → a+ ´ x → a− ),
(a) l´ o
(b) l´
ımites infinitos (x → +∞ ´ x → −∞).
o

Ejemplo 1.31. Calcularemos
lim (sen x)x
+
x→0

ımite es de la forma 00 .
Este l´
Tenemos que
x
(sen x)x = eln((sen x) ) = ex ln(sen x) .

Comenzaremos calculando
lim x ln(sen x).
x→0+

que es un l´
ımite de la forma 0.∞. Luego aplicaremos la exponencial.

7. L´
IMITE INFINITO 9

cos x
ln(sen x) sen x
lim x ln(sen x) = lim = lim −1
x→0 + +
x→0 1/x x→0+
x2
−x2 cos x −2x cos x + x2 sen x
= lim = lim = 0.
x→0+ sen x x→0+ cos x
∞
El primer l´
ımite es de la forma 0.∞, el segundo l´
ımite es de la forma ∞
, el tercer l´
ımite
ımite que es de la forma 0 , el quinto
se simplifica algebraicamente dando origen al cuarto l´ 0
l´
ımite no es una indeterminaciń.
o
Ahora aplicamos la exponencial

lim (sen x)x = lim ex ln(sen x) = elimx→0+ x ln(sen x) = e0 = 1.
x→0+ +
x→0

7. L´
ımite infinito

´
Definicion 1.32. Sea {an } una sucesiń.
o
Diremos que limn→+∞ an = +∞ si para cada λ ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N
entonces an ≥ λ.
Diremos que limn→+∞ an = −∞ si para cada λ ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N
entonces an ≤ λ.

Es importante notar que las sucesiones que tienen l´
ımite infinito no son convergentes.

´
Proposicion 1.33. Si {an } es una sucesiń convergente y {bn } es una sucesiń tal que
o o
an
bn = 0 para todo n y lim bn = +∞. Entonces lim = 0.
n→+∞ n→+∞ bn

7.1. C´lculo de l´
a ımite de sucesiones usando la regla de L’Hopital.
Para calcular el l´
ımite de una sucesiń usando la regla de L’Hopital se deben usar una
o
funciones auxiliares de variable real.
Por ejemplo, si la sucesiń est´ dada por an = n2 la funciń auxiliar f puede ser
o a o
f (x) = x2 . Otro ejemplo: si la sucesiń est´ dada por an = ln n la funciń auxiliar f
o a o
puede ser f (x) = ln x. Estas funciones auxiliares son sencillas y en estos casos se calcula el
l´
ımite cuando x → +∞.

Ejemplo 1.34. Consideremos
1 1
lim ln .
n→+∞ n n

Este es un l´
ımite de sucesiones, de la forma 0.(−∞).

10 ´

Para hallarlo, en lugar de n colocamos x y calculamos el siguiente l´
ımite:
1 −1
1
ln x 1/x x2 −x −1
lim = lim = lim 2
= lim = 0.
x→+∞ x x→+∞ 1 x→+∞ x x→+∞ x

Luego
1 1
lim ln = 0.
n→+∞ n n
A veces no conviene usar estas funciones auxiliares sencillas. Puede ser m´s conveniente
a
considerar como funciones auxiliares algo aparentemente un poco m´s complicado. Por
a
ejemplo, si la sucesiń est´ dada por an = n2 la funciń auxiliar f puede ser f (x) = (1/x)2 .
o a o
Otro ejemplo: si la sucesiń est´ dada por an = sen(1/n) la funciń auxiliar f puede ser
o a o
f (x) = sen x. En estos casos se calcula el l´
ımite cuando x → 0+.

Ejemplo 1.35. Consideremos
1
lim n − .
n→+∞ sen(1/n)
Este es un l´
ımite de sucesiones, de la forma ∞ − ∞.
Para hallarlo, podr´
ıamos calcular el siguiente l´
ımite auxiliar.

1
lim x − .
x→+∞ sen(1/x)
En lugar de n hemos colocado x. Este es un l´
ımite de funciones, de la forma ∞ − ∞. Usted
podr´ tratar de calcularlo. Hemos hecho una cambio sencillo, pero el l´
ıa ımite que se debe
calcular no es sencillo.
Sin embargo si hacemos un cambio un poco m´s complicado el l´
a ımite que tendremos que
calcular es m´s sencillo. En efecto, en lugar de n colocamos 1/x y obtenemos
a

1 1
lim
− .
x→0+ x sen x
Este tambiń es un l´
e ımite de funciones, de la forma ∞ − ∞. A continuaciń lo calcularemos.
o

1 1 sen x − x cos x − 1
lim − = lim = lim
x→0+ x sen x x→0+ x sen x x→0+ sen x + x cos x
− sen x 0
= lim = = 0.
x→0+ cos x + cos x − x sen x 2
Por lo tanto
1
lim n − = 0.
n→+∞ sen(1/n)

8. SUMAS FINITAS Y EL S´
IMBOLO SUMATORIO. 11

8. Sumas finitas y el s´
ımbolo sumatorio.

Cuando queremos referirnos a una suma con n sumandos, en la que tenemos una f´rmula
o
para cada sumando ak usamos la siguiente expresiń
o

a1 + · · · + an

que tambiń se escribe de la siguiente manera:
e
n
ak
k=1

Es decir,
n
ak = a1 + · · · + an .
k=1

Ejemplo 1.36.
(1) Sumar el n´mero 1, n veces:
u
n
1 = n.
k=1

(2) La suma de los n primeros n´meros naturales es:
u
n
k = 1 + · · · + n.
k=1

(3) La suma de los cuadrados de los n primeros n´meros naturales es:
u
n
k 2 = 1 + 2 2 + · · · + n2 .
k=1

Se puede probar que
n
n(n + 1)
(1.1) k= .
k=1
2

n
n3 n2 n
(1.2) k2 = + + .
k=1
3 2 6

Ejercicio Adicional: Usando el m´todo de inducciń completa demuestre las f´rmulas 1.1
e o o
y 1.2.

12 ´

Una propiedad importante de las sumas ﬁnitas es la llamada propiedad telesc´pica que
o
aﬁrma que:
n
(bk − bk+1 ) = b1 − bn+1 .
k=1
Estas sumas son denominadas sumas telesc´picas.
o

EJERCICIOS. SUCESIONES. 13

Ejercicios.
Sucesiones.

(1) Sugiera el t´rmino general de cada una de las siguientes sucesiones:
e

(a) 2, 4, 6, 8, 10, . . . (c) 1, 8, 27, 64, . . . (e) 0, 5, 0, 5, 0, 5, . . .

1 1 1 1 −2 3 −4 1 √ 1 √
(b) 1, , , , . . . (d) , , , ,... (f) , 0, 3, , 0, 3, . . .
4 9 16 2 3 4 5 2 2

(2) Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre la losa de concreto.
Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 2/3 de la altura anterior.
Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-´simo rebote.
e

(3) Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies
durante el primer segundo, 48 pies durante el segundo, 80 pies durante el tercero y
as´ sucesivamente. ¿Cuńto recorre el objeto durante el sexto segundo?
ı a

(4) Sea {an } una sucesiń (infinita) con t´rmino general an . Estudie la sucesiń: Diga
o e o
si es acotada superiormente, acotada inferiormente, acotada, no acotada, mon´tona
o
creciente, mon´tona decreciente, no mon´tona. Dibuje el gr´fico de la sucesiń.
o o a o
Determine si converge o diverge, y en caso de que converja halle su l´
ımite.

1
(a) an =
n2 (h) an = 1 + (−1)n
−1 n + 1
(b) an = + n2 − 1
n n2 (i) an =
n−1
(−1)n
(c) an = n+1
n (j) an =
n−1
(d) an = sen(nπ) 7
n+1
(k) an =
π n−1
(e) an = sen + nπ
2
(l) an = n4
π
(f) an = cos + nπ
2
(m) an = (1/n)3
(g) an = cos(nπ)

14 ´

(n) an = 81/n (o) an = (1/2)n

(p) an = 6n

(5) La sucesiń de Fibonacci:
o
(a) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea
una nueva pareja, que es f´rtil al mes. Si comenzamos con una pareja de
e
reciń nacidos y an representa el n´mero de parejas nacidas en el n-´simo mes
e u e
demuestre que
a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 si n ≥ 3
(la igualdad de la derecha es una f´rmula recurrente).
o

(b) Verifique que el t´rmino general de la sucesiń de Fibonacci es
e o
√ n √ n
1 1+ 5 1 1− 5
an = √ −√
5 2 5 2
demostrando que esta expresiń satisface la f´rmula recurrente dada en (a).
o o

(6) Sean c, r constantes reales. Considere la sucesiń {an } definida por an = crn−1 . Se
o
define la sucesiń {Sn } por
o

Sn = a1 + · · · + an .

Probar que
c − crn
(a) Sn =
1−r
(b) {Sn } converge si y s´lo si |r| < 1.
o
(c) Si |r| < 1 entonces
c
lim Sn = .
n→+∞ 1−r

(7) Dar ejemplos de sucesiones {an } y {bn } tales que

lim an = lim bn = 0,
n→+∞ n→+∞

pero

an an
(a) lim =0 (c) lim = −∞
n→+∞ bn n→+∞ bn

an an
(b) lim = +∞ (d) lim no existe.
n→+∞ bn n→+∞ bn


(8) EL prop´sito de este ejercicio es recordar la f´rmula para la derivada de un cociente,
o o
que no debe confundirse con el cociente de derivadas.
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, en los puntos en los
que son derivables:

tan x arctan x
(a) f (x) = (c) f (x) =
ln x x−1
ax sec x
(b) f (x) = (d) f (x) = √
csc x x

(9) Calcular los siguientes l´
ımites de funciones:

1 1
(a) lim −
(d) lim x( ln x )
1
+
x→0 sen x x
x→+∞
1 1 1
(b) lim+ x
− 1
x→0 sen x x (e) lim x x−1
x→1+

sen x
(c) lim (sen x)
+
x→0 (f) lim (sen(3x))sen(5x)
+
x→0

(10) Sea {an } una sucesi´n (inﬁnita) con t´rmino general an . Para cada uno de los
o e
siguientes casos determine si {an } converge o diverge, y en caso de que converja
halle su l´
ımite.

4n − 3 (f) an = n( ln n )
1
(a) an =
3n + 4
√
(b) an = n (g) an = (1/n)1/n

n2 − 1 (−1)n n2
(c) an = (h) an =
n2 + 1 1 + n3
n2 4n3 + 3n2 + 1
(d) an = (i) an =
n+1 5n3 + 3
3 + (−1)n (j) an = n2−n
(e) an =
n2

16 ´

2 1 ln(2 + en )
(k) an = n 1 − cos (s) an =
n 3n

(l) an = 1 + (−1)n (t) an = ln(n + 1) − ln(n)
n
sen n 4
(m) an = (u) an = 1−
n n
sen n2 5n
(n) an = (v) an = 5 +
n 3n
en − e−n
(o) an = (w) an = 10(n+1)/n
en + e−n
√ √
(p) an = n+8− n (x) an = n2/(n+1)

2n √ √ √
(q) an = (y) an = n( n + 1 − n)
3n + 1
5 − 2−n 1
(r) an = (z) an = n sen
6 + 4−n n

(11) * Demostrar que:
√
(a) Si 0 < a < 2 entonces a < 2a < 2.

√ √ √
(b) La sucesiń
o 2, 2 2, 2 2 2, . . . es convergente.

(c) Hallar el l´
ımite de la sucesiń anterior.
o

(12) * Demostrar que si {an } es una sucesiń que converge a cero y {bn } es una sucesiń
o o
acotada entonces la sucesiń {an bn } converge a cero.
o

(13) * Sean {an }, {bn } y {cn } sucesiones tales que an ≤ bn ≤ cn para todo n y

lim an = lim cn = L.
n→+∞ n→+∞

Demostrar que
lim bn = L.
n→+∞


(14) * Sean {an } una sucesi´n convergente y {bn } una sucesi´n tal que bn = 0 para todo
o o
n y lim bn = +∞. Demuestre que
n→+∞
an
lim = 0.
n→+∞ bn

CAP´
ITULO 2

Series num´ricas.
e

Definiciń y ejemplos. Criterios de convergencia para series de t´rminos
o e
positivos: comparaciń, l´
o ımites, ra´ razń, integral. Series alternadas:
ız, o
criterio de Leibnitz.
¿Las expresiones indefinidamente largas, tales como

x + x2 + x3 . . .

(lo que los matem´ticos llaman series infinitas) pueden ser tratadas por medio de las reglas
a
de la aritm´tica, o son necesarias tćnicas especiales para poder abarcar su infinidad?
e e

Enfrentada con tales dificultades conceptuales, la mente de los matem´ticos del siglo
a
XVIII empez´ a titubear. Lagrange se desesper´ tanto que abandon´ las matem´ticas
o o o a
durante un per´
ıodo de varios aõs, y, en una carta a su amigo y colega Jean Baptiste
n
D’Alembert, en 1.781, expres´ la opiniń de que las matem´ticas estaban ahondando dema-
o o a
siado, con peligro de ser destruidas. D’Alembert, en cambio, no soseg´ a sus alumnos, sino
o
que les exhort´:
o
”Seguid adelante y la fe vendr´ a vosotros”.
a

1. Series.

Las series permiten entender la idea de querer hacer sumas en las que hay una cantidad
infinita de sumandos (tantos sumandos como n´meros naturales).
u
Para dar la idea de una serie debemos considerar dos tipos de n´meros reales:
u
(1) la expresiń para cada sumando: an
o
(2) la expresiń para la suma finita de los primeros n sumandos:
o
n
sn = a1 + · · · + an = ak
k=1

La siguiente terminolog´ es usual:
ıa
(1) A an se le llama t´rmino general de la serie.
e
(2) A sn se le llama la suma parcial de la serie.

19

20 ´
2. SERIES NUMERICAS.

Por lo tanto una serie est´ relacionada con dos sucesiones:
a
(1) la sucesiń {an } de los t´rminos generales de la serie.
o e
(2) la sucesiń {sn } de sumas parciales de la serie.
o

La siguiente notaciń es usual: En vez de referirse a la serie como un par de sucesiones
o
es usual hablar de la serie como
+∞
an .
n=1

Ejemplo 2.1. Para la serie
+∞
n
n=1

tenemos que
an = n
n
n(n + 1)
sn = 1 + · · · + n = k= .
k=1
2
Para obtener la ultima expresiń hemos usado la ecuaciń 1.1.
´ o o
+∞
Una serie n=1 an es una serie de t´rminos positivos cuando an > 0 para cada n.
e

+∞
Una serie n=1 an es una serie alternada cuando

an = (−1)n cn

para alguna sucesiń {cn } tal que cn > 0 para cada n.
o

Ejemplo 2.2. La serie armńica es:
o
+∞
1
.
n=1
n

Para esta serie
1
an =
.
n
Entonces se trata de una serie de t´rminos positivos. Adem´s
e a
n
1 1 1
sn = 1 + + · · · + = .
2 n k=1
k

1. SERIES. 21

Una cuenta interesante es la siguiente:
1 1 1 1 1 1
s2n − sn = 1+ + ··· + + + ··· + − 1+ + ··· +
2 n n+1 2n 2 n
1 1 1 1
= + ··· + ≥ + ··· +
n+1 2n 2n 2n
1 1
= n = .
2n 2
En conclusiń, para la serie armńica:
o o
1
s2n − sn ≥ .
2
+∞
(−1)n
n=1
tenemos que
an = (−1)n .
Entonces se trata de una serie alternada. Adem´s
a
n
−1 si n es impar
sn = (−1)k = −1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n =
k=1
0 si n es par

Ejemplo 2.4. La serie geom´trica (de razń r) es:
e o
+∞
rn .
n=0

Para esta serie
an = rn .
Si r > 0 entonces se trata de una serie de t´rminos positivos. Si r < 0 entonces se trata de
e
una serie alternada. Adem´s
a
n
n
sn = 1 + r + · · · + r = rk .
k=0

Un hecho curioso es que para eta serie: Entonces

rsn = r + r2 + · · · + rn+1 .

Por lo tanto

(1 − r)sn = sn − rsn
= (1 + r + · · · + rn ) − (r + r2 + · · · + rn+1 )
= 1 − rn+1

22 ´

En conclusiń, si r = 1 para la serie geom´trica:
o e
1 − rn+1
sn =
1−r
n
A veces se puede decir con exactitud cuńto da la suma finita (la suma
a k=1 ak ), pero
+∞
en general es muy dif´ decir cuńto da la suma infinita (la serie
ıcil a n=1 an ).

+∞
2 + cos(n3 )
.
n=1
2n + n
tenemos que
2 + cos(n3 )
an =
2n + n
Esta serie es de t´rminos positivos. Adem´s
e a
n
2 + cos(k 3 )
sn =
k=1
2k + k

2. Convergencia y divergencia de series.
+∞
Se dice que la serie n=1 an converge o es una serie convergente cuando la sucesiń de
o
sumas parciales {sn } tiene l´
ımite finito.

+∞
Se dice que la serie n=1 an diverge o es una serie divergente cuando la sucesiń de sumas
o
parciales {sn } no converge (ya sea porque el l´
ımite da +∞, da −∞ ´ no existe).
o

Sea s ∈ R, si la sucesiń {sn } converge a s se suele escribir
o
+∞
an = s.
n=1

En otras palabras, la expresiń anterior quiere decir:
o
n
lim ak = lim sn = s.
n→+∞ n→+∞
k=1

En esto ultimo debe quedar claro que s no se obtiene simplemente por adiciń, s es el
´ o
l´
ımite de una sucesiń de sumas.
o

2. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES. 23

+∞
(−1)n
n=1
ya vimos que
−1 si n es impar
sn =
0 si n es par
+∞
Como lim sn no existe tenemos que n=1 (−1)n diverge.
n→+∞

Ejemplo 2.7. La serie armńica es:
o
+∞
1
.
n=1
n

Anteriormente vimos que
1
(2.1) ≤ s2n − sn .
2
Supongamos que existe un n´mero real s tal que lim sn = s. Usando la ecuaciń (2.1)
u o
n→+∞
tenemos que
1
≤ lim s2n − lim sn .
2 n→+∞ n→+∞

Como lim s2n = s tenemos que
n→+∞
1
≤ s − s = 0.
2
Y esta es una contradicciń (porque 0 < 1 ).
o 2
La contradicciń proviene de haber supuesto que existe un n´mero real s tal que
o u
lim sn = s.
n→+∞
Por el m´todo de reducciń al absurdo concluimos que no existe un n´mero real s tal
e o u
que lim sn = s.
n→+∞
+∞ 1
Es decir, la serie armńica
o n=1 n diverge.

Criterio 2.8 (Criterio del t´rmino general).
e
+∞
Dada n=1 an .
+∞
(i) Si lim an = 0 entonces la serie n=1 an diverge.
n→+∞
(ii) Si lim an = 0, no hay informaciń (puede ser que la serie converja o puede ser
o
n→+∞
que la serie diverja).

Note que si lim an = 0, este criterio no permite llegar a ninguna conclusiń. En este
o
n→+∞
caso debe recurrir a otro criterio.

24 ´

Ejemplo 2.9. Consideremos la serie geom´trica (de razń r):
e o
+∞
rn .
n=0
+∞
Si |r| ≥ 1 entonces lim rn = 0. Por el criterio del t´rmino general.
e n=0 rn diverge si
n→+∞
|r| ≥ 1.
Por otro lado se prob´ que si r = 1 entonces
o
1 − rn+1
sn = .
1−r
Sabemos que lim rn = 0 si |r| < 1. Luego
n→+∞

1 − rn+1 1
lim sn = lim = .
n→+∞ n→+∞ 1 − r 1−r

+∞ 1
En conclusiń, si |r| < 1 entonces la serie
o n=0 rn converge a 1−r
, es decir,
+∞
1
rn = .
n=0
1−r

M´s adelante estudiaremos qu´ ocurre cuando |r| ≥ 1.
a e

Este caso de la serie geom´trica es uno de los pocos casos en los que se puede decir a qu´
e e
valor converge la serie. En general no podemos decir cuńto vale.
a
Para saber si estamos trabajando con un n´mero o no. Es conveniente dar varios criterios
u
de convergencia de series.

3. Criterios de convergencia para series de t´rminos positivos.
e
+∞
Vamos a estudiar las series de la forma n=1 an donde an > 0. En estas condiciones

Sn = a1 + · · · + an > 0.

Para indicar que una serie de t´rminos positivos es convergente se suele escribir
e
+∞
an < +∞.
n=1

Esta notaciń no se usa para otro tipo de series.
o

Criterio 2.10 (Criterio de acotaciń).
o
+∞
Dada n=1 an con an > 0. Si la sucesiń de sumas parciales {Sn } es acotada entonces
o
+∞
n=1 an < +∞ .

´
3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. 25

El criterio de acotaciń es muy usado por los matem´ticos para demostrar teoremas.
o a
Muchas de las demostraciones de los criterios siguientes se basan en ´ste. Por otro lado, la
e
demostraciń del criterio de acotaciń requiere una comprensiń bien profunda del conjunto
o o o
de los n´meros reales, especialmente del axioma del supremo.
u

Criterio 2.11 (Criterio de comparaciń).
o
Sean {an } y {bn } sucesiones tales que 0 < an ≤ bn para todo n.
+∞ +∞
(i) Si n=1 bn converge entonces n=1 an tambiń converge.
e
+∞ +∞
(ii) Si n=1 an diverge entonces n=1 bn tambiń diverge.
e

Ejemplo 2.12. Estudiar la convergencia de la siguiente serie
+∞
2 + cos(n3 )
.
n=1
2n + n

Sabemos que
n
2 + cos(n3 ) 3 1
0≤ n+n
≤ n =3 .
2 2 2
Sean
2 + cos(n3 )
an = .
2n + n
n
1
bn = 3
2
entonces 0 ≤ an ≤ bn .
Como
+∞ +∞ n +∞ n
1 1
bn = 3 =3 < +∞
n=1 n=1
2 n=1
2
porque la serie de la derecha es una geom´trica de razń 1/2 < 1. Es decir, tenemos que la
e o
+∞
serie n=1 bn converge.
+∞
Por el criterio de comparaciń, obtenemos
o n=1 an < +∞. Esto es,
+∞
2 + cos(n3 )
< +∞.
n=1
2n + n

Ejemplo 2.13. Estudiar la convergencia de la siguiente serie
∞
1
n=1
n!

usando que
2n−1 ≤ n! para todo n ≥ 1.

26 ´

(Los estudiantes de la Licenciatura en Matem´tica deber´ ser capaces de probar esta
a ıan
desigualdad usando el m´todo de inducciń completa).
e o
Se sigue que,
1 1
≤ n−1 .
n! 2
Sean
1 1
an = , bn = .
n! 2n−1
Adem´s
a
+∞ +∞ +∞ k
1 1 1
= = < +∞,
n=1
2n−1 k=0
2k k=0
2
porque la serie de la derecha es una geom´trica de razń 1/2 < 1.
e o
Por el criterio de comparaciń
o
∞
1
< +∞.
n=1
n!

Criterio 2.14 (Criterio del l´
ımite).
Sean {an }, {bn } dos sucesiones tales que 0 ≤ an , 0 < bn y sea
an
λ = lim .
n→∞ bn
∞ ∞
(i) Si λ es finito y λ = 0, entonces n=1 bn converge si y s´lo si
o n=1 an converge.
∞ ∞
(ii) Si λ = ∞ y n=1 bn diverge entonces n=1 an diverge .
(iii) En los otros casos no hay informaciń.
o

Ejemplo 2.15. Estudiaremos
+∞
1
sen .
n=1
n
Recuerde que
sen x
lim
= 1.
x→0 x
1 1
Sean an = sen n
y bn = n . Usando el l´
ımite anterior tenemos que
1
an sen n
λ = lim = lim 1 = 1.
n→∞ bn n→∞
n
+∞
1
Como λ es finito y λ = 0 y diverge, por el criterio del l´
ımite tenemos que:
n=1
n
+∞
1
sen diverge.
n=1
n

´

Criterio 2.16 (Criterio de la ra´
ız).
√
Sea {an } una sucesiń tal que an > 0 y sea α = lim
o n
an . Entonces
n→+∞
+∞
(i) Si α < 1, la serie n=1 an converge.
+∞
(ii) Si α > 1, la serie n=1 an diverge.
(iii) Si α = 1, no hay informaciń (puede ser que la serie converja o puede ser que la
o
serie diverja).

Cuando se aplica un criterio y se llega al caso en que ´ste no da informaciń, se deja este
e o
criterio de lado y se trabaja con otro criterio.

Ejemplo 2.17. Estudiaremos la serie
+∞
1
.
n=1
(ln n)n
Tenemos
1
an = ,
(ln n)n

√ 1 1
n
an = n
n
= .
(ln n) ln n
√ 1
α = lim n
an = lim = 0 < 1.
n→+∞ n→+∞ ln n

Por el criterio de la ra´
ız
+∞
1
< +∞.
n=1
(ln n)n

Criterio 2.18 (Criterio del cociente o de la razń).
o
an+1
Sea {an } una sucesiń tal que an > 0 y sea β = lim
o . Entonces
n→+∞ an
+∞
(i) Si β < 1, la serie n=1 an converge.
+∞
(ii) Si β > 1, la serie n=1 an diverge.
(iii) Si β = 1, no hay informaciń (puede ser que la serie converja o puede ser que la
o
serie diverja).

+∞
n!
.
n=1
nn
Tenemos
n!
an = ,
nn

28 ´

(n + 1)!
an+1 = .
(n + 1)n+1

(n + 1)!
an+1 (n + 1)n+1 (n + 1)! nn
β = lim = lim = lim
n→+∞ an n→+∞ n! n→+∞ n! (n + 1)n+1

nn
(n + 1)n! nn nn 1
= lim = lim = lim n+1 n
n→+∞ n! (n + 1) (n + 1)n n→+∞ (n + 1)n n→+∞
n
1 1
= lim 1 n = n
n→+∞ 1+ n 1
lim 1+
n→+∞ n
1
= <1
e
(porque e > 1).
Por el criterio del cociente
+∞
n!
< +∞.
n=1
nn

Para dar el pr´ximo criterio de series usaremos integrales impropias de la forma
o
+∞
f (x) dx.
1

Se dice que la integral impropia
+∞
f (x) dx converge
1
cuando el l´
ımite
b
lim f (x) dx existe y es ﬁnito.
b→+∞ 1

Ejemplo 2.20. Estudiaremos la integral
+∞
1
dx.
1 x
Tenemos
+∞ b
1 1
dx = lim dx = lim [(ln x)]b = lim ln b = +∞.
1
1 x b→+∞ 1 x b→+∞ b→+∞

Luego
+∞
1
dx diverge
1 x

´

Criterio 2.21 (Criterio de la integral).
Sea f una funci´n positiva y estrictamente decreciente deﬁnida en [1, +∞) tal que
o
f (n) = an para todo n natural.
La integral
+∞
f (x) dx converge
1
si y s´lo si la serie
o
+∞
an converge.
n=1

Cuando queremos usar este criterio para estudiar una serie procedemos as´ a partir de
ı
an escogemos f , revisamos que f cumpla las condiciones dadas en el criterio. Calculamos la
integral y luego aplicamos lo siguiente:
+∞ +∞
(1) Si f (x) dx converge entonces an converge.
1 n=1
+∞ +∞
(2) Si f (x) dx diverge entonces an diverge.
1 n=1

+∞
1
.
n=1
n2

Sea
1
f (x) = .
x2
Es claro que f es positiva. Por otro lado,

f (x) = −2x−3 < 0

si x > 0 de donde f es estrictamente decreciente en [1, +∞).
Estudiaremos la integral
+∞
1
dx.
1 x2
Tenemos
+∞ b b
1 1 −1 1
dx = lim dx = lim = lim 1 − = 1.
1 x2 b→+∞ 1 x 2 b→+∞ x 1
b→+∞ b
Luego
+∞
1
dx converge
1 x2

30 ´

entonces la serie
+∞
1
< +∞.
n=1
n2

4. Criterios de convergencia para series de t´rminos alternadas.
e

Criterio 2.23 (Criterio de Leibnitz).
Sea {cn } una sucesi´n tal que
o
(a) c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ 0.
(b) lim cn = 0.
n→+∞
+∞ n
Entonces la serie n=1 (−1) cn converge.

Recuerde que como la serie no es de t´rminos positivos para decir que la serie converge
e
+∞
no se usa la notaci´n
o n=1 an < +∞..

+∞
1
(−1)n .
n=1
n

En este caso el t´rmino general es
e
1
an = (−1)n .
n
Sea
1
cn = .
n
Entonces c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ 0.
1
lim cn = lim = 0.
n→+∞ n→+∞ n

Por el criterio de Leibnitz tenemos que
+∞
1
(−1)n converge.
n=1
n

5. Series telesc´picas.
o
+∞
Las series n=1 an tales que el t´rmino general se puede representar como una diferencia
e
de la forma:
an = bn − bn+1

se denominan series telesc´picas y su comportamiento est´ garantizado por el siguiente teo-
o a
rema.

´
5. SERIES TELESCOPICAS. 31

Teorema 2.25. Sean {an } y {bn } dos sucesiones de n´meros reales tales que
u

an = bn − bn+1
+∞
para n = 1, 2, . . . . Entonces la serie n=1 an converge si y s´lo si la sucesi´n {bn } converge,
o o
en cuyo caso tenemos
+∞
an = b1 − L,
n=1
donde L = lim bn .
n→+∞

Ejemplo 2.26. Queremos determinar si converge o no la serie
+∞
1
.
n=1
n2 +n
Sea
1
an = .
n2 +n
Se tiene que
1 1 1
an = = − .
n(n + 1) n n+1
Tomando bn = 1/n tenemos que
an = bn − bn+1 .
Adem´s sabemos que b1 = 1 y
a

lim bn = lim 1/n = 0.
n→+∞ n→+∞

Aplicando el teorema anterior obtenemos
+∞
1
= 1.
n=1
n2 +n

32 ´

Ejercicios.
Series.

(1) Verifique que las siguientes series son divergentes

1 2 3 4 9 27 81
(a) + + + + ... (e) 3 − + − + ...
2 3 4 5 2 4 8
+∞ +∞ n
3n 4
(b) (f)
n=1
n+1 n=1
3
+∞ +∞
n 2n + 1
(c) (g)
n=1
2n + 3 n=1
2n+1
+∞ 2 +∞
n n
(d) (h) √
n=1
n2 + 1 n=1
n2 + 1

(2) Verifique que las siguientes series son convergentes

3 9 27 1 1 1
(a) 2 + + + + ... (c) 2 − 1 + − + − ...
2 8 32 2 4 8
+∞ +∞
(b) (0.9)n (d) (−0.6)n
n=1 n=1

+∞
(3) Pruebe que la serie (−1)n−1 diverge.
n=1
(4) ¿Qu´ est´ mal en la siguiente “demostraciń” de que la serie geom´trica divergente
e a o e
+∞
(−1)n+1 tiene por suma cero?
n=1
“Demostraciń”:
o

+∞
(−1)n+1 = [1 + (−1)] + [1 + (−1)] + · · · + [1 + (−1)] + . . .
n=1

= 0 + 0 + ··· + 0 + ··· = 0

(5) Demuestre que
+∞
1
(a) La serie converge y determine su suma.
n=1
n(n + 1)
+∞
1 1
(b) Se cumple la siguiente igualdad = .
n=1
(n + 2)(n + 3) 3

EJERCICIOS. SERIES. 33

Sugerencia: use la parte (a).

+∞
7 2
(6) Demuestre que la serie − n−1 converge y determine su suma.
n=1
n(n + 1) 3

(7) Encuentre una f´rmula para Sn y demuestre que la serie converge o diverge usando
o
lim Sn .
n→∞

∞ ∞
1 −1
(a) 2−1
(c)
n=1
4n n=1
9n2 + 3n − 2
∞ ∞
n 1
(b) ln( ) (d) √ √ .
n=1
n+1 n=1
n+1+ n

(Sugerencia: racionalice el denominador).

+∞
1 1
(8) Determine si la serie n
+ converge o diverge.
n=1
5 n

(9) Demuestre o d´ un contraejemplo:
e

+∞ +∞ +∞
“Si an y bn divergen entonces an + bn diverge”.
n=1 n=1 n=1

(10) Supongamos que lim (an+1 − an ) existe. Demostrar que
n→+∞
+∞
(an+1 − 2an + an−1 ) = a0 − a1 + lim (an+1 − an ).
n→+∞
n=1

(11) Determine si las siguientes series telesc´picas convergen o divergen.
o

+∞ +∞
1 ln((1 + 1/n)n (1 + n))
(a) √ √ (d)
n=1
n+1− n n=1
ln(nn ) ln((n + 1)n+1 )
+∞ +∞
√ √ √ 1
(b) ( n + 2 − 2 n + 1 + n) (e) arctan
n=1 n=1
n2 +n+1
+∞ +∞
n2 − 1 2
(c) ln (f) arctan
n2 n=1
n2
n=1

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