Este documento presenta la resolución de 9 ejercicios relacionados con ecuaciones de círculos, elipses, hipérbolas y parábolas. En el primer ejercicio, se determina el centro, focos y vértices de una elipse dada por su ecuación. En el segundo, se deduce la ecuación de una elipse con condiciones dadas. En el tercero, se hace lo mismo para una hipérbola. Los ejercicios restantes involucran determinar elementos geométricos o realizar cálculos con las ecuaciones dadas

1. 1
Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:
Ejercicio 1
De la siguiente elipse 9𝑥2
+ 3𝑦2
= 27 determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
9𝑥2
+ 3𝑦2
= 27
Si dividimos entre 27
(
𝑦2
9
) + (
𝑥2
3
) = 1
de una elipse vertical con centro en el origen:
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1
Donde:
(ℎ, 𝑘) = centro = (0,0)
a = 3
b = √3
c = √𝑎2 − 𝑏2 = √9 − 3 = √6
Los vértices
(ℎ, 𝑘 ± 𝑎) ⇒ (0,0 + 3) (0,0 − 3) ⇒ (0,3) (0,−3)
Los focos
(ℎ, 𝑘 ± 𝑐) ⇒ (0, 0 + √6) (0,0 − √6)⇒ (0,√6) (0,−√6)

2. 2
Ejercicio 2
Deduzca una ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices (±5,0)
y focos en (±3,0)
GRAFICANDO LOS PUNTOS ENEL PLANO TENEMOS
Análisis de la grafica:
 La grafica permite deducir que el eje mayor de la elipse es el eje x,
 se puede ver que su centro es el origen.
 El parámetro a(distancia del centro a los vértices) =5 und
 El parámetro c(distancia del centro a los focos) =3 und
Ecuaciones:
La ecuación de la elipse es de la forma:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1

3. 3
𝑎2
− 𝑐2
= 𝑏2
52
− 32
= 𝑏2
→ 𝑏 = √25− 9
𝑏 = √16 = 4𝑢𝑛𝑑.
Reemplazando
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
GRAFICA
Ejercicio 3
De la siguiente hipérbola 9𝑥2
− 25𝑦2
= 225. Determine:
9𝑥2
225
−
25𝑦2
225
=
225
225
𝑥2
25
−
𝑦2
9
= 1
Eje real eje x
𝑎2
= 25 𝑎 = 5 𝑏2
= 9 𝑏 = 3
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
= 34 𝑐 = √34
a. Centro =(0,0)
b. Focos= (±√34,0)
c. Vértices=(±5,0)

4. 4
Ejercicio 4
Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas:Centro en ((1,
- 3), un foco en (1, - 6) y un vértice en (1, - 5).
Ejercicio 5
Demostrar que la ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
+ 6𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 es una circunferencia. Determine:
Solución:
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝟔𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎
( 𝑥2
+ 6𝑥) + ( 𝑦2
− 2𝑦) = 15
Completamos cuadrados:
( 𝑥2
+ 6𝑥 + 9) + ( 𝑦2
− 2𝑦 + 1) = 15 + 9 + 1
( 𝑥 + 3)2
+ ( 𝑦 − 1)2
= 25
ℎ = 3 𝑘 = 1 𝑟 = 25
a. Centro (−3,1)
b. Radio 5
𝑐 = (−3,1) 𝑟 = 5

5. 5
Ejercicio 6
De la siguiente parábola 𝑥2
+ 6𝑥 + 4𝑦 + 8 = 0. Determine:
Solución
Organizamos la ecuación:
𝑥² + 6𝑥 = − 4𝑦 − 8
Completamos el trinomio:
𝑥2
+ 6𝑥 + (
𝑏
2
)
2
= − 4𝑦 − 8 + (
𝑏
2
)
2
𝑥2
+ 6𝑥 + (
6
2
)
2
= − 4𝑦 − 8 + (
6
2
)
2
𝑥2
+ 6𝑥 + 32
= − 4𝑦 − 8 + 32
𝑥2
+ 6𝑥 + 9 = − 4𝑦 − 8 + 9
𝑥2
+ 6𝑥 + 9 = − 4𝑦 + 1 ,
factorizamos...
Luego la ecuación canónica es:
( 𝑥 + 3)2
= −4( 𝑦 − ¼)
( 𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝( 𝑦 − 𝑘)
Vértice: (ℎ, 𝑘)
− ℎ = 3 ⇒ ℎ = − 3
− 𝑘 = − ¼ ⇒ 𝑘 = ¼

6. 6
𝑉(−3,¼ )
Foco: 𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑝)
⇒ 4𝑝 = − 4 ⇒ 𝑝 = −
4
4
⇒ 𝑝 = −1
𝐹[−3, ¼ + (−1)]
𝐹(−3, ¼ − 1)
𝐹(−3, − ¾)
Directriz:
𝐿: 𝑦 = 𝑘 − 𝑝 ⇒ 𝑦 = ¼ − (−1) ⇒ 𝑦 = ¼ + 1 ⇒ 𝑦 = 5/4
Ejercicio 7
Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x + 6y - 7 = 0 en el
punto P (- 4, 1).
Ejercicio 8
Calcular las siguientes sumatorias
a. ∑ (20 − 𝑘 + 1)320
𝑘=1
∑(20 − 𝑘 + 1)3
20
𝑘=1
= ∑(21 − 𝑘)3
20
𝑘=1
(21 − 𝑘)3
= 9261 − 1323𝑘 + 63𝑘2
− 𝑘3

7. 7
∑ 9261 − 1323𝑘 + 63𝑘2
− 𝑘3
20
𝑘=1
∑ 9261 = 20𝑥9261 = 185220
20
𝑘=1
∑ −1323𝑘 = −1323∑ 𝑘 = −1323. (
20(21)
2
20
𝑘=1
20
𝑘=1
) = −277830
∑ 63𝑘2
= 63.
20 ∗ 21 ∗ 41
6
= 180810
20
𝑘=1
∑ −𝑘3
20
𝑘=1
= − (
20 ∗ 21
2
)
2
= −44100
∑(20 − 𝑘 + 1)3
20
𝑘=1
= 185220 − 277830 + 180810 − 44100 = 44100
b. ∑ (3𝑘2
+ 2𝑘 − 5)50
𝑘=1
∑(3𝑘2
+ 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
= 3∑ 𝑘2
+ 2∑ 𝑘 − ∑ 5
50
𝑘=1
50
𝑘=1
50
𝑘=1
∑(3𝑘2
+ 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
= 3
50 ∗ 51 ∗ 101
6
+ 2
50(51)
2
− 5 ∗ 50
∑(3𝑘2
+ 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
= 131075
Ejercicio 9

8. 8
Calcular las siguientes productorias:
a. ∏ ( 𝑎 − 𝑘2)3
𝑘=1
∏( 𝑎 + 𝑘2)
3
𝑘=1
∏( 𝑎 + 𝑘2)
3
𝑘=1
= ( 𝑎 − 12).( 𝑎 − 22). (𝑎 − 32
)
∏( 𝑎 + 𝑘2)
3
𝑘=1
= ( 𝑎 − 1). ( 𝑎 − 4).( 𝑎 − 9)
( 𝑎 − 1).( 𝑎 − 4) = 𝑎2
− 5𝑎 + 4
(𝑎2
− 5𝑎 + 4)(𝑥 − 9) = 𝑎3
− 14𝑎2
+ 49𝑎 − 36
b. ∏ ∏ ∏
2𝑖−𝑗
2𝑘+𝑖
2
𝑖=1
4
𝑗=3
6
𝑘=5

9. 9