Lugar geométrico. Parábola

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Deducción de ecuaciones de la parábola en coordenadas rectangulares. Parábola con vértice en el origen y con vértice en un punto (h,k). Ejemplos de ejercicios.

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Lugar geométrico. Parábola

  1. 1. LA PARÁBOLA Equipo 5
  2. 2. Definición: Una parábola es el lugar geométrico de los puntos tales que     PA PF
  3. 3. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz.
  4. 4. Designemos por F el foco y por l la directriz de la parábola.
  5. 5. La recta que pasa por F y es perpendicular a l se llama eje de la parábola
  6. 6. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. Sea V el punto medio del segmento AF . Por definición, V está sobre la parábola; este punto se llama vértice
  7. 7. El segmento de recta, tal como BB ' , que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda.
  8. 8. En particular, una cuerda que pasa por el foco, como CC ', se llama cuerda focal.
  9. 9. La cuerda focal LL ', perpendicular al eje, se llama lado recto.
  10. 10. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P, se llama radio focal de P ó radio vector.
  11. 11. Definición: Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
  12. 12. Definición: Una parábola es el lugar geométrico de los puntos tales que     PA PF
  13. 13. Por definición de la parábola, la ecuación de la directriz l , es en este caso x p.
  14. 14. Sea P( x, y ) un punto cualquiera, completamente arbitrario, de la parábola.
  15. 15. Por P x, y tracemos el segmento PA perpendicular a l. Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica FP PA
  16. 16. Ahora debemos traducir la condición geométrica FP en una condición analítica; es decir, en una ecuación. PA
  17. 17. Notamos primero que FP es la distancia entre el foco F p,0 y el punto arbitrario P x, y ; así que FP x p 2 y 0 ó sea FP x p 2 y2 2
  18. 18. Notamos también que PA es la distancia entre el punto arbitrario P x, y y la recta vertical x así que PA x p p;
  19. 19. Como FP x p 2 y 2 la condición geométrica FP analiticamente como: x p 2 y2 x p y PA x p, PA se expresa
  20. 20. Si la expresión analítica x p 2 y 2 x p de la condición geométrica FP PA , la elevamos al cuadrado, tenemos x p 2 2 2 x p p2 y2 x2 y ó bien x2 2 px 2 px p2 que nos da finalmente la ecuación de la parábola y 2 4 px
  21. 21. Ahora discutiremos la ecuación 2 y 4 px siguiendo los métodos explicados anteriormente.
  22. 22. y 2 4 px Intersecciones con el eje X : Se obtienen haciendo y 0, lo que en este caso nos da 4 px x 0; es decir, 0 La curva intersecta al eje X en x 0
  23. 23. y 2 4 px Intersecciones con el eje Y : Se obtienen haciendo x 0, lo que en este caso nos da y 2 0; es decir, y 0 La curva intersecta al eje Y en y 0
  24. 24. y 2 4 px Intersecciones con los ejes. La curva pasa por el origen y no tiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados.
  25. 25. Extensión de la curva: Despejando y en la ecuación, tenemos y 2 px Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y x deben ser del mismo signo.
  26. 26. Extensión de la curva: Si p 0, deben excluirse todos los valores negativos de x, y todo el lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje Y . Como no se excluye ningún valor positivo de x, y como y puede tomar todos los valores reales, el lugar geometrico de y 2 px es una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X . Se dice que la parábola se abre hacia la derecha .
  27. 27. Extensión de la curva: Si p y 2 px 0
  28. 28. Si p 0, todos los valores positivos de x deben excluirse en la ecuación y 2 px y todo el lugar geometrico aparece a la izquierda del eje Y . Se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.
  29. 29. La ecuación de la parábola es, en el caso que estamos estudiando, y 2 px Por tanto, cuando x p, p,2 p tenemos dos valores de y 2 pp Pero x 2p Longitud 4 p Foco F p,0 p es también la abscisa del foco F p,0 , así que la longitud de lado recto es 4 p. Lado recto. p, 2 p
  30. 30. p,2 p Lado recto. Longitud Foco F p,0 p, 2 p 4p
  31. 31. Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje Y, se demuestra análogamente, que la ecuación de la parábola es X2 = 4py, En donde el foco es el punto (0,p). Puede demostrarse fácilmente que, si p >0, la parábola se abre hacia arriba; y, si p<0, la parábola se abre hacia abajo.
  32. 32. Las ecuaciones y2 4 px y 2 x 4 py se llaman a veces la primera ecuación ordinaria de la parábola. Como son las ecuaciones más simples de la parábola, nos referimos a ellas como a las formas canónicas.
  33. 33. y 2 4 px 2 4 py y x
  34. 34. Ejemplos
  35. 35. Evidentemente la ecuación de esta parábola es x 2 4 ya que p 3 y 3 12 y
  36. 36. x 2 12 y
  37. 37. Ecuación de una parábola
  38. 38. La ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X ' y Y ' esta dada por 2 y' 4 px '
  39. 39. La ecuación de la parábola en los ejes X 'Y ' es y '2 4 px ' Usando las ecuaciones de transformación que ya derivamos x x' h y y' k ó bien en su forma inversa x' x h y' y k Sustituyendo, podemos poner la ecuación de la parábola como y k 2 4p x h
  40. 40. Las ecuaciones y k 2 4p x h y x h 2 4p y k se llaman, generalmente, segunda ecuación ordinaria de la parábola
  41. 41. Discutiremos ahora la forma general de la ecuación de la parábola:
  42. 42. y 2 a1 x a2 y a3 0 (4)
  43. 43. y 2 a1 x a2 y a3 0 (4)
  44. 44. En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de la parábola y k 2 4p x h y x h 2 4p y k hay tres constantes arbitrarias independientes o parámetros h, k y p. Por tanto, la ecuación de cualquier parábola, cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes coordenados, puede determinarse a partir de tres condiciones independientes.
  45. 45. Ejemplos

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