UNMSM Ejercicios de clase matemáticas

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordinario 2016-I
Semana Nº 18 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Habilidad Lógico Matemática
EJERCICIOS DE CLASE Nº 18
1. Arturo tiene cinco bolsas marcadas con las letras X, Y, Z, W y R; conteniendo 6, 12,
14, 29 y 23 canicas, respectivamente. Algunas bolsas contienen solo canicas azules
y las restantes solo canicas rojas. Regala todas las canicas de una de las bolsas;
entonces le queda el doble de canicas rojas que de azules. ¿Cuál es la letra
marcada en la bolsa que regaló?
A) X B) Y C) Z D) W E) R
Solución:
Total de canicas: 6 + 12 + 14 + 29 + 23 = 84
Sea A la cantidad de canicas de la bolsa que regala.
De las que quedan,
Canicas azules: B.
Canicas rojas: 2B.
Se tiene:
3B + A = 84
3B = 84 – A
A puede ser: 6 o 12
Si A = 12, entonces B = 24 ¡No puede ser, pues no hay bolsas que sumen 24 canicas!
Luego: A = 6
Rpta.: A
2. Un pescador fabrica una red rectangular, similar a la de la figura. Hace 32 nudos (los
puntos interiores) y coloca 28 corchos en el perímetro. ¿Cuántos agujeros tiene su
red?
A) 48
B) 52
C) 42
D) 36
E) 45
Solución:
Número de corchos a lo largo: x
Número de corchos a lo ancho: y
De los datos:
2(x + y – 2) = 28 Luego x + y = 16
(x – 2)(y – 2) = 32 = 8 x 4 entonces x = 10, y = 6
Por tanto, número de agujeros: (x – 1)(y – 1) = 45
Rpta.: E

3. Supongamos que podemos sustituir cada recuadro de la figura por un signo de
operación matemática. Empleando: +, -, ×, ÷ , una sola vez cada uno de ellos, y
sin mover los números en ningún momento, obtener el máximo y el mínimo valor de
E, y dé como respuesta la suma de esos dos valores.
A) 3 B) 5 C) 6 D) 1 E) 2
Solución:
EMáximo = 3 + 6 x 5 – 3 ÷ 4 = 32,25
EMínimo = 3 – 6 x 5 + 3 ÷ 4 = – 26, 25
Sumando se obtiene el valor de 6
Rpta.: C
4. En la figura, el sólido está formado por siete cubos iguales pegados entre sí. Se
sumerge completamente en un recipiente con pintura. Luego de secar y despegar
los siete cubos, ¿cuántas caras pintadas hay más que las no pintadas?
A) 13
B) 16
C) 14
D) 10
E) 29
Solución:
Total de caras = 7  6 = 42
Pintadas = 26
No Pintadas = 16
Diferencia = 26 – 16 = 10
Rpta.: D
5. En la figura se muestran tres relojes. En ese momento, uno tiene dos horas de
retraso; otro tiene tres horas de adelanto, y el otro está malogrado. ¿Qué hora será
realmente dentro de cinco horas?
A) 16 h B) 17 h C) 14 h D) 12 h E) 15 h

Solución:
Un reloj debe mostrar 2 horas menos.
Otro debe mostrar 3 horas más.
Luego hay dos relojes que se diferencian en 5 horas.
Por lo tanto, por la figura, el de 15h está adelantado 3 horas, el de 10h atrasado 2
horas y el otro está malogrado.
En este momento son las 12h y dentro de 5 horas serán las 17h.
Rpta.: B
6. En una reunión familiar, están presentes dos padres, dos hermanos, un tío y un
sobrino. Cada uno lanzó dos dados convencionales; al sumar todos los puntos de
las caras superiores de los dados, se obtuvo entre todos 40 puntos. Si todos,
excepto el sobrino, obtuvieron el mismo puntaje cada uno, y la cantidad de personas
reunidas es la mínima, ¿cuál es el mínimo puntaje que pudo obtener el sobrino?
A) 5 B) 3 C) 4 D) 8 E) 6
Solución:
Mínimo número de personas = 4
Puntaje sobrino: x
minx puntaje del resto 40 
min minx 2(6) 2(6) 2(6) 40 x 4      
Rpta.: C
7. El matrimonio Castillo tiene tres hijos: Naydu, Emily y José. El matrimonio Morales
tiene cuatro hijos: Mariana, Celia, Alberto y Pablo. El matrimonio Duran tiene dos
hijos: Ana y Sara. El hijo de la familia Castillo se casa con Mariana, hija de los
Morales, de este matrimonio nacen dos hijos: Pedro y Gisela. Pablo, hijo de los
Morales, se casa con Ana, hija de los Duran; de este matrimonio nace Raúl. ¿Qué
parentesco tiene Gisela con Raúl?
A) Primos B) Esposos C) Hermanos
D) Cuñados E) Concuñados
Solución:
Rpta.: A
abuelo
hermanos
hijos
sobrino
tío
padre 2
padre 1
hijo
hijo

8. En una reunión familiar, donde solo están presentes mujeres, se puede observar que
hay tres madres, cuatro hijas, dos abuelas, tres nietas, una bisabuela y una bisnieta.
¿Cuántas personas, como mínimo, puede haber en dicha reunión?
A) 6 B) 5 C) 14 D) 4 E) 3
Solución:
Según el gráfico:
 Hay 5 personas como mínimo.
Rpta.: B
9. Una urna contiene fichas rojas y blancas; para ganar S/ 10 es necesario sacar, de
uno en uno, dos fichas rojas seguidas o tres fichas blancas de cualquier forma. ¿De
cuántas maneras diferentes se puede ganar los S/ 10?
A) 12 B) 17 C) 14 D) 15 E) 16
Solución:
Formas de ganar los S/ 10:
RR, RBRR, RBRBB, RBRBRR, RBRBRB, RBBB, RBBRR, RBBRB,
BBB, BRR, BBRB, BBRR, BRBB, BRBRR, BRBRB
Número de maneras: 15
Rpta.: D
10. Si se lanzan cuatro dados convencionales sobre una mesa, ¿de cuántas maneras
diferentes se obtiene ocho, como resultado de sumar los puntos obtenidos en sus
caras superiores?
A) 38 B) 36 C) 35 D) 37 E) 40
bisabuela - madre
abuela - madre - hija
hermanas
bisnieta - nieta - hija
hijas
madre

Solución:
Utilizando permutaciones con repetición y permutación simpe:
4
3
4
2
4
2,2
4
2
4
4
(1,1,1,5) P = 4
(1,1,2,4) P = 12
(1,1,3,3) P = 6
(1,2,2,3) P = 12
(2,2,2,2) P = 1
Total = 35





Rpta.: C
11. Danitza y sus nueve amigas juegan vóley. Si Danitza siempre tiene que estar
jugando, pues es la capitana del equipo, ¿cuántos equipos diferentes con seis
jugadoras se podrán formar?
A) 200 B) 105 C) 136 D) 12 E) 126
Solución:
Como Danitza siempre va como capitana del equipo entonces solo falta elegir 5
chicas de las 9 que quedan.
C9
5 = 126
Se podrá formar 126 equipos diferentes.
Rpta.: E
12. Ana va a construir con cartulina, ya cortada adecuadamente, una pirámide regular
de base cuadrada, para lo cual ha empleado 864 cm2 de material (ver la figura). Si
el lado del cuadrado mide 18 cm, calcule el volumen de la pirámide.
A) 1296 cm3
B) 1200 cm3
C) 1000 cm3
D) 1024 cm3
E) 1300 cm3
Solución:
Área total pirámide 2 18
18 4 864
2
a 
   
 
15a cm 
VAB:
2 2
15 9 12h   
Vol. pirámide 2 31
(18 12) 1296
3
cm  
Rpta.: A
18 cm
ah
9
V
A B

13. Alison lanza una esfera, cuyo volumen es 36 m3, en un hoyo que tiene la forma de
un prisma triangular regular. Si la esfera se encuentra inscrita en el hoyo, calcule el
volumen del hoyo.
A) 162 3 m3 B) 162 2 m3 C) 81 3 m3
D) 81 2 m3 E) 81 6 m3
Solución:
34
36
3
3
Volumen R
R
  

2
2
3
3
( )2R
4
3
2
162 3 m
PRISMA
a
V
a R



Rpta.: A
14. En la figura, se muestran 144 depósitos de forma cilíndrica de 15 cm de radio y
10 cm de altura, llenos de aceite y un depósito vacío, en forma de cono. Si se desea
vaciar sin desperdiciar todo el aceite, en el depósito mostrado de forma cónica de 90
cm de radio de la base, ¿qué altura, en metros, debe tener dicho depósito para que
esté completamente lleno?
A) 1,3
B) 1,5
C) 0,9
D) 1,2
E) 0,6



a 2R 3
a 2(3) 3
a 6 3

Solución:
Volúmenes iguales:
144(π(15)2 10 ) = π (90)2 H.
H = 120 cm.
Rpta.: D
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 18
1. Cuatro amigos tienen la siguiente cantidad de panes y dinero en soles:
Si todos consumen igual cantidad de pan, y al final se reparten el dinero entre los
que aportaron en la alimentación para los otros, ¿cuántos soles le corresponden a
Quique?
A) 5 B) 8 C) 10 D) 6,5 E) 7
Solución:
Se divide cada pan en 4 trozos: se tiene 10  4 = 40 trozos.
Todos comen igual: 10 trozos cada uno.
Miguel come 10 trozos de otros.
Néstor come 2 trozos de otros.
Paul dona 12 – 10: 2 trozos.
Quique dona 20-10: 10 trozos.
Las donaciones son 12 trozos y corresponde darles 12 soles.
Por lo tanto a Quique le corresponde: S/ 1  10 = 10 soles.
Rpta.: C
2. En un terreno de forma cuadrada, que ha sido parcelado como se indica en la figura,
se va a sembrar poncianas, molles, eucaliptos y álamos, cuatro de cada tipo y uno
en cada parcela cuadrada, de tal forma que en cada columna, fila o diagonal,
formada por cuatro parcelas no haya dos o más plantas del mismo tipo. Si el costo
de cada ponciana es S/ 15, cada molle S/ 9, cada eucalipto S/ 7 y cada álamo S/ 6,
¿cuál es el costo máximo, en soles, de los árboles que se siembran en las casillas
(parcelas) sombreadas?
A) 72
B) 84
C) 61
D) 62
E) 56
Amigos Panes Dinero (Soles)
Miguel 0 10
Néstor 2 2
Paul 3 0
Quique 5 0

Solución:
Sea
P: número de poncianas.
M: número de molles.
E: número de eucaliptos.
A: número de álamo.
Luego como máximo se puede sembrar:
2P + 2M + 1E + 1A = S/ 61
Rpta.: C
3. Si pudiera enumerar el total de abuelos y abuelas de mis bisabuelos y bisabuelas,
¿cuántos, como máximo, se podrían contar?
A) 20 B) 28 C) 16 D) 64 E) 32
Solución:
Una persona tiene 4 abuelos en total.
Cada bisabuelo tiene 4 abuelos en total.
Tengo en total entre bisabuelos y bisabuelas: 8
N° de abuelos y abuelas de mis bisabuelos entre varones y mujeres: 4(8) = 32.
Rpta.: E
4. No es cierto que Juan no sea sobrino de Alberto, quien es tío de Pedro.
Es falso que Pedro y Juan sean hermanos.
Juan y María son hermanos.
Por lo tanto:
A) Pedro y María son esposos.
B) María y Pedro son hermanos.
C) María y Pedro son primos.
D) María es nieta de Alberto.
E) Pedro es padre de María.
Solución:
El equivalente a “no es cierto que Juan no sea sobrino de Alberto”
Juan es sobrino de Alberto.
Además Alberto es tío de Pedro.
Pedro y Juan no son hermanos.
Juan y María son hermanos.
Se deduce:
Pedro y Juan primos.
Como Juan es hermano de María.
Pedro y María primos.
Rpta.: C
5. El número de maneras diferentes que se pueden sentar en una mesa de forma
circular “N” personas, donde hay dos amigos que siempre se sientan juntos es 240.
Halle el valor de N.
A) 4 B) 7 C) 9 D) 12 E) 15

Solución:
Según los datos tenemos:
Los dos amigos: 2! maneras diferentes de sentarse.
Maneras de sentarse todos: ((N – 1) ! – 1) !
Luego por el proceso multiplicativo:
2 !. ((N – 1) – 1)! = 240
2! (N – 2 )! = 2. 5!
N – 2 = 5
Luego, N = 7
Rpta.: B
6. Juan está dando su examen final que consta de veintidós preguntas, de las cuales
debe contestar veinte. Si de los once primeros debe contestar por lo menos diez,
¿de cuántas maneras diferentes puede elegir las veinte preguntas?
A) 174 B) 164 C) 176 D) 156 E) 184
Solución:
Como de las 11 primeras debe contestar por lo menos 10 preguntas, entonces
puede contestar 10 u 11, de las 11 últimas 10 ó 9:
Número de maneras: 11 11 11 11
10 10 11 9 176C C C C   
Rpta.: C
7. En un cuartel militar, un coronel del ejército peruano solicitó dos oficiales y tres
soldados. Si se presentaron cinco oficiales y seis soldados, ¿de cuántas maneras
diferentes podrá elegirlos?
A) 200 B) 120 C) 240 D) 360 E) 220
Solución:
#manera de elegir los oficiales = C5
2 = 10
#maneras de elegir a soldados = C6
3 = 20
Total maneras de elegirlos = 10  20 = 200.
Rpta.: A
8. Se tiene un tetraedro regular V- ABC inscrito totalmente en un cilindro recto. Si el
volumen del tetraedro es de 16 6 cm3, halle el volumen del menor cilindro que
contiene al tetraedro.
A) 3
64 2 cm B) 3
54 2 cm C) 3
32 2 cm
D)
3
144 cm E)
3
64 cm
Solución:
B
C
V
A
Oa
A
C
BH
r
r 3
2
r 3
2
r
r
3
O

T
D
O
8
4 2
8
4
A
B C
R
 
3
Tetraedro V-ABC
2 2 3
CILINDRO
r 3 2
Vol : =16 6 r = 4
12
a 6 4 3 6
Altura del Tetraedro: H= 4 2
3 3
Altura del Tetraedro = Altura del Cilindro
Volumen r .H 4 .4 2 64 2 cm

 
     
Rpta.: A
9. En la figura se muestra un cubo de 8 cm de arista, inscrito en una esfera. Halle el
volumen de la esfera.
A) 3
cm256
B) 3
cm3256 
C) 3
cm3248 
D) 3
cm264
E) 3
cm3253 
Solución:
   
 
222
33
1). CTO : R = 4 + 4 2 R= 4 3
4 4
2). Vesfera= R 4 3 256 3
3 3
 
    
Rpta.: B
10. Calcule el volumen de una pirámide que tiene como base a un trapecio, cuyas
longitudes de las bases suman K cm y el área de la proyección de la pirámide sobre
un plano perpendicular a las bases del trapecio es M cm2.
A)
6
3KM
cm B) 3(K+M)
cm
12
C) 3(K+M)
cm
3
D) 3KM
cm
3
E) 3KM
cm
2
Solución:
3
Trapecio
Piramide
Se observa que la proyeccion es un triangulo.
Hh
Luego M=
2
Kh
Area =
2
1 Kh KM
Volumen = ( )H=
3 2 3
cm
Rpta.: D

Habilidad Verbal
SEMANA 18A
EVALUACIÓN DE LA COMPRENSIÓN LECTORA
SERIES VERBALES
El actual sílabo de Habilidad Verbal considera que el futuro estudiante universitario
tiene que ser capaz de develar las diferentes relaciones semánticas que una ristra de
palabras castellanas puede esconder. Para este fin, el estudiante preuniversitario ha de
basarse en la competencia léxica que ha podido desarrollar durante su experiencia lectora
y su vida diaria. Las relaciones semánticas desarrolladas en el transcurso del ciclo son:
— sinonimia,
— antonimia,
— hiperonimia,
— meronimia,
— variadas analogías.
1. Morigerar, exceder; finiquitar, ultimar; diferir, concordar;
A) proferir, adular. B) patentar, aclarar. C) arrostrar, vacilar.
D) encaminar, encauzar. E) soslayar, amainar.
2. Escudo, cuartel; espada, cimitarra; camisa, pechera;
A) alféizar, pared. B) chacal, depredador. C) gárgola, catedral.
D) tórtolo, ganga. E) mapache, úrsido.
3. Lúcido, resplandeciente, brillante
A) diáfano. B) velado. C) pródigo.
D) acucioso. E) flamante.
4. Dispendioso, costoso; sibilino, manifiesto; ecuánime, imparcial;
A) dinámico, anquilosado. B) estancado, obstruido. C) dicaz, mordaz.
D) racional, leguleyo. E) luctuoso, apremiante.
5. Perecimiento, óbito; obstinación, transigencia; amalgama, mezcla;
A) volubilidad, inconstancia. B) menester, abundancia.
C) conversación, cháchara. D) concavidad, hondonada.
E) sinuosidad, ondulación.
ELIMINACIÓN DE ORACIONES
El actual sílabo de Habilidad Verbal concibe los ejercicios de eliminación de
oraciones como un indicador fiable del modo como los futuros estudiantes universitarios
son capaces de relacionar conjuntos oracionales sobre la base de un tema central que le
confiere unicidad al texto, así como la cantidad de información nueva o superflua que las
oraciones de dichos conjuntos poseen. En este sentido, dos son los criterios utilizados
para eliminar oraciones: en primer lugar, la impertinencia; en segundo lugar, la
redundancia.

1. I) Celia nació en Totana, un pueblo de Murcia. II) Aunque Celia tuvo algunos
problemas de alimentación, ni sus padres ni los médicos notaron nada muy
preocupante en ella. III) Cuando iba a cumplir un año, los padres de Celia
percibieron un estancamiento en su desarrollo. IV) A los 16 meses, Celia empezó a
caminar, pero de forma inestable y nunca llegó a articular frases complejas, solo
palabras como «papá» o «mamá». V) Cuando Celia iba a cumplir dos años y tras
una prueba genética, una doctora del Hospital Virgen de la Arrixaca de Murcia la
diagnosticó con «lipodistrofia congénita de Berardinelli».
A) IV B) V C) I D) II E) III
Solución:
Se elimina la oración I por impertinencia.
Rpta.: C
2. I) Científicos de la Universidad de Los Ángeles en Estados Unidos están tratando de
desarrollar órganos humanos dentro de cerdos a través de un estudio genético.
II) Una investigación llevada a cabo en EE. UU. utiliza una revolucionaria técnica
conocida como edición genética a fin de desarrollar órganos humanos. III) Editar el
genoma de forma precisa constituye una poderosa herramienta para la investigación
de los procesos biológicos. IV) Algunos expertos creen que esta podría ser la
respuesta a la escasez de órganos humanos en el mundo, pero también plantea una
serie de preocupaciones éticas. V) Esto significaría que un lechón neonato podría
desarrollar un órgano que tendría únicamente células humanas.
A) II B) I C) IV D) V E) III
Solución:
Se elimina la oración III por impertinencia.
Rpta.: E
3. I) La denominada «píldora de las matemáticas» se llama Ritalin y continúa siendo
uno de los tratamientos más usados en EE.UU. II) En otros países, el Ritalin se
emplea para regular el trastorno de déficit de atención con hiperactividad (ADHD, por
sus siglas en inglés). III) Existe la leyenda urbana de que Panizzon bautizó la píldora
como Ritalin en homenaje a su esposa Margarita, a quien llamaba Rita con cariño.
IV) Aunque el Ritalin se usa como fármaco recetado, puede tener graves efectos
secundarios incluyendo nerviosismo, insomnio, anorexia, pérdida del apetito,
cambios en el pulso, problemas de corazón y pérdida de peso. V) El Ritalin es el
nombre para el metilfenidato, clasificado por la Administración de Control de Drogas
de Estados Unidos como un narcótico de Clase II: la misma clasificación que la
cocaína, la morfina y las anfetaminas.
A) III B) IV C) V D) I E) II
Solución:
Se elimina la oración III por impertinencia.
Rpta.: A
4. I) Un animal de compañía o mascota es un animal seleccionado por su
comportamiento, adaptabilidad y por su interacción con sus cuidadores y no
cuidadores. II) Se les conserva con el propósito de brindar ayuda o para el disfrute
del cuidador. III) El animal de compañía se caracteriza por ser amigable e incluso
puede aprender buenos modales. IV) Las mascotas siempre evocan ternura,

amistad, alegría, y por eso llegan a ser considerados como parte de la familia.
V) Las mascotas, por su adaptabilidad, han ayudado a los humanos en diversos
ámbitos sociales, culturales y deportivos, como en hospitales, rescate de personas,
guías de ciegos, apoyo policial, y mucho más.
A) V B) I C) II D) III E) IV
Solución:
Se elimina la oración II por redundancia.
Rpta.: C
5. I) Un taxista abrió fuego contra unos delincuentes que intentaron robarle su vehículo
en Surco. III) Un taxista, identificado como Henry Díaz Ramírez, el disparó a unos
delincuentes en Surco. III) Según la Policía, Díaz Ramírez sería miembro de la
Marina por lo que tenía en su poder un arma de fuego durante el incidente. IV) De
acuerdo a testigos, cuatro hombres, entre ellos un joven de 15 años, abordaron el
taxi de Díaz Ramírez y, tras avanzar unas cuadras, los delincuentes redujeron al
chofer para arrebatarle su unidad. V) Producto del altercado, un adolescente de 15
años perdió la vida tras recibir un balazo en el cuello por parte del taxista Díaz.
A) V B) III C) IV D) II E) I
Solución:
Se elimina la oración I por redundancia.
Rpta.: E
COMPRENSIÓN LECTORA
El actual sílabo de Habilidad Verbal apostó por el desarrollo de las competencias
básicas en nuestro estudiantado, es por ello que a lo largo de las semanas fue menester
que cada docente explorara en clase, en la medida de lo posible, ejecuciones concretas y
rendimientos evaluables. En ese sentido, hoy tiene plena justificación hacer un balance
general, balance que ha de recoger actividades trabajadas desde la primera semana y
que tuvieron como propósito analizar el desempeño del futuro universitario a través de la
recuperación de la información, la comprensión del texto, el desarrollo de una
interpretación, así como su pertinente reflexión y evaluación.
Los ítems que se han evaluado durante el desarrollo del ciclo han sido de cinco
tipos:
I) el tema central, la idea principal o el mejor resumen;
II) el sentido contextual o el antónimo contextual de las palabras;
III) oraciones compatibles u oraciones incompatibles;
IV) las inferencias o deducciones; y
V) las extrapolaciones.
TEXTO 1
En vida, sus amigos se referían a él como «el viejo», aun cuando era joven, quizá
por su parsimonia al caminar y su formalidad en el trato; quizá también porque su intensa
pulsión por la lectura se reflejaba en una estructura de personalidad que lo hacía aparecer
como cargado de años. También se le conoció como «el nuevo Aristóteles», por su
pretensión sistemática y por su estatura filosófica. Nació el mismo año que Beethoven y

fue contemporáneo de Goethe y Napoleón, entre otros ínclitos personajes que
compartieron, sin coincidir en persona, la época turbulenta, revolucionaria y
restauracionista, de una Europa convulsionada por la formación de los nuevos tiempos.
Georg Wilhelm Friedrich Hegel expresó con su pensamiento esta condición histórica; lo
hizo con pasión y profundidad, pero también con una densidad tal que puede alejar a
cualquiera del intento de conocerlo. Este filosofar tan denso y complejo es uno de los
signos característicos de este pensador famoso y reconocido, aunque no necesariamente
bien conocido. Su pensamiento ha sido objeto de simplificaciones, tergiversaciones y
anatemas. Quizá esa alambicada escritura haya sido el motivo principal de estas
incomprensiones. Hegel es difícil, sin duda, pero su acceso no está bloqueado. Si se
aspira a comprenderlo y calibrar sus enseñanzas para el presente, debemos desandar los
malos pasos. Es aconsejable, en primer término, desmontar los mitos y las leyendas
clásica de Hegel que han enmarañado su filosofía al grado de hacerla aparecer como una
caricatura.
Karl Popper, en efecto, calificó como histéricos los puntos claves del pensamiento
de Hegel: el platonismo de Hegel es «altisonante e histérico». El calificativo de «histérico»
sería lo de menos, pues bastaría añadir, como hace Žižek, que si de histéricos se trata,
Hegel sería «el más sublime». Pero el asunto, a decir verdad, es más complicado: Popper
es el referente principal de una interpretación que coloca la filosofía de Hegel como un
eslabón más de la cadena que llevó al pensamiento occidental hacia el totalitarismo. Jon
Stewart (1996) ha compilado en un estupendo libro ensayos diversos donde se remontan
los principales mitos y leyendas que ha tenido que cargar Hegel en sus espaldas. Uno de
esos mitos dice que Hegel justificó como racional todo lo que existe, y por tanto, todos los
holocaustos, dictaduras, tiranías, represiones, guerras, etcétera, han sido necesarias. La
fuente de este mito es una célebre frase de la Filosofía del derecho que dice: «Lo que es
racional, es real; y lo que es real, es racional» (fd: 51, 24). Pero realidad, por supuesto, no
significa en Hegel lo que la conciencia ingenua asume como tal; y racional tampoco quiere
decir «justificable». Y ello no nada más en Hegel sino en un horizonte de comprensión
filosófica o, al menos, medianamente reflexivo. A aquel mito se agregan otros como el que
sostiene que Hegel fue un teórico totalitario o un apologista de la monarquía prusiana. Y
tres más: Hegel glorificó la guerra, planteó el fin de la historia y rechazó la ley de la
contradicción. Por fortuna estos mitos —y otros varios que se podrían agregar— se han
ido disipando en la medida en que ha crecido el interés por la filosofía de Hegel en las
décadas recientes. El debate sigue su curso (vid. Hösle, Bubner, Houlgate).
1. El término ALAMBICADO alude a un tipo de escritura muy
A) accesible. B) confusa. C) inteligible. D) simple. E) exotérica.
Solución:
En el texto hace alusión a una escritura complicada de entender, es decir, confusa.
Rpta.: B
2. Resulta compatible con el texto sostener que Hegel
A) a través de su filosofía, justificó el holocausto.
B) solo fue contemporáneo del autor del Fausto.
C) vivió en una época tumultuosa y convulsionada.
D) careció de imprecaciones por su pensamiento.
E) actualmente es ninguneado por su filosofía.

Solución:
La afirmación correcta es que el pensamiento de Hegel vivió en una época de
cambios.
Rpta.: C
3. En el texto, la palabra CONVULSIONADA connota
A) parsimonia. B) transgresión. C) marejada.
D) digresión. E) flagrancia.
Solución:
Eran épocas de cambios y conflictos, por lo tanto, la palabra connota transgresión
del statu quo.
Rpta.: B
4. El texto, principalmente, señala que
A) Hegel era llamado «el nuevo Aristóteles» por su estatura filosófica.
B) la filosofía de Hegel fue anatematizada debido a su carácter meridiano.
C) fue Popper quien caracterizó de «histérico» al pensamiento hegeliano.
D) la filosofía de Hegel sirvió para justificar los holocaustos y las dictaduras.
E) el pensamiento hegeliano, por su densidad, fue interpretado erróneamente.
Solución:
La idea principal del texto se centra en exponer que la filosofía de Hegel, producto
de su complejidad, derivó en una serie de malinterpretaciones a largo de la historia.
Rpta.: E
5. Se infiere del texto que Hegel
A) participó políticamente en los sucesos históricos de su época.
B) logró conocer personalmente a egregias figuras literarias.
C) se caracteriza por un razonamiento sumamente histérico.
D) desencadenó una serie de hecatombes a nivel mundial.
E) a pesar de su pensamiento denso aún se mantiene vigente.
Solución:
Es válido inferir que el pensamiento de Hegel, a pesar de su dificultad para
comprenderlo, aún se mantiene vigente, pues autores contemporáneos como Žižek
lo siguen estudiando.
Rpta.: E
6. Es posible deducir del texto que los detractores de Hegel
A) son los causantes de que en la actualidad casi ni se le conozca.
B) acusan una falta de comprensión notoria de su pensamiento.
C) atinaron en sindicarlo como el autor de gobiernos omnímodos.
D) fallaron en su intento por sindicarlo de alambicado y confuso.
E) se expusieron al vincularlo sin pruebas con la dictadura prusiana.
Solución:
Quienes lo impugnan son aquellos que tergiversaron o simplificaron su pensamiento.
En consecuencia, acusan una carencia de comprensión de la obra de Hegel.
Rpta.: B

7. Si Hegel hubiese expresado su pensamiento filosófico a través de un lenguaje más
diáfano,
A) no habría sufrido una serie de interpretaciones tergiversadas.
B) aun así su pensamiento hubiese estado ligado al totalitarismo.
C) sus reflexiones habrían carecido de interés en la actualidad.
D) Popper igual habría calificado de histérico su sistema filosófico.
E) se revelaría su abierto rechazo de las guerras y las dictaduras.
Solución:
Si tal fuera el caso, entonces no habría sido blanco de tergiversaciones.
Rpta.: A
TEXTO 2
Según la OMS, el aire contaminado aumenta el riesgo de padecer enfermedades
respiratorias agudas (como neumonía) y crónicas, como el cáncer de pulmón o dolencias
cardiovasculares. Aunque la contaminación afecta por igual a todo el mundo, su efecto es
mayor entre las personas mayores, los niños y quienes padecen enfermedades. En su
informe, el PNUMA advierte de la pervivencia de elevados índices de contaminación del
aire en todo el mundo, aunque incide en la dificultad añadida que tienen los países en
vías de desarrollo, donde el acceso a energías limpias es todavía limitado. Por ejemplo, el
estudio advierte de que todavía hay unos 3000 millones de personas que utilizan cocinas
que funcionan con combustión de carbón o biomasa (madera, excrementos de animales o
residuos agrícolas), mientras que solo una cuarta parte de los países cuentan con la
tecnología necesaria para reducir la contaminación de partículas contaminantes en los
vehículos.
«La contaminación del aire afecta cada día a más personas —afirma Achim Steiner,
director ejecutivo del PNUMA—. La respuesta que estamos dando a nivel mundial es
inadecuada. Sin embargo —aclara— existen numerosos países que están haciendo los
deberes». En efecto, hay motivos para la esperanza, como demuestra que en 97 de los
194 países analizados en el informe ha aumentado el número de hogares con acceso a
energías renovables. De estos, además, al menos 83 aplican incentivos o toman medidas
para mejorar la eficiencia energética. El informe se hace eco de ejemplos como el de
Noruega, donde las ayudas gubernamentales han disparado el uso de vehículos
eléctricos hasta ocupar una tercera parte de la cuota de mercado del sector, o el de Brasil,
donde gana fuerza la agricultura de conservación. Además, según otro estudio elaborado
conjuntamente por el PNUMA, Boomberg y la Escuela de Frankfurt, el año pasado la
inversión en energías renovables alcanzó un récord histórico de 286 millones de dólares
(unos 256 millones de euros). Sin embargo, también hay motivos para la preocupación,
como demuestran los altos niveles de contaminación registrados el año pasado en
Beijing. «A pesar de que los programas de control de la polución están siendo efectivos, la
calidad del aire está lejos de ser satisfactoria», afirma Chen Tian, director general de la
Oficina de Protección de Medio Ambiente de la capital de China. No es para menos,
teniendo en cuenta que la ciudad registró el año pasado picos de concentración de
sustancias nocivas hasta 40 veces superior al límite fijado por la OMS.

1. La idea principal del texto es
A) la contaminación del aire provoca enfermedades respiratorias, tanto agudas
como crónicas.
B) el estudio de la OMS nos advierte que las medidas contra la polución del aire
son ineficaces.
C) la PNUMA recomienda el uso de energías alternativas contra la contaminación
aérobica.
D) la contaminación del aire es un problema mundial y debe ser tratado con mayor
celeridad.
E) una de las ciudades más afectas por la excesiva contaminación del aire fue
Beijing.
Solución:
El texto remarca sobre la importancia de tomar medidas rápidas contra la
contaminación del aire que se produce de manera mundial.
Rpta.: D
2. El sentido contextual del término ECO es
A) referencia. B) sonido. C) asenso. D) intrincado. E) laxo.
Solución:
En el texto el término alude a un modelo, imitación o referencia.
Rpta.: A
3. Resulta incompatible con el desarrollo textual afirmar que la ciudad China de Beijing
A) podría afectar en mayor medida a ancianos, niños y personas enfermas.
B) alcanzó picos excesivamente elevados de contaminación medioambiental.
C) está cada vez más cerca de erradicar satisfactoriamente la contaminación.
D) ha implementado medidas para disminuir los niveles de contaminación.
E) enfrenta la polución mediante la Oficina de Protección de Medio Ambiente.
Solución:
Según el texto, a pesar de las medidas ejecutadas, Beijing está lejos de solucionar el
problema de la contaminación.
Rpta.: C
4. Se deduce del texto que, en relación a la excesiva contaminación ambiental que
sufrió la ciudad de Beijing,
A) la gran concentración de fábricas que posee dicha ciudad es la causa.
B) el gobierno chino no diseñó programas de control contra la polución.
C) Chen Tian mostró una preocupación sobredimensionada al respecto.
D) es más probable que los más afectados hayan sido sus ciudadanos.
E) las enfermedades respiratorias hayan presentado un mínimo riesgo.
Solución:
Uno de los efectos de la contaminación del aire son las enfermedades respiratorias,
entonces es posible deducir que frente a ese escenario, lo más probable es que los
ciudadanos de Beijing hayan resultado perjudicados.
Rpta.: D

5. Si el gobierno peruano incentivara el uso de vehículos eléctricos,
A) el Perú carecería por completo de contaminación medioambiental.
B) esto implicaría un abuso de autoridad frente a la libertad mercantil.
C) los precios de los vehículos a combustión bajarían rápidamente.
D) podrían contrarrestar los niveles altos de la contaminación del aire.
E) las enfermedades respiratorias ya no serían una causa de mortandad.
Solución:
Si en el Perú se incentivara el uso de vehículos eléctricos, es posible que ayuden a
contrarrestar la proliferación de la contaminación del aire.
Rpta.: D
SEMANA 18 B
SERIES VERBALES
1. Jactancia, pedantería; propugnación, rechazo; consuelo, solaz;
A) abstinencia, represión. B) gollería, manjar. C) sordidez, pureza.
D) carantoña, caricia. E) estabilidad, reluctancia.
Solución:
Es una serie mixta que se completa con los antónimos SORDIDEZ-PUREZA.
Rpta.: C
2. Venia, asenso; bellaquería astucia; ruindad,
A) vileza. B) vehemencia. C) patraña.
D) disfuerzo. E) fárrago.
Solución:
La serie es sinonímica. Se completa con el sinónimo de RUINDAD; a saber, vileza.
Rpta.: A
3. Complete con sus respectivos sinónimos las siguientes palabras: Dispar,
____________ ; indulgente, ____________ ; especioso, ____________;
A) truculento, antojadizo, aparente. B) opíparo, candoroso, bello.
C) asimétrico, permisivo, engañoso. D) caquéctico, frágil, hermoso.
E) insano, deleznable, contencioso.
Solución:
Se completa con las palabras ASIMÉTRICO, PERMISIVO y ENGAÑOSO, que son
los sinónimos respectivos.
Rpta.: C
4. Determine el los merónimos de ESPADA y CRÁNEO.
A) filo, maxilofacial. B) hoja, paladar. C) cuenco, orbicular.
D) empuñadura, maxilar. E) daga, dentadura.
Solución:
Las palabras que se corresponden con los merónimos, es decir, las partes de
ESPADA y CRÁNEO, son EMPUÑADURA y MAXILAR.
Rpta.: D

5. Bagatela, fruslería, nadería,
A) zarandaja. B) lisonja. C) carestía.
D) medianía. E) precariedad.
Solución:
La serie de sinónimos se completa con la palabra ZARANDAJA.
Rpta.: A
ELIMINACIÓN DE ORACIONES
1. I) Alan Mathison Turing fue un brillante matemático inglés que se hizo famoso por su
trabajo descifrando los códigos nazis en la Segunda Guerra Mundial. II) Pese a ser
un personaje insigne, Turing fue procesado después de que su amante Arnold
Murray entrara a robar en su casa con ayuda de un cómplice. III) Denunció el delito y
durante la investigación policial reconoció que era gay, convencido de que no tenía
nada de qué avergonzarse. IV) Decidieron imputarlo por indecencia grave y
perversión sexual, y tuvo que elegir entre ir a la cárcel o someterse a un tratamiento
con estrógenos para corregir su defecto. V) Optó por el tratamiento, lo que le produjo
fatales efectos secundarios y dos años después murió envenenado con cianuro.
A) I B) II C) III D) IV E) V
Solución:
Se elimina I por impertinencia.
Rpta.: A
2. I) Salvaguardar las fronteras del Imperio de las invasiones de los pueblos bárbaros
fue una prioridad para los antiguos romanos. II) Parte de los límites, conocidos como
limes, eran provistos por defensas naturales que impedían el paso de los invasores.
III) Dos de las vallas más emblemáticas fueron los muros de Antonio y de Adriano,
las cuales se construyeron en Gran Bretaña. IV) En los puntos accesibles de
algunos ríos fueron edificadas torres y fortalezas, y en muchas franjas se cavaron
fosas y se construyeron cercos para la defensa del imperio. V) Las construcciones
defensivas no sirvieron de nada cuando las masas lideradas por los Hunos llegaron
a las fronteras del Imperio.
Solución:
Se elimina V por impertinencia.
Rpta.: E
3. I) Henry Cavendish, científico inglés, descubrió el hidrógeno y fue pionero de la
electricidad. II) En el ámbito personal, Cavendish era extremadamente tímido, sobre
todo con las mujeres. III) Pedía a la servidumbre que no lo tocara y prohibió que lo
vieran directamente a los ojos. IV) Quien deseaba hablar con él sobre asuntos
científicos, debía fingir que hablaba al aire. V) En realidad solo las personas más
cercanas al científico le escucharon pronunciar algunas palabras.
Solución:
Se elimina I por impertinencia.
Rpta.: A

4. I) Una asentamiento informal es un lugar donde se establece una persona o una
comunidad que no está dentro del margen de las normas establecidas. II) Los
asentamientos informales, conocidos como «invasiones», generalmente son densos
establecimientos que abarcan a comunidades o individuos albergados en viviendas
construidas bajo deficientes condiciones de vida. III) Las «invasiones» toman forma
de establecimientos espontáneos sin reconocimiento ni derechos legales,
expandiendo los bordes de las ciudades en terrenos marginados que están dentro
de los límites de las zonas urbanas. IV) Los asentamientos informales son
característicos en los países en vías de desarrollo o zonas de pobreza.
V) Típicamente las «invasiones» son producto de la urgente necesidad de vivienda
de las comunidades urbanas de escasos recursos económicos.
A) I B) V C) III D) IV E) II
Solución:
Se elimina I por redundancia.
Rpta.: A
5. I) La finalidad más importante de los tallos es desempeñar la función de conducción,
distribuyendo sustancias nutritivas por todo el cuerpo vegetal. II) Los tallos también
ejercen funciones de sostén porque contribuyen al sostenimiento del peso de las
ramas, hojas y frutos. III) Los tallos tiernos poseen clorofila; por consiguiente,
realizan a pequeña escala la tarea de fotosíntesis. IV) Existen muchos tallos que
acumulan en su interior gran cantidad de sustancias nutritivas, desempeñando por
tal motivo la función de reserva. V) Así, el tallo es el órgano de la planta que crece
en sentido contrario a la raíz en contraposición a la fuerza de gravedad.
A) IV B) III C) I D) V E) II
Solución:
Se elimina V por impertinencia. El eje temático es las funciones del tallo, no sus
características.
Rpta.: D
6. I) Edmund Husserl fue el fundador de la escuela fenomenológica y del método
fenomenológico del filosofar. II) El programa teórico de Husserl se centra en la
transformación de la filosofía en una ciencia estricta. III) La filosofía de Husserl
busca la creación de una lógica pura del conocimiento científico. IV) El conocimiento
científico aspira a una descripción objetiva, sistemática y pormenorizada de los
fenómenos de la realidad. V) Husserl introduce el método de reducción
fenomenológica para concentrarse en la pura conciencia.
A) III B) II C) I D) IV E) V
Solución:
Se elimina IV por impertinencia. El tema es la filosofía fenomenológica de Husserl,
no el método científico.
Rpta.: D
7. I) Los cráneos de los neandertales no eran como los nuestros, sino más bien tenían
un contorno bajo y redondeado, más notorio al mirarlo desde atrás. II) Incluso el
cráneo en las mujeres neardentales presentaban los arcos supraorbitarios más
grandes y continuaban hasta la mitad de la cara. III) Es más probable que las
grandes dimensiones nasales externas del cráneo de los neandertales fueran un
rasgo heredado de sus antepasados. IV) Los grandes senos adyacentes a la nariz

impartían al maxilar superior y a las mejillas de los neandertales un aspecto inflado.
V) Al parecer, los Neandertales y los Homo sapiens cohabitaron juntos, pues se ha
hallado en Israel un cráneo de 55 mil años que sugiere ello.
A) IV B) V C) I D) III E) II
Solución:
Se elimina V por impertinencia. El eje temático es los rasgos fisiológicos del cráneo
de los neandertales.
Rpta.: B
8. I) Mahoma nació en la Meca en 570 y fue el profeta fundador del islam. II) Mahoma
tuvo una infancia pobre y dura. III) Mahoma trabajó como caravanero al servicio de
su tía Khadidja y recorrió Arabia y Siria. IV) Tiempo después, Mahoma contrajo
matrimonio con Khadidja. V) Las predicaciones y las leyes que Mahoma propugnó
constituyen el Corán.
A) V B) III C) IV D) II E) I
Solución:
Se elimina V por impertinencia.
Rpta.: A
TEXTO 1
a) «Él miró a su esposa. “Parece muy desgraciada —pensó— casi enferma”. Se
preguntó qué decir». Es un discurso directo o una cita («Parece muy
desgraciada», pensó), combinado con el discurso indirecto o del personaje («se
preguntó qué decir»). Transmite la idea anticuada del pensamiento de un
personaje como un discurso que se pronuncia a sí mismo una especie de
interpelación interna.
b) «Él miró a su esposa. Parecía muy desgraciada, pensó, casi enferma. Se
preguntó qué decir». Esto es estilo indirecto, el discurso interno del marido lo
refiere el narrador y queda marcado como tal («pensó»). Es el código más
reconocible y más habitual de todos los códigos de la narración realista
estándar.
c) «Él miró a su mujer. Sí, ella se mostraba aburridamente infeliz de nuevo, casi
enferma. ¿Qué demonios le podía decir?». Es discurso indirecto libre. El
discurso interno del marido o pensamiento se ha liberado de su marca de
narrador: nada de «se dijo», ni «se preguntó», ni «pensó».
Obsérvese cómo ha ganado en flexibilidad. La narración parece apartarse del
novelista y adquirir las propiedades del personaje, que ahora «posee» las palabras. El
escritor es libre de modular el pensamiento en estilo indirecto, de amoldarlo en torno a las
propias palabras del personaje («¿Qué demonios le podía decir?»). Nos hallamos muy
cerca del flujo de conciencia, y esa es la dirección que toma el estilo indirecto libre en el
siglo XIX y principios del XX: «Él la miró. Infeliz, sí. Enfermiza. Obviamente, un gran error
habérselo dicho. Su estúpida conciencia de nuevo. ¿Por qué tuvo que soltárselo? Todo
era culpa suya, ¿y ahora qué?».
Como complemento, no debemos olvidar que el estilo indirecto libre adquiere su
máximo poder cuando apenas resulta visible o audible. «Ted contemplaba la orquesta a
través de una lágrimas estúpidas». En mi ejemplo, la palabra «estúpidas» marca la frase
e indica que está escrita en estilo indirecto libre. Si la quitamos, tenemos un pensamiento

normal en tercera persona. La adicción de esta palabra suscita la pregunta: ¿de quién es
esta palabra? Así, lo que resulta tan útil del estilo indirecto libre es que a veces pertenece
tanto al narrador como al personaje; no estamos totalmente seguros de quién es el
«dueño» de la palabra.
WOOD, James. (2013). «Narración». Los mecanismos de la ficción. Cómo se construye
una novela. Barcelona: RBA, 24-25.
1. Medularmente, el texto realiza una presentación de los principales estilos narrativos
empleados en la ficción con el propósito de
A) rechazar tajantemente la utilización del estilo directo por ser anticuado.
B) mostrar la importancia de la técnica narrativa en la literatura moderna.
C) indagar los orígenes de la técnica literaria del «flujo de la conciencia».
D) imponer el discurso indirecto libre como el único válido para la novela.
E) justificar la ambivalencia que provoca el estilo indirecto en los lectores.
Solución:
Desde el inicio, el texto presenta las principales diferencias en el uso de cada uno de
los estilos narrativos. Finalmente, admite las ventajas del estilo indirecto libre y sus
desarrollos en la narrativa moderna.
Rpta.: B
2. Dentro del texto, el término FLEXIBILIDAD connota
A) verosimilitud. B) elasticidad. C) mentira.
D) lenidad. E) mecanismo.
Solución:
En el texto, la alusión a la «flexibilidad» de la narración se refiere a la verosimilitud
que ha ganado el relato por emplear el estilo indirecto libre.
Rpta.: A
3. Se desprende del texto que los narradores del siglo XIX y principios del XX
A) mostraron preocupación por delimitar claramente la voz del narrador.
B) renunciaron radicalmente a la exploración de las formas de la ficción.
C) se enfocaron en describir las dinámicas interpersonales en la pareja.
D) refinaron algunos procedimientos técnicos en su práctica novelística.
E) se definieron a sí mismos como dos bandos irreconciliables siempre.
Solución:
El texto presenta una continuidad en el uso y el perfeccionamiento del estilo indirecto
libre por parte de los novelistas del siglo XIX y principios el XX. En este sentido,
puede decirse que refinaron algunas técnicas literarias en sus propias ficciones.
Rpta.: D
4. De acuerdo al texto, no es congruente sobre el discurso indirecto libre afirmar que
A) puede sostenerse que es un antecedente fundamental del monólogo interior.
B) excluye expresiones tan comunes como «se dijo», «se preguntó» o «pensó».
C) su efecto se repotencia apenas el lector identifica su utilización en lo que lee.
D) consiste en liberar el discurso interno del personaje de la marca del narrador.
E) suscita la sensación de que los personajes poseen un mundo interior propio.

Solución:
El texto señala que «el estilo indirecto libre adquiere su máximo poder cuando
apenas resulta visible o audible». Por ende, es falso que su efecto se repotencie
cuando el lector percibe que se emplea esta técnica.
Rpta.: C
5. Si a los escritores, desde el siglo XIX hasta la actualidad, no les hubiera importado el
aspecto técnico de la narración,
A) podría explicarse claramente fenómenos como el Boom latinoamericano.
B) la literatura habría sido relegada hace mucho tiempo por el teatro de hoy.
C) los textos literarios habrían logrado alcanzar notables progresos técnicos.
D) la poesía sería el género más consumido por el lector de la época actual.
E) sería complicado valorar una obra literaria bajo el criterio del «realismo».
Solución:
Existe una relación entre los progresos técnicos y el efecto de realidad que se
desprende del relato. Si la técnica no hubiera sido un imperativo para los escritores,
difícilmente se podría valorar una obra como más «realista» que otra, ya que este
criterio obedece en el fondo a una infraestructura técnica.
Rpta.: E
TEXTO 2
La comunicación lingüística se sirve de dos códigos a partir de la invención de la
escritura. Estos se manifiestan en dos modalidades diferentes, según el medio y el canal
usados para la transmisión de los mensajes: la modalidad oral y la modalidad escrita. En
la modalidad oral se emplean elementos fónicos, que se transmiten por el aire en forma
de ondas sonoras perceptibles acústicamente por el receptor, denominado oyente. En la
modalidad escrita, en cambio, se emplean elementos gráficos, que, plasmados sobre un
determinado soporte material, son percibidos visualmente por el receptor, que adquiere la
condición de lector.
Aunque la escritura nace como técnica para representar gráficamente el lenguaje,
no es un simple método de transcripción de la lengua hablada. Si exceptuamos cierto tipo
de escritos destinados a reproducir lo que se ha dicho (como las actas de las sesiones
parlamentarias) o lo que se ha de decir (como los diálogos de las obras teatrales o de los
guiones cinematográficos), la comunicación escrita se configura como un código en cierto
modo autónomo, con características y recursos propios, y funciones específicas distintas,
aunque complementarias, de las correspondientes a la comunicación oral.
Ambos códigos, oral y escrito, son interdependientes en la medida en que los dos
construyen sus mensajes con arreglo a un mismo sistema, el sistema lingüístico, y entre
ellos existen evidentes interrelaciones e influencias mutuas; pero su autonomía se hace
asimismo patente en el hecho de que muchos de los elementos acústicamente
perceptibles en la comunicación oral carecen de reflejo gráfico en la escritura, como la
intensidad del sonido, la velocidad de emisión, los cambios de ritmo, los silencios, las
inflexiones expresivas de sentimientos o actitudes del hablante (ironía, reproche, irritación,
etc.). Y, a la inversa, existen recursos propios de muchos sistemas de escritura, como la
separación de palabras mediante espacios en blanco, la división en párrafos, la oposición
entre la forma minúscula y mayúscula de las letras, los entrecomillados, etc., que no
tienen correlato acústico. Así pues, no todos los rasgos fónicos de la comunicación oral se
corresponden con elementos gráficos en la comunicación escrita y, a su vez, esta posee
recursos que le son propios y que no tienen necesariamente reflejo en el plano oral.
(Real Academia Española, Ortografía de la lengua española, pp. 6-7)

1. El texto versa sobre
A) las diferencias y los engarces entre la escritura y la oralidad.
B) la comunicación lingüística manifestada en el discurso oral.
C) las funciones capitales de los sistemas lingüísticos escriturarios.
D) los recursos privativos de los sistemas de escritura y oralidad.
E) el reflejo del discurso oral en los mecanismos de la escritura.
Solución:
El tema central del texto es la diferenciación entre las modalidades escrita y oral de
la comunicación oral, junto con sus correspondencias.
Rpta.: A
2. La expresión CON ARREGLO A se puede reemplazar por
A) con influjo en. B) a propósito de.
C) en correspondencia con. D) a diferencia de.
E) de conformidad con.
Solución:
Los códigos oral y escrito se estructuran sobre la base del sistema lingüístico; en
consecuencia, estos se corresponden con la lengua.
Rpta.: C
3. Determine la alternativa que contiene la idea principal del texto.
A) La escritura es una forma gráfica que aparece como técnica para representar de
manera visual al lenguaje.
B) Algunos de los rasgos acústicos carecen de una correspondencia directa en al
comunicación escrita.
C) Las actitudes de los hablantes, manifestadas en el plano oral, son
irreproducibles en el contexto de la norma escrita.
D) Ciertos recursos usados en la redacción de textos procuran mantener el engarce
con los sistemas lingüísticos particulares.
E) Los códigos oral y escrito son interdependientes dada su relación con la lengua,
aunque sus mecanismos se diferencien.
Solución:
La aserción que desarrolla esencialmente el tema central, relativo a las relaciones y
las diferencias entre la oralidad y la escritura, se explicita en la alternativa (E), ya
que, en efecto, existe interdependencia entre ambos códigos; no obstante, las
diferencias son visibles.
Rpta.: E
4. Resulta incompatible con el texto afirmar que los recursos escriturarios
A) son distintos y complementarios respecto del discurso oral.
B) no constituyen un mero método de transcripción de lo oral.
C) se corresponden completamente con los del código oral.
D) determinan que el receptor adquiera la condición de lector.
E) comprende, entre otros, a las distinciones entre grafías.
Solución:
Muchos de los elementos de la oralidad carecen de correspondencia con el código
escrito. Resulta contrario afirmar que existe equivalencia total.
Rpta.: C

5. Se deduce del desarrollo textual que las correspondencias entre unidades
alfabéticas y sonidos del habla son
A) armoniosas. B) formales. C) asimétricas.
D) deleznables. E) ecuménicas.
Solución:
No existe una correspondencia uno a uno entre elementos escritos y orales; por
consiguiente, es una relación asimétrica.
Rpta.: C
6. Si la escritura pudiera configurar todos los rasgos detectables del registro oral, es
probable que
A) los relatos dejarían de tener vigencia por la funcionalidad de los trovadores.
B) la escritura dejaría de ser una herramienta útil para preservar los saberes.
C) los alfabetos se diferenciarían notoriamente debido a las diferencias orales.
D) inflexiones tonales propias de la irritación se transcribirían grafémicamente.
E) la escritura se debilite debido a la hegemonía de la oralidad en el discurso.
Solución:
Se indica en el texto que no existe una correspondencia completa, razón por la cual
los detalles de la oralidad no se pueden transcribir. Si eso fuera posible, la ira y la
ironía podrían corresponderse con algún elemento escriturario.
Rpta.: D
SEMANA 18 C
SERIES VERBALES
1. ¿Cuál es el término que no forma parte del campo semántico?
A) Corolario B) Secuela C) Consecuencia
D) Derivación E) Epílogo
Solución:
El campo semántico está asociado a un acontecimiento que se sigue o resulta de
otro.
Rpta.: E
2. Señale el término que no corresponde a la serie verbal.
A) Mentor B) Docente C) Tutor D) Preceptor E) Discente
Solución:
El campo semántico corresponde a sinónimos de educador.
Rpta.: E
3. Lince, félido; buey, boyera; mandril, primate;
A) vehículo, flota. B) pez, banco. C) obispo, cónclave.
D) grey, feligrés. E) oveja, aprisco.
Solución:
La relación analógica es GÉNERO, ESPECIE; SUJETO, LUGAR ADECUADO;
GÉNERO, ESPECIE.
Rpta.: E

4. Periplo, circunnavegación; culmen, cenit; asceta, eremita;
A) parangón, semejanza. B) asertivo, adverso.
C) vaporoso, consistente. D) contumaz, dócil.
E) perspicuo, ilegible.
Solución:
Se trata de una serie verbal sinonímica.
Rpta.: A
5. Elija la alternativa que no corresponde a la serie verbal.
A) Improperio B) Injuria C) Insulto D) Denuedo E) Ultraje
Solución:
El campo semántico está asociado a un agravio de obra o de palabra.
Rpta.: D
6. Frenético, irascible, furibundo,
A) excitado. B) enajenado. C) ponzoñoso. D) atrabiliario. E) ampuloso.
Solución:
Serie verbal sinonímica.
Rpta.: D
7. Pacato, osado; acre, afable; herético, ortodoxo;
A) bisoño, experto. B) tozudo, testarudo. C) laxo, débil.
D) magistral, soberbio. E) obsoleto, desfasado.
Solución:
La serie verbal se basa en una relación antonímica.
Rpta.: A
8. Retroceder, recular, cejar,
A) asir. B) ponderar. C) ciar. D) porfiar. E) denostar.
Solución:
Serie verbal sinonímica.
Rpta.: C
TEXTO 1
Las ballenas azules son los seres vivos que emiten los sonidos más potentes, pero
los martinetes empleados en la cimentación con pilotes las superan en volumen. Expertos
en acústica de la Universidad de Texas saben cómo atenuar el ruido industrial submarino
para no perjudicar la comunicación de las ballenas: rodeando la maquinaria con una
cortina de burbujas capaces de reducir en 40 decibelios el estruendo de la construcción
de puentes o la perforación petrolera, lo cual equivale a convertir el ruido de una calle
urbana en el ambiente de una biblioteca. Martillear entre burbujas debilita la energía de
las ondas sonoras. Los primeros test se hicieron con burbujas normales, pero en la
versión definitiva se empleó aire encapsulado en películas de látex. La cortina de burbujas
se ató a unos cabos lastrados para que estas no se rompieran o salieran flotando. En las
pruebas, la cortina de burbujas devolvió al fondo marino su sonido natural.
(Johnna Rizzo, «Sonido envolvente», National Geographic España,
http://www.nationalgeographic.com.es/articulo/ng_magazine/actualidad/7440/sonidoenvolvente.html)

1. Si las burbujas usadas como atenuante del ruido de los martilleos fueran demasiado
dispersas como para constituir una cortina, es probable que
A) las poblaciones de ballenas disminuyan considerablemente y pasen a ser una
especie en extinción.
B) los expertos de acústica involucrados en el proyecto consideren el desecho de
todo material ruidoso.
C) las ballenas se vean perjudicadas ante la imposibilidad de disminuir la potencia
de los martinetes.
D) las poblaciones de ballenas se vean desplazadas a zonas más profundas para
evitar el ruido.
E) los investigadores procuren modificar la capacidad auditiva de las ballenas
azules en los mares.
Solución:
Las burbujas conforman una cortina; se deduce que es una cortina densa capaz de
atenuar el ruido de los martinetes. Si las burbujas generadas fueran dispersas, no
habría manera de disminuir la potencia del ruido.
Rpta.: C
2. Si las frecuencias de las ballenas fueran sensiblemente mayores a las originadas por
los martinetes, probablemente
A) la generación de cortinas de burbujas sería innecesaria.
B) estas se verían diezmadas en su propio medio natural.
C) los expertos buscarían nuevas formas de atenuar el ruido.
D) los océanos serían nichos inhabitables para los cetáceos.
E) el apareamiento de mamíferos marinos se obstaculizaría.
Solución:
Las frecuencias altas son propias de sonidos fuertes. Si los sonidos de las ballenas
tuviesen un rango de frecuencias más alto en comparación con los ruidos originados
por los martinetes, estos últimos no serían un peligro real para la comunicación de
cetáceos.
Rpta.: A
TEXTO 2

1. El mensaje sustancial de la caricatura es que
A) autoridades y dirigentes buscan la remediación de los problemas sociales.
B) los dirigentes deben coordinar con sus bases antes de firmar acuerdos.
C) los acuerdos que asume el gobierno alientan los reclamos sociales.
D) los acuerdos asumidos con el gobierno de turno carecen de fiabilidad.
E) los conflictos sociales se solucionan con acuerdos en mesa de diálogo.
Solución:
La misma ministra lo afirma no cumplimos los acuerdos.
Rpta.: D
2. Se deduce que la lucha por la remediación ambiental
A) se resuelve en paz con autoridades y dirigentes legítimos.
B) es pacífica cuando no es objeto del engaño gubernamental.
C) goza del apoyo masivo de las regiones más contaminadas.
D) debe iniciarse con la firma de un acuerdo con el gobierno.
E) reúne en un frente a las comunidades amazónicas y andinas.
Solución:
Entre los reclamantes están presentes comunidades andinas y amazónicas.
Rpta.: E
3. Se colige que las comunidades kichwa y mayjuna, y la Federación Campesina de
Espinar
A) exigen el cambio de la ministra por haberse burlado del acuerdo con ellas.
B) sienten desprecio por sus dirigentes que se encuentran con la ministra.
C) ya han firmado con el gobierno un acuerdo de remediación ambiental.
D) se suman inconscientemente a los enemigos de la explotación minera.
E) cuando exigen sus derechos, cuentan con mujeres muy intransigentes.
Solución:
Ahora luchan por su cumplimiento.
Rpta.: C
TEXTO 3
Liberalismo y democracia se nos confunden en las cabezas y, a menudo, queriendo
lo uno gritamos lo otro. Por esta razón conviene de cuando en cuando pulimentar las dos
nociones, reduciendo cada una a su estricto sentido. Pues acaece que liberalismo y
democracia son dos cosas que empiezan por no tener nada que ver entre sí y acaban por
ser, en cuanto tendencias, de sentido antagónico.
Democracia y liberalismo son dos respuestas a dos cuestiones de derecho político
completamente distintas. La democracia responde a esta pregunta: ¿Quién debe ejercer
el Poder público? La respuesta es: el ejercicio del Poder público corresponde a la
colectividad de los ciudadanos. Pero en esa pregunta no se habla de qué extensión debe
tener el Poder público. Se trata solo de determinar el sujeto a quien el mando compete. La
democracia propone que mandemos todos; es decir, que todos intervengamos
soberanamente en los hechos sociales. El liberalismo, en cambio, responde a esta otra
pregunta: ejerza quienquiera el Poder público, ¿cuáles deben ser los límites de este? La
respuesta suena así: el Poder público, ejérzalo un autócrata o el pueblo, no puede ser
absoluto, sino que las personas tienen derechos previos a toda injerencia del Estado. Es,
pues, la tendencia a limitar la intervención del Poder público.

De esta suerte aparece con suficiente claridad el carácter heterogéneo de ambos
principios. Se puede ser muy liberal y nada demócrata, o viceversa, muy demócrata y
nada liberal. Las antiguas democracias eran poderes absolutos, más absolutos que los de
ningún monarca europeo de la época llamada “absolutista”. Griegos y romanos
desconocieron la inspiración del liberalismo. Es más, la idea de que el individuo limite el
poder del Estado, que quede, por lo tanto, una porción de la persona fuera de la
jurisdicción pública, no puede alojarse en las mentes clásicas. El liberalismo es una idea
germánica. Donde el germanismo no ha llegado, no ha prendido el liberalismo. Así,
cuando en Rusia se ha querido sustituir el absolutismo zarista, se ha impuesto una
democracia no menos absolutista. El bolchevique es antiliberal.
El Poder público tiende siempre y dondequiera a no reconocer límite alguno. Es
indiferente que se halle en una sola mano o en la de todos. Sería, pues, el más inocente
error creer que a fuerza de democracia esquivamos el absolutismo. Todo lo contrario. No
hay autocracia más feroz que la difusa e irresponsable del demos. Por eso, el que es
verdaderamente liberal mira con recelo y cautela sus propios fervores democráticos y, por
decirlo así, se limita a sí mismo. Frente al Poder público, a la ley de Estado, el liberalismo
significa un derecho privado, un privilegio. La persona queda exenta, en una porción
mayor o menor, de las intervenciones a que la soberanía tiende siempre.
1. El tema central del texto es
A) la implacable autocracia del gobierno democrático.
B) la naturaleza inconmensurable del Poder público.
C) el carácter asimétrico del liberalismo y democracia.
D) la condición absolutista del sistema democrático.
E) el engarce patente entre liberalismo y democracia.
Solución:
El autor enuncia que liberalismo y democracia son conceptos distintos, ya que se
puede ser muy liberal y nada demócrata, o viceversa, muy demócrata y nada liberal.
Rpta.: C
2. El sinónimo de la palabra PULIMENTAR es
A) especificar. B) esmerilar. C) ceñir.
D) adscribir. E) prohijar.
Solución:
Es necesario especificar las dos nociones, esto es, "fijar o determinar de modo
preciso" las ideas de liberalismo y democracia.
Rpta.: A
3. Se infiere que no hay incompatibilidad entre LIBERALISMO y
A) monarquía. B) totalitarismo. C) despotismo.
D) bolchevismo. E) absolutismo.
Solución:
El liberalismo no decide quién se hará cargo del gobierno, sino que se ocupa de
reflexionar sobre los límites del poder.
Rpta.: A

4. Respecto de la democracia, no se condice con el texto afirmar que
A) no es patente la disparidad que la disocia del liberalismo.
B) guarda correspondencia con el ejercicio del poder Público.
C) presenta la tendencia arraigada de limitar el poder estatal.
D) reflejó eventualmente algunas características absolutistas.
E) propugna la prominencia del demos respecto del ciudadano.
Solución:
El Poder público tiende siempre y dondequiera a no reconocer límite alguno. Es el
liberalismo el que limita el poder.
Rpta.: C
5. Si el liberalismo hubiera calado en las mentes clásicas,
A) rechazarían contundentemente el poder político irrestricto.
B) tratarían de imponer por la fuerza un régimen absolutista.
C) democracia y liberalismo serían conceptos indiscernibles.
D) diferiría de la posterior concepción germánica de la libertad.
E) aplaudirían fervientemente el poder omnímodo del Estado.
Solución:
Recuérdese que la idea de que el individuo limite el poder del Estado no puede
alojarse en las mentes clásicas. Si así fuera, tratarían de limitar el poder.
Rpta.: A
Aritmética
EJERCICIOS DE CLASE N° 18
1. Se tiene un grupo de ocho hombres y tres mujeres. Si se ordenan en fila, cuál
es la probabilidad de que las mujeres siempre estén
A)
3
55
B)
7
55
C)
23
110
D)
3
11
E)
5
33
Solución
8H 
3M 
A  3 MUJERES JUNTAS
9! 3! 6 3
( )
11! 11 10 55
x
P A
x
  
RESP. A
2. En una urna se tiene 20 canicas azules y 10 canicas verdes. Se extraen dos
canicas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las dos canicas sean azules?
A)
37
87
B)
38
87
C)
41
87
D)
31
89
E)
79
103

Solución
10
20
V
Az


A 2 canicas azules
20
2
30
2
20 19 38
( )
30 29 87
C x
P A
C x
  
RESP. B
3. Sean L y M eventos de un mismo espacio muestral. Se sabe que P(L)=3/8,
P(M)=1/2 y ( ) 1/ 4P M N  . Halle el valor de ( ´ ´)P M L
A)
1
8
B)
1
4
C)
3
8
D)
1
2
E)
5
8
Solución
1
( )
2
1
( )
4
1 3 1 5
( )
2 8 4 8
P M
P M L
P MUL

 
   
Se pide:
3
( ´ ´) 1 ( )
8
P M L P M L    
RESP. C
4. Se lanzan 10 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener cinco caras y cinco
sellos?
A) 0,210 B) 0,226 C) 0,268 D) 0,246 E) 0,315
Solución
A = obtener 5 caras y 5 sellos
10
5;5
10
10!
4 63 635!.5!( ) 0,246
2 1024 1024 256
P x
P A     
RESP. D
5. Se desea escoger dos días consecutivos del mes de febrero para una reunión.
Considerando que el lunes es el primer día de la semana, y el primero de
febrero de un año no bisiesto es lunes. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos
días elegidos estén en la misma semana?
A)
2
63
B)
1
63
C)
1
21
D)
5
63
E)
4
63
Solución
A = en una semana se tiene 6 días juntos pero febrero 4 semanas
 
28
2
4 6 4 6 2 4
( )
28 27 63
  
x x
P A
xC
RESP. E

6. Un dado está arreglado tal que la probabilidad de que ocurra un número
determinado es proporcional al cuadrado del mismo. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener cuatro?
A)
16
91
B)
7
91
C)
13
31
D)
14
53
E)
36
91
Solución
           
 
P 1 1k ; P 2 4k ; P 3 9k ; P 4 16k ; P 5 25k ; P 6 36k
i) P 1
1k 4k 9k 16k 25k 36k 1
1
k
91
1 16
P 4 16
91 91
     

     

 
   
 

RESP. A
7. Un dormitorio tiene tres portafocos conectados a un mismo interruptor. De una
caja con 10 focos, de las cuales seis están en buen estado y el resto
defectuosos, se extrae al azar tres focos y se colocan en el portafocos. Al dar
contacto, ¿cuál es la probabilidad de que el dormitorio quede iluminado?
A)
1
11
B)
29
30
C)
11
30
D)
15
19
E)
11
23
Solución
Casos totales
10
3
120C   
   
4
3
10
3
A habitación iluminado
A habitación no iluminado
C 29
P A 1 P A 1
C 30
'
'


    
RESP. B
8. Se lanzan dos dados de diferentes colores sabiendo que los resultados son
diferentes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de resultados sea par?
A)
7
9
B)
2
5
C)
13
15
D)
13
18
E)
5
9
Solución
6x5 30  
Suma par: par + par casos
3 x 2 = 6
impar + impar casos
3 x 2 = 6

 
A suma par
6 6 12 2
P A
30 30 5


  
RESP. B
9. De un número positivo de tres cifras se sabe que es múltiplo de cinco. ¿Cuál
es la probabilidad de que también sea múltiplo de 11?
A)
17
900
B)
89
900
C)
4
45
D)
17
180
E)
89
180
Solución
L abc
i) ab0 a b 11 a b 9val
ii) ab5 a b 11 6 11 5

 

     
     
8 valores
 
9 8 17
P A
90 90 180

 

RESP. D
10. La producción de 1000 camisas semanales en las maquinas A, B y C se
distribuye en 400, 100 y 500 camisas, respectivamente, y sus porcentajes de
camisas defectuosas son 5%, 4% y 3%. Si se selecciona una camisa al azar y es
defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que lo haya fabricado por la maquina A?
A)
3
32
B)
16
625
C)
5
32
D)
1
64
E)
10
27
Solución
P(A) = 0,40: P(B) = 0,10: P(C) = 0,50
i) D = Artículo defectuoso
P(D) = (0,40)(0,10) + 0,10 (0,04) + 0,50 (0,03) = 0,054
ii) P(A/D) =
(0,40)(0,05)
0,054
=
10
27
RESP. E
EVALUACIÓN DE CLASE N° 18
1. Gabriel, Ramón, Rocío, Willy, Rosa y Leticia deben ubicarse en seis asientos
alrededor de una mesa circular, ¿cuál es la probabilidad de que Rocío, Rosa y
Leticia se sienten juntas?
A) 0,10 B) 0,15 C) 0,24 D) 0,25 E) 0,30
a 9 8 7 6 1 2 3 4
b 3 2 1 0 6 7 8 9

825
150
6=33 8=25
U=200
Solución
 
 
C
6
C
4 3
P 5! 120
A 3 amigos juntos
P A P P 3! 3! 36
36 3
P A
120 10
   

    
 
RESP. E
2. Se tiene 10 números enteros, positivos y consecutivos. Se escogen al azar
ocho de estos números y se suman, ¿cuál es la probabilidad de que sea
múltiplo de cinco?
A)
3
20
B)
4
15
C)
8
15
D)
1
5
E)
8
45
Solución
La suma de 10 números = 5

 
10
8
A se escoge 8#s 5
B se escoge 2#s 5
C 45
8
P A
45


 
 
  

RESP. D
3. Se tiene fichas numeradas del 1 al 200 de las cuales, se elige una ficha al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea múltiplo de 6 ó 8?
A)
1
15
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
8
Solución
 
50 1
P 6 8
200 4
  
RESP. C
4. Se lanzan seis monedas y un dado. Determine la probabilidad de que el
número que se obtenga en el dado sea igual al número de sellos obtenida en la
moneda.
A)
17
135
B)
21
128
C)
31
192
D)
13
164
E)
19
42
, existen nueve números
P(A) =
9
45

Solución
A = # obtenido Dado
B = cara o sello Moneda
     
   
 
 
6
P A B P A P 13
1
P AB 1CSS; 2C4S 3C3S 40S 5C6S 6C
6
1 1 1
1 P 6S 1
6 6 2
1 63 21
P AB
6 64 128
  
     
 
       
 
  
RESP. B
5. La probabilidad que Luis apruebe algebra es 0,8 y la probabilidad de que
apruebe aritmética es 0,9, siendo estos eventos independientes. ¿Cuál es la
probabilidad de que apruebe al menos una asignatura?
A) 0,98 B) 0,96 C) 0,90 D) 0,92 E) 0,80
Solución
   
   
     
      
L L
R R
'
'
'
P A 0,8 P A 0,2
P A 0,9 P A 0,1
P A B 1 P A B 1 P A' B'
1 P A' P B' 1 0,2 0,1
0,98
  
  
   
    

RESP. A
6. Sean los eventos: A, B y C tal que:      P A 9,8% ; P B 22,9% ; P C 12,1;  
       P A B 5,1% ; P A C 3,7% ; P B C 6% y P A B C 2,4%    . ¿Qué
porcentaje de la población lee al menos uno de los periódicos?
A) 32,4% B) 32,2% C) 32,5% D) 32,3% E) 32,1%
Solución
Total = 1000
 
324
P A 32,4%
1000
 
RESP. A
34
27
13
24
48
36
142
A=98
B=229
C=121

7. En una sección de 40 alumnos se desea formar una comisión de tres
miembros. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno Luis siempre integre la
comisión?
A)
1
4
B)
3
40
C)
1
8
D)
3
20
E)
7
40
Solución
 
 
40
3
39
2
40
3
C
A Luis esta en la comisión
C 3
P A
C 40
 

 
RESP. B
8. La probabilidad de que los investigadores A, B y C descifren un mensaje,
siendo estos eventos independientes, es 1 1 1; y
5 4 3
, respectivamente.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos descifre el mensaje?
A)
2
3
B)
1
2
C)
3
5
D)
2
5
E)
8
15
Solución
     
   
1 1 1P A ; P B ; P C
5 4 3
D Descifre mensaje
4 3 2 3
P D 1 P D 1 . .
5 4 3 5
'
  

    
RESP. C
9. Se tiene seis numerales positivos y cinco numerales negativos, se escoge
cuatro numerales al azar y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad que el
producto sea positivo?
A)
14
39
B)
19
33
C)
17
35
D)
17
33
E)
85
143
Solución
   
 
11
4
6 5 6 5
4 4 8 2
# 6 ; # 5
C 330
A producto positivo
# A C C C C 170
170 17P A
33330
   
  

   
 
RESP. D

10. Se lanza un dado y una moneda simultáneamente. Calcule la probabilidad de
obtener:
i) Puntaje par en el dado y sello en la moneda
ii) Puntaje no menor de tres en el dado y cara en la moneda
Dé como respuesta la suma de ambos resultados.
A)
1
3
B)
4
5
C)
2
3
D)
3
5
E)
7
12
Solución
   
 
 
   
 
6 2 12
i) A 2 ; 4 ; 6 B s
P AB 3 1 3
3
P AB
12
ii) A 3 ; 4 ; 5 ; 6 B c
4
P AB
12
3 4 7
12 12 12
   
 
  

 

  
RESP. E
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE N°18
1. Halle la suma de las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de las
funciones f y g definidas por 2x 1 x x
f(x) 2 3.2 y g(x) 4 4.2 con x
     .
A) 2 B) 3 C) 1 D) 6 E) 7
Solución:
Si f(x) g(x) entonces
2x 1 x x x 2 x x
x 2 x x x
( )
x 1
1
2 3.2 4 4.2 2.(2 ) 3.(2 ) 4 4(2 )
2.(2 ) 7.(2 ) 4 0 (2.2 1)(2 4) 0
2 2 x 1
Si x 1 entonces y g( 1) 4 4.2 2




      
      
    
      
Las coordenadas del punto de intersección son ( 1, 2) luego 1 2 1   .
Rpta.: C

2. Si f es una función inyectiva y satisface que 2 2
f(a b 2020) f(19 b)191 4a 0    ,
determine el rango de la función 2
3g(x) log (x 5)  , sabiendo que  Dom(g) a,b .
A)  31 log 10 , 2 B) 32 ,1 log 10 C) 32 , 1 log 10
D)  32 ,1 log 10 E)  22 ,1 log 10
Solución:
 
2 2
2 2
2 2
2 2
Como f es inyectiva y f(a b 2020) f(1991 )
entonces a b 2020 1991
(a 4a 4) 2016 2016 (b 10b 25)
(a 2) (b 5) 0 a 2 y b 5
4a 10b
4a 10b
.
  
  
       
      





 
 
  
          
      
2
3
2 2
3 3
3 3
Tenemos g(x) log (x 5) con Dom(g) 2,5
entonces 2 x 5 9 x 5 30 2 log (x 5) 1 log 10
2 g(x) 1 log 10 Ran(g) 2,1 log 10
Rpta.: D
3. Sea la función real    f : 6 , a b , 45 sobreyectiva, definido por 2
–f( 8x) x x 25  ;
halle el valor de a 3b .
A) 7 B) 11 C) 3 5 D) 3 E) 11
Solución:
Tenemos que 2
f(x) (x 4) 9   es cuadrática de vértice (4,9) entonces
 
 
f es creciente en 4, , en particular f es creciente en 6,a
entonces Ran(f) f(6),f(a) .
 

  

  
     
f(6) b b 13
Como f es sobreyectiva entonces
f(a) 45 a 10
a 3b 10 39 49 7
Rpta. : A
4. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones
I. f(x) 4x x  es una función inyectiva
II. 2
g: 3, 1, / g(x) x 6x 10         es biyectiva
III. 3
j(x) x 4Senx, x 3    es una función impar
A) VFV B) FVV C) VVV D) FVV E) FFV
Solución:
I. Si
3x , x 0
f(x)
5x , x 0

 
 
se tiene que f(5) 15 f( 3)   entonces f no es inyectiva (F)

II. Tenemos 2
g(x) (x 3) 1   es una cuadrática creciente en 3,  por lo tanto
g es inyectiva en 3,  . Si 2
3 x 0 x 3 1 (x 3) 1 g(x) 1          
por lo tanto g es suryectiva. … (V)
III. Se tiene que 3 3 3
j( x) ( x) 4Sen( x) x 4Senx (x 4Senx) j(x)            
además por dato  Dom(j) 3 ,3    ; por lo tanto j es impar… (V).
Rpta.: D
5. Si h es una función tal que : h(x) x 2 x 2    y
2
m
1
m2
1
xm)x(*h








 ,
halle el valor de 3m 1 .
A) – 4 B) 1 C) – 2 D) 3 E) 5
Solución:
Debe ocurrir Dom(h) 2,  entonces y h(x) (x 2) x 2    
22
2
2
2
1
4
1
x2)x(*h
2
1
4
1
y2x
2
1
4
1
y2x
2
1
4
1
y2x
4
1
y
2
1
2xy
4
1
2
1
2x



































Por lo tanto m 2 y 3m 1 3(2) 1 5    .
Rpta.: E
I. Si f y g son funciones biyectivas tales que (f g)( 2) 6 y f *(6) 8   entonces
g*(8) 2 .
II. Si 2
f(x) x 1  y g es una función creciente tal que 2
(f g)(x) 4x 16x 17  
entonces (g f)(2) 6 .
III. Si f es una función biyectiva que satisface
x 3 1
f * f
x 1 2
  
    
entonces el menor
valor entero de x es – 1.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FVF E) FVV
Solución:
I. Por dato f *(6) 8 f(8) 6.   También (f g)( 2) 6 f(g( 2)) 6 f(8)      ,
siendo f inyectiva se tiene g( 2) 8 g*(8) 2     … (F)

II. Sabemos que 2 2
(f g)(x) (2x 4) 1 f(g(x)) (2x 4) 1 g(x) 2x 4         
  entonces (g f)(2) g(f(2)) g(5) 6 … (V)
III. 
x 3 1 x 3 1 x 7
f * f 0 x 1,7
x 1 2 x 1 2 x 1
    
             
… (F)
Rpta: D
7. Lunié es un deportista que practica tiro al disco. En una de las prácticas la máquina
disparadora lanza el disco que describe una curva modelada por la función
21
f(x) (4 8x x )
4
   , donde x es la distancia horizontal que recorre el disco desde su
lanzamiento. Lunié que se encuentra a 1 metro adelante de la máquina hace varios
disparos y uno de los tiros derriba al disco que cae verticalmente a 6 metros
adelante de la máquina. Si las trayectorias del disco y los balines se mueven en un
mismo plano,
a. Determine la función lineal g(x) que describe la trayectoria del balín que derribó
al disco, si el balín salió a 1 metro sobre el nivel del piso.
b. Si ningún balín hubiese derribado al disco, ¿a qué distancia adelante de Lunié
hubiera caído el disco al suelo?
A)
2
g(x) 3x ; 9 m
5
  B)
3x 2
g(x) ; 4 2 6 m
5

 
C)
3x 2
g(x) ; 5 2 5 m
5

  D)
3x 2
g(x) ; 3 2 5 m
5

 
E)
3x 2
g(x) ; 4 2 5 m
5

 
Solución:
El disco describe la curva dada por
2
21 (x 4)
f(x) (4 8x x ) 5
4 4

    
a.
2
(6 4)
Si x 6 y f(6) 5 4 B (6,4)
4

       
Por dato, el balín sale de (1,1) y es derribado en (6,4) por lo tanto la ecuación de la
función lineal que pasa por (1,1) y (6,4) es
3x 2
g(x)
5 5
  .
1
1
6
B
C
A
2
(x 4)
f(x) 5
4

 
D

2
2(x 4)
b. Si f(x) 0 5 0 (x 4) 20 x 4 2 5 m
4
C (4 2 5,0)

         
  
El disco hubiese caído a (4 2 5 m) 1 3 2 5 m    adelante de Lunié.
Rpta.: D
8. Las utilidades de una empresa (en miles de dolares) en función del tiempo t (en
años) es dado por 2
U(t) 4t 60t 15, 1 t 8      . ¿Cuál es la utilidad máxima y a
partir de qué tiempo las utilidades empiezan a disminuir?
A) 210_7.5 años B) 120_6 años C) 110_6 años
D) 180_7.5 años E) 120_6.5 años
Solución:
2
2
2
U(t) 4t 60t 15, 1 t 8
225
U(t) 4 t 15t 225 15 , 1 t 8
4
15
U(t) 210 4 t , 1 t 8
2
     
 
        
 
 
     
 
La utilidad es máxima cuando t = 7,5 años y su valor máximo es 210 dólares; a
partir de 7,5 años las utilidades empiezan a disminuir.
Rpta.: A
EVALUACIÓN N° 18
1. Si    f : 1,3 1,15 es una función lineal creciente y sobreyectiva, además h es una
función decreciente en ; determine el mayor elemento entero del conjunto solución
de la inecuación
 2 2
2016 2014
h(x 17) h(x 3) . f(2)x 32
0
x x 3
      
 
.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 8
Solución:
Supongamos que f(x) ax b  .
   
 
2 2 2 2
( )
2 2
f es creciente en 1,3 Ran(f) f(1),f(3)
f(1) 1 a b 1
f es sobreyectiva y creciente
f(3) 15 3a b 15
luego a 7 y b 6 f(x) 7x 6 f(2) 8
Se tiene x 17 x 3 , x h(x 17) h(x 3)
h(x 17) h(x 3) . 8
Ahora

 
   
 
   
       
        
      
2016 2014
( )
x 32
0 8x 32 0 x 4
x x 3


     
 
El mayor valor entero de x es 4.
Rpta.: A

2. Si la función lineal    f : 1,4 2,5 es biyectiva y decreciente, halle f *(3) .
A) – 5 B) 0 C) 5 D) – 3 E) 3
Solución:
Supongamos que f(x) ax b  .
   
 
f es decreciente en 1,4 Ran(f) f(4),f(1)
f(4) 2 4a b 2
f es suryectiva
f(1) 5 a b 5
luego a 1 y b 6 f(x) x 6
Si y x 6 x y 6 f *(x) x 6
 
   
 
   
      
          
Piden f *(3) 3 6 3    .
Rpta: E
3. Si n es el menor entero positivo del dominio de la función
2 2
2 2
2x 5x 3 3x 7x 2
f(x) log log
3x 17x 6 2x 9x 5
      
    
         
, halle el complemento del conjunto
solución de la inecuación
2
2
2x (3n 4)x 82
log 1
x (2n 13)x 8
   
 
   
.
A) 
1
, 2 ,
8

  

B)
1
2,
8
 
 
 
C) 
1
, 2,
8

  

D)
1
2,
8
 E)
1
, 2 ,
8
   
Solución:
2 2
2 2
2 2
2 2
2x 5x 3 3x 7x 2
Para f(x) log log
3x 17x 6 2x 9x 5
2x 5x 3 3x 7x 2 (2x 1)(x 3) (3x 1)(x 2)
debe ser: 0 y 0 0 y 0
3x 17x 6 2x 9x 5 (3x 1)(x 6) (2x 1)(x 5)
1 1
Dom(f) , 3 , 6, n 7.
3 2
2x
Ahora log
      
    
         
       
    
       
       

2 2
2 2
( )
C
25x 82 2x 25x 82
1 10
x x 8 x x 8
1 1
(x 2)(8x 1) 0 C.S. ,2 (C.S.) , 2,
8 8

    
   
    

           

Rpta: C

4. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. 2
f(x) x 4x 3   es inyectiva
II. 2
f : , f(x) x 4x 1    es suryectiva
III. Si 2
f : 2, 1, es tal que f(x) x 2x 1         entonces f *(2) 3 .
A) FFV B) FVF C) VVV D) FVV E) FFF
Solución:
I. Para 2
f(x) x 4x 3 (x 3)(x 1) f(1) 0 f(3)         entonces f no es
inyectiva … (F)
II. Si 2 2 2
f(x) (x 2) 5, para x :(x 2) 0 (x 2) 5 5           entonces se tiene
f(x) 5 , es decir Ran(f) 5, .     Por lo tanto f no es suryectiva … (F)
III. 2
f(x) (x 1) 2   es una cuadrática inyectiva en 2,  (ninguna recta horizontal
corta a su gráfica en más de un punto) y también es suryectiva, pues
2
x 2 (x 1) 2 1 Ran(f) 1,          .
2 2
f(x) 2 (x 1) 2 2 (x 1) 4 x 3          .
Por lo tanto f(3) 2 f *(2) 3   …(V)
Rpta: A
I.
x
f(x)
1 x 1 x

  
es una función par.
II. 3g(x) x.( x 2)  es una función impar.
III. Si h es una función impar entonces h no es par.
IV. Si f es decreciente en A y f es decreciente en B con A B   entonces f es
decreciente en A B.
A) VVVV B) VVFV C) VFFV D) VVFF E) FVFV
Solución:
I. Tenemos que
( x) x x
f( x) f(x)
1 ( x) 1 ( x) 1 x 1 x 1 x 1 x

     
          
además
 Dom(f) 1,1  . Por lo tanto f es función par…(V)
II. Tenemos que 3 3g( x) ( x).( x 2) x.( x 2) g(x)          además se tiene
Dom(f) ,   . Por lo tanto g es función impar… (V)
III. La función nula (x) 0 con Dom( ) ,       es función par e impar a la
vez… (F)

IV. La función 4x)x(g 2
 es decreciente en
 2,4  y decreciente en  2,0 pero g(x) no
es decreciente en    4 , 2 0,2  … (F)
Rpta: D
6. Lisset tiene una tela de 4x5 pies cuadrados y quiere ponerle un borde de un mismo
ancho a los cuatro lados usando toda una tela de 10 pies cuadrados, ¿cuántos pies
de ancho tendrá el borde colocado?
A) 1.5 B) 0.5 C) 0.75 D) 1.2 E) 1
Solución:
x: ancho del borde colocado a la tela de 4X5 pies
cuadrados.
2
área total (área de la tela) (área del borde)
(5 2x)(4 2x) 20 10
(2x 4)(2x 5) 30 2x 9x 5 0
1
(2x 1)(x 5) 0 x
2
 
   
      
     
El ancho del borde colocado será de 0,5 pies.
Rpta: B
7. Las ventas de una determinada compañía han disminuido año tras año luego de la
crisis mundial. Su ingreso en miles de dolares se expresa mediante la función
t
I(t) Ae 
 donde t representa el tiempo transcurrido en años a partir de la crisis. Si el
ingreso de la compañía al inicio de la crisis fue de 400000 dolares y además
3
2
I(5) Ae

 , halle el número de años que deben transcurrir desde que se inició la
crisis para que el ingreso de la compañía sea menor a la cuarta parte del ingreso
inicial (considere  ln 0.25 1.4  ).
A) 3 años B) 4 años C) 6 años D) 5 años E) 8 años
Solución:
 
(0) .t
1.5 5 1.5
( 0.3)t
( 0.3)t ( 0.3)t
min
I(0) 400 A.e 400 A 400 I(t) 400.e
I(5) A.e 400.e 400.e 0.3
I(t) 400.e
1 1
I(t) (400) 400.e 100 e
4 4
ln(0.25) 1.4
( 0.3)t ln 0.25 t 4.7
( 0.3) ( 0.3)
t 4.7 t 5 años
 
  

 
      
      
 
    

      
 
   
Rpta: D
4
x x
xx
5
x
x
x
x

8. La empresa LEAE S.A. dispone diariamente de 10 minivans de 20 asientos para
transporte, cada minivan sale solo una vez al día y todos los pasajeros solo suben
en el paradero inicial. Por política de gerencia y por cada movilidad inhabilitada por
falla mecánica o por mantenimiento, a diario cada minivan restante debe permitir el
ingreso de tantos grupos de 5 pasajeros parados como minivans que no circulen.
Determine:
a. ¿Con cuántas minivans en circulación se consigue máxima cantidad de
pasajeros transportados?
b. ¿Cuál es la máxima recaudación del día, si el pasaje cuesta 2 soles?
A) 3 B) 10 C) 7 D) 3 E) 7
S/ 49 S/ 200 S/ 490 S/ 450 S/ 245
Solución:
Número de minivans que no circulan: x entonces en 1 dia, circulan 10-x
Número de pasajeros diarios:
2
número total de número de
p(x)
minivans operativas pasajeros diarios
p(x) (10 x)(20 5x)
p(x) 245 5(x 3)
  
   
  
  
  
a. Si no salen 3 movilidades con 7 minivans se consigue máxima cantidad de
pasajeros transportados: 245
b. Si cada pasaje cuesta 2 soles, la máxima recaudación con 7 minivans operativas
y en circulación se obtiene 2.(245) 490 soles.
Rpta: C
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 18
1. Halle el rango de la función real f definida por f(x) 2arcsenx 3arccosx, 
 x 1, 1  .
A) 2,    B) 3,    C) 3 2,     D) 4 ,     E) 2 4,    
Solución:
Sea f(x) 2arcsenx 3arccosx f(x) 5arccosx     
Como  0 arccosx 4 f x        
   Ran f 4 ,    .
Rpta.: D
2. Sea la función real f definida por f(x) arccosx,
4

 
2 2
x ,
2 2
 
  
 
. Si el rango de
f es a b,   , calcule el valor de
b a


.
A) 2 B) 4 C)
1
2
D) 1 E) 2

Solución:
Como
2 2 3
x arccosx
2 2 4 4
 
        
 
b
a
f x 0
2


  
Finalmente 2
b a



.
Rpta.: E
3. Halle el dominio de la función real f definida por
 
2
4x
f(x) arctg 2x
arcsen 2 x
 

.
A)    1, 3 2 B) 1 , 2 C) 1 ,2 D)  1, 2 E)  1,3 2
Solución:
Como  arcsen 2 x 0 x 2   
Además 1 2 x 1 1 x 3      
     Dom f 1,3 2   .
Rpta.: A
4. Halle la suma de las soluciones de la ecuación  2
tg arccosx arccos1 0  .
A) 0 B) 1 C) 1 D) 2 E) 2
Solución:
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2
sen arccosx 1 cos arccosx 1 x
0 0 0 (x 0)
cos arccosx cos arccosx x
x 1 x 1
 
     
    
Soluciones1 y 1 .
Clave: A
5. Si el rango de la función real f definida por 2
f(x) arcsen 1 x  es el intervalo
 c , d , halle  c , d ,
4
 
 
 
.
A) ,
2
 

 B) 0 ,
4



C)
4
0 ,
 


D)
3
,
4

 E) ,
4 2
  
 
 

Solución:
2
y arcsen 1 x 
  2 2
y f x existe 1 x 0 1 1 x 1        
2 2 2
x 1 1 x 1 0 x 1 1 1 x 0           
 2
arcsen1 arcsen 1 x arcsen0 0 y
2

      
Rpta.: E
6. ¿Cuál es el mayor número entero que pertenece al rango de la función real F, que
está definida por  
12 1
F x 2 arccosx , x 1
2
    

?
A) 10 B) 14 C) 9 D) 8 E) 3
Solución:
Sabemos
1 2
x 1 arccosx 0
2 3

     
 2 F x 10  
Finalmente, el mayor número que pertenece al rango de F es 9.
Rpta.: C
7. Halle el rango de la función real F definida por
F(x) arccos x arccos x 1 .  
A) 0 ,
2
 
 
 
B) 0 ,
4
 
 
 
C) ,
4 2
  
 
 
D)
2
 
 
 

E) , ,
6 4 2
   
 
 
Solución:
Dominio de F  1
     F 1 arccos 1 arccos 0 0
2 2
 
    
Ran F
2
 
   
 
.
Rpta.: D
8. Si  a , b es el rango de la función real F definida por  F(x) arccos 3 x
6

  ,
1 1
x ,
2 2
 
  
 
, halle el valor de b a .
A)
5
6

B)
3

C)
6

D)
2
3

E)
5
3


Solución:
Sea  F(x) arccos 3 x
6

 
Sabemos
1 1 3 3
x 3x
2 2 2 2
      
 F x
arccos 3x
3 6
 
    
2
3
b a

   .
Rpta.: D
9. Halle el valor de x, si
x x
arcsen 5arccos
4 4
 .
A) 6 2 B) 6 2 C) 3 1 D) 3 1 E) 5 1
Solución:
Como
x x x
arcsen 5arccos 6arccos
4 4 2 4

  
x
cos
12 4

 
x 6 2   .
Rpta.: B
10. Si  
2
1 x 1
f x 5arcsen 3arccos , x 0
2 2x
  
     
   
, determine    Dom f Ran f .
A)  
5 13
, 1, 1
6 6
  
  
 
B)  
5
, 0,1
66
 
  
 

C)  0,1
5
6
 
 
 

D) 0,1
6
 
 
 

E) ,1
6
 
 
 

Solución:
Sea  
2 2
1 x 1 5 x 1
f x 5arcsen 3arccos 3arccos
2 2x 6 2x
      
         
     
Como
2
x 1
1 1 x 1 x 1
2x

       
Luego    Dom f 1,-1
       5 13
Ran f f 1 ,f 1 ,
6 6
  
     
 
     
5 13
Dom f Ran f 1, 1 ,
6 6
  
    
 
.
Rpta.: A

EVALUACIÓN Nº 18
1. Si
3 3
arcsen arccos
1 1 7 7E sen arccos cos arcsen tg
3 3 2
 
    
       
     
 
, calcule el valor de
 3 E 1 .
A) 4 2 B) 2 2 C) 2 D) 1 E) 2
Solución:
Sean
1
arccos
3
  y
3
1
arcsen
Luego
4 2
E 2sen 1 1
3
    
 3 E 1 4 2   .
Rpta.: A
2. Si el dominio de la función real f definida por    f x arcsen 3x 2  es el intervalo
 a , b , determine el valor de  6 b a .
A) 3 B)
1
2
C) 4 D)
3
2
E) 2
Solución:
Sea
1
1 3x 2 1 x 1
3
      
Luego    
1
,1 a , b
3
Dom f
 
 
 

 6 b a 4   .
Rpta.: C
3. Halle la intersección del dominio y el rango de la función real f definida por
x 2
f(x) 2arcsen
2 3
  
   
 
.
A) ,
5 5
  
 
 
B)
4
2 ,
3
 
 
 
C)
3
1 ,
2
 
 
 
D)
6
5 ,
5
 
 
 
E)
5
4 ,
4
 
 
 
Solución:
i) Dominio
Sea
x 2
1 1
3
1 x 5

      
 Dom(f) = [–1, 5]

ii) Rango
Sea  
x 2 3
arcsen
2 3 2 2 2
f x
     
    
 
  
 
3
f ,
2 2
Ran
  
  
 

Finalmente de (i) y (ii), tenemos    
3
Dom f Ran f 1,
2
 
  
 
.
Rpta.: C
4. Si la función real f está definida por  
1
f x arcsenx arccosx arctg
x 1
 
      
,
determine el rango de f.
A) 0 ,
4
 
 
 
B) 0 ,
4



C) ,
4 4
 
 D) ,
4 4
  
 
 
E)
3
,
2 4
  
 
 
Solución:
Sea  
1 1
f x arcsenx arccosx arctg arctg
x 1 2 x 1
   
              
Como 1 x 1 0 x 1     
1
1
x 1
     

Luego
1
arctg
2 x 1 4
  
      
  0 ,
4
Ran f

 

 .
Rpta.: B
5. Si  a , b es el rango de la función real f definida por
  2
arctg 1 4
f x
1 16 xarcsen arccos2 8

 
 
 
 
 
, halle el valor de a b .
A) 21 B) 25 C) 22 D) 23 E) 22,5
Solución:
Sea   2
3 4
f x
2 16 x
arccos
8

 
 
 
 
 
Además
2
2 16 x 1
0 16 x 4 0
8 2

     
Luego
2
16 x
arccos
2 8 3
   
  
 
 
2
4
8 12
16 x
arccos
8

  
 
 
 
 

O
Y
XF1 F2
E
Q
c c
2c2c b
P
Así
 
2
f x
19 3 4 27
2 2 216 x
arccos
8

  
 
 
 
 
.
   
19 27
f , a,b
2 2
Ran
 
 
 
 
a b 23   .
Rpta.: D
Geometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 18
1. En la figura, F1 y F2 son focos de la elipse E y el triángulo F1QF2 es equilátero. Halle
mPF2F1.
A) 30°
B) 53°
C) 37°
D) 45°
E) 60°
Solución:
 Por prop. de elipse:
a2 = b2 + c2  b = 3 c a = 2c
 F1P =
a
b2
=
2
c3
 PF1F2 : Not. 37° y 53°  mPF2F1 = 37°
Rpta.: C
2. En una elipse E el eje mayor mide 12 m, los focos son el origen de coordenadas y el
punto F1(0;–10). Halle la ecuación de la elipse E.
A) 36x2 + 11y2 + 110y + 121 = 0 B) 36x2 + 11y2 + 110y – 121 = 0
C) 36x2 + 11y2 + 110y – 90 = 0 D) 36x2 + 11y2 + 110y + 90 = 0
E) 36x2 + 11y2 + 110y – 100 = 0
F1 F2
E
QP

Solución:
 Sea 2c = 10  c = 5
2a = 12  a = 6
 a2 = b2 + c2  b2 = 11
 Centro: C(0;– 5)
 E : 1
36
)5y(
11
x 22



36x2 + 11y2 + 110y – 121 = 0
Rpta.: B
3. En la figura, P y Q son focos de la elipse E. Si PD = AB, mMD = 40° y mBD = 160°,
halle mQPD.
A) 70°
B) 60°
C) 50°
D) 55°
E) 65°
Solución:
 Por prop: k + m = 2a  MD = m
 De la figura:
QMD(isósceles)  mQDM = 20°
 PDQ (por ang. exterior): x + 20°= 80°
x = 60°
Rpta.: B
4. En la figura, F1 y F2 son focos de la elipse E, MNF1F2 es un trapecio isósceles y
AB = 10 m. Halle el área de la región trapecial MNF1F2.
A) 55 m2
B) 50 m2
C) 45 m2
D) 35 m2
E) 65 m2
F1 F2
E
A B
N
M
45°
45°
QP BA
M
D
E
QP BA
M
D
x 80°
20°
20°
m
40°
160°
k
m
2a
2a
E
O
Y
X
F1
E1
1
5
C(0; –5)
(0; –10)
10

Solución:
 De la figura: 1NF // 2MF
 NF2 = MF1 = n + m
 Por def. de elipse:
n + m = 10
 S NMF1F2 =
2
1010
= 50 m2
Rpta.: B
5. El punto A(5;3) es el centro de una elipse E tangente a los ejes coordenados. Halle
el área de la región cuadrangular en metros cuadrados, cuyos vértices son los
extremos de sus lados rectos, sabiendo que los ejes de esta elipse son paralelos a
los ejes coordenados.
A) 28,50 m2 B) 28,60 m2 C) 28,80 m2 D) 27,75 m2 E) 26,80 m2
Solución:
 De la figura: a = 5 y b = 3
a2 = b2 + c2  c = 4
 F1F2 = 2c = 8
LR =
a
b2 2
=
5
18
 SLRNM = 8
5
18

= 28,80 m2
Rpta.: C
6. En la figura, F1 y F2 son focos de la elipse E. Si V1V2 = 8 m y V1F1 = 2 m, halle el
área de la región triangular F1CF2.
A) 7 m2
B) 4 m2
C) 2 m2
D) 3 m2
E) 5 m2
Solución:
 V1V2 = 2a = 8  a = 4 m
 V1F1 = 2 m  c = 2 m
F1 F2
E
A B
N
M
45°
45°
45°
45°
n
m
m
n
10
E
L
R
Y
X
F1 F2
B
E
M
N
V1 V2
O
A
3
5
c c
O
Y
X
F1 F2
E
V1 V2
M
N
C
A
B
O
Y
X
F1 F2
E
c = 2
V1 V2
M
N
C
A
B
c = 2

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