Algebra

Jr. Espinar Nº 150. Telf.: 281515-282759. Av. Bolognesi Nº 274. Telf.: 282747
Tema: Polinomios, Productos Notables y Valor Numérico
División de Polinomios
Definición: Es aquella operación que
tiene por finalidad hallar una expresión
denominada cociente dadas otras dos
(dividendo y divisor) de tal forma que el
dividendo es igual al producto de divisor
por el cociente más el resto.
Algoritmo de la división Algebraica
= +D(x) d( x)q(x) r( x)
Se pueden presentar:
Primer Caso: División de monomios:
−
=
5 4 3
2 3 2
42x y z
J
3x y z
Segundo Caso: División de un polinomio
entre un monomio:
− +
=
6 5 3 7 5 2
2
42x y 21x y 35x y
W
7xy
Tercer Caso: División de dos polinomios:
Se debe tener en cuenta que los
polinomios deben ser completos y
ordenados en forma decreciente con
respecto a una letra llamada ordenatriz, si
faltase alguna variable se reemplazará
por coeficientes ceros.
Para dividir dos polinomios se utilizan los
siguientes métodos:
1. Método clásico o general
2. Método de los coeficientes separados
3. Método de los coeficientes indeterminados
4. Método de Horner
5. Método de Ruffini
Propiedades:
1. El grado del cociente es igual al
grado del dividendo menos el grado del
divisor.
= −G(Q) G(D) G(d)
2. El número de términos del
cociente está dado por:
= +Nº Términos(Q) G(q) 1
3. El grado del residuo es siempre
menor que el grado del divisor, su
máximo grado es una unidad menor que
el grado del divisor.
= −max imoR d 1
Ejercicios
1. Efectuar la siguiente división:
+ − − −
+ − −
5 4 3 2
2 3
10 x 3 x 17 x x 5
3 x 2x x 2
a) ( ) ( )= − + = − − +
2 2
Q x 5x 6x 3 ;R x 6x 9x 1
b) ( ) ( )= + + =
2
Q x x 2x 2 ; R x 0
c) ( ) ( )= + = +
2
Q x 2x 1; R x x 1
d) ( ) ( )= + = +
2
Q x 8x 1; R x 2x 1
e) ( ) ( )= + + = −
2
Q x x 7x 1; R x x 5
INFORMES: Jr. Espinar Nº 150. Telf.: 281515-282759. y Av. Bolognesi Nº 274. Telf.: 282747. Quillabamba

Academia Albert Einstein Álgebra
2. Determinar m y n de manera que el
polinomio: + − + +
4 3 2
x 2x 7x mx n ; sea
divisible entre − +
2
x 3x 5
a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12
d) 16 y 15 e) 11 y 12
3. Calcular (m+n), si:
−
6
2
2 + mx + nx
2x +1x
, es
una división exacta.
a) –2 b) –1 c) 2
d) 3 e) 0
4. El resto de la división:
− − + −
+ −
4 3 2 2 3 4
2 2
6x x y 6x y 5xy 3y
2x xy 2y
Es igual a –16; cuando “y” es igual a:
a) 3 b) 2 c) 1
d) 5 e) 6
5. Si en una división:
( ) = − − + −
4 3 2
P x 4x 2x 22x 69x 61
el dividendo; ( ) = + −
2
Q x 2x 4x 8 el
divisor ( )S x el cociente y ( )R x el
residuo, resolver la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )− + =Q x S x R x 0
a) 2 b) 4 c) 1
d) 6 e) 5
6. Hallar ( )b
a si la división es exacta:
+ + + +
+ +
4 3 2
2
ax bx 7x 4x 3
3x x 3
a) 81 b) 82 c) 83
d) 84 e) 80
7. Sabiendo que la división:
− − + − +
− −
5 4 3 2
4 2
ax 5x ax mx ax p
x kx 1
Es exacta, halle el residuo de la división:
+ +
−
2
mx kx p
mx 4
; ≠a 0
a) 8 b) 7 c) 6
d) 9 e) 5
8. En el esquema de Horner mostrado,
hallar el valor de: ( ) ( )+ + − + +m n p a b c
− −
1 3 a 1 b c
9 dm
2 e f
g h
n 2 p 4 3
a) 20 b) 18 c) 15
d) 5 e) –3
9. Cuando: − − + +
4 3 2
8x Ax Bx Cx D se
divide entre − +
2
2x x 1, se obtiene un
cociente cuyos coeficientes van
disminuyendo de 1 en 1 a partir del primer
término y un residuo igual a +5x 1 .
Hallar: + + +(A B C D) .
a) 2 b) 21 c) 15
d) 12 e) 13
10. Si el cociente que se obtiene de dividir:
+ +
+ +
3
2
x Ax B
x Cx A
Es equivalente al residuo, determine este,
siendo >C 0 .
a) +x 1 b) −x 1 c) +x 3
d) +x 4 e) +x 5
11. Al efectuar la división:
+ − + + − + −
− +
2 34 2 2 2(n n 1)x x 7nx x n n
x n 1
se observa que la suma de los
coeficientes del cociente y el resto es
cero, el valor de éste último es:
a) –1 b) –4 c) –2
d) –8 e) 2
2

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12. En la división:
+ − + −
−
4 3 2
2x 3 2x 12x 3 2x 2
x 2
calcular la suma de coeficientes del
cociente:
a) 2 b) 2 2 c) 3 2
d) 6 2 e) 0
13. En la siguiente división:
+ + − − +
+
3840 39 25 6x 4 9x 10x x x
x 2
Hallar el T. I. del cociente.
a) 10 b) 12 c) 8
d) 4 e) –1
14. Dividir:
+ − + + +
+ −
6 5 4 32 2 2 2 3 2x 6x x x x
x 2 3
Dar como respuesta el término
independiente del cociente.
a) 6 b) 3 c) 2 3
d) 5 e) 8
15. Encontrar la suma de los coeficientes
del cociente en la siguiente división:
+ − − + − − −
− −
4 2 3 2 2(3 n) (5n 3) 8nx 8nx n x x n
x n 1
si el resto es 64.
a) 60 b) 51 c) 52
d) 53 e) 68
Teorema del Resto o de
Descartes
El teorema del resto o de Descartes se
utiliza con la finalidad de hallar el residuo
en una división sin efectuar la operación;
entre un divisor binomio de la forma
+ax b o cualquier otra expresión
transformable a esta.
RECOMENDACIONES:
a) Igualar el divisor a cero
b) Calcular un valor para x
c) El valor de “x” se reemplaza en el
dividendo y el valor obtenido es el
resto de la división.
Se pueden presentar los siguientes:
CASO I: ( ) ÷ +P x ax b
Ejemplo: Hallar el resto de dividir
− − + −
4 2
5x 20x x 3 entre 2x 1
Solución:
Igualamos el divisor a cero:
− =2x 1 0 ⇒ =
1
x
2
Este valor de =
1
x
2
, reemplazamos en el
Dividendo
Residuo =      
− − + ÷  ÷  ÷
     
4 2
1 1 1
5 20 3
2 2 2
− − +
= − − + = =
5 1 5 80 8 48 35
5 3
16 2 16 16
∴ Residuo=
35
16
CASO II: ( ) ÷ ± ≥
n
P x ax b; n 2
Ejemplo: Hallar el resto de dividir:
− − + −
8 4 2 2
x 2x 7x 5 entre x 2
Solución:
Primero procedemos a hacer un cambio
de variable =
2
x m
Luego trataremos de colocar el dividendo
en función de 2
x :
3

( ) ( )− − +
4 2
2 2 2
x 2 x 7x 5
Reemplazando: =
2
x m
− − +
4 2
m 2m 7m 5
De la misma forma con el divisor:
− = −
2
x 2 m 2
Ahora igualamos el divisor a cero:
− =m 2 0 ⇒ =m 2
Este valor =m 2 , reemplazamos en el
dividendo para hallar el resto:
( ) ( ) ( )− − + = − − + = −
4 2
2 2 2 7 2 5 16 8 14 5 1
∴ Residuo= −1
CASO III: Divisiones de la forma:
( ) ( )
+ + − +
2 2
P x P x
o
x x 1 x x 1
En estos caso también es posible aplicar
el cambio de variable.
Ejercicios
1. Hallar el resto en la división:
+ + − + − + −
−
50 49 28
(m 3)x (m 1)x (3m 4)x 17 5m
x 1
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 20
2. Hallar el resto de la división:
− + + − + +
−
8 7 6 5 4 2
2
x x 2x x x x 10
x 2
a) 40 b) +40 2x c) −40 3x
d) −40 4x e) −4x
3. El resto de dividir:
− + + −
4 3 2
6x 5x 7x 10x 18
entre +x 2 es:
a) 20 b) 48 c) 2
d) 2 e) 10 10
4. Calcular “m” si la división es exacta:
− − −
−
3 2
6x 3x mx 6
2x 3
a) 5 b) 4 c) 3
d) 6 e) 8
5. Hallar el residuo de la siguiente
división:
( ) ( ) + − − +  
6 6 6
x a x a : x 2a
a) 64a6
b) –64a6
c) 46a6
d) –4a e) 4a7
6. Calcular el resto de dividir:
+ + −
160 5 13
x x 2x 1 entre −
4
x 1
a) +3x 1 b) −2x 1 c) 4x
d) +2x 1 e) 3x
7. Hallar el resto de la división:
   + + + + + +      
+ +
3 24 2 4 2
4 2
15x 9x 13 15x 9x 11 13
15x 9x 10
a) 40 b) 41 c) 42
d) 28 e) 30
8. Hallar el resto en la división
( ) ( ) ( ) ( )
( )
 + + + + + 
+ +
4
3 x 1 x 2 x 3 x 4
x x 5 5
a) 8 b) 16 c) 15
d) 18 e) 256
9. Hallar el resto en:
+ − −
+
425 424
27x 81x 5x 19
x 3
a) –2 b) –4 c) 4
d) 2 e) 41
4

10. Señalar el residuo en la siguiente
división:
( ) ( ) ( )+ − − +
− −
2
2 2
2
x 1 x x x 5x 6
x 2x 4
a) 10x b) 20x c) 30x
d) 40x e) 50x
11. Calcular el resto de dividir:
+ + +
+ −
41 1641
2
(x 2 (x 1) )x
2x 1x
a) 129 b) 513 c) 257
d) 255 e) 128
12. Hallar el resto de dividir:
( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + + + +
35 28 17 6
x 1 7 x 1 3 x 1 x 1 3
entre + +
2
2x 2
a) +4x 5 b) +2x 5 c) +2x 11
d) +x 11 e) +x 3
13. El resto de dividir
( ) ( )+ − + +
+ −
8 55
2
2 x 1 x x 2 4
x 2x 1
; es:
a) 34 b) 35 c) 64
d)3 e) 30
14. Hallar
a
b
, si en la división:
( ) ( ) ( )− −
− + − + −
− +
2 3n n 1 n 2
a b x a b x a b x
x a b
se obtiene como resto +n 1
3b :
a) 2 b) 4 c) 8
d) 10 e) 5
2
(x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6)
+ 7x + 2x
a) 310 b) 320 c) 280
d) 360 e) 630
Cocientes Notables
Definición: Son aquellas divisiones
algebraicas en las cuales el cociente y el
residuo de la división se obtienen sin
necesidad de efectuar la operación (resto
igual a cero). Estos casos especiales son
de la forma general:
±
±
n n
x a
x a
; donde: “x” y “a” son las bases y
¥∈n .
Condiciones que deben de cumplir:
a) Deben tener las bases iguales
b) Deben tener los exponentes iguales.
Se presentan 4 casos:
CASO I:
−
−
n n
x y
x y
= C.N.; donde “n” es par o
impar.
CASO II:
+
+
n n
x y
x y
= C.N. ; donde “n” es impar
CASO III:
−
+
n n
x y
x y
= C.N. ; donde “n” es par
CASO IV:
+
−
n n
x y
x y
; No es C. N.
Fórmula del término general del
desarrollo de los cocientes notables:
5

( ) − −
=
n k k 1
kT signo x y
Donde “k” es el lugar pedido y “n” es el
exponente de los bases en el numerador.
Regla para el signo:
a) Cuando el divisor es de la forma
−(x a) todos los términos son
positivos.
b) Cuando el divisor es de la forma
+(x a) los términos de lugar par son
negativos y los términos de lugar
impar son positivos.
Propiedad:
Si:
±
±
m n
p q
x a
x a
; origina un cociente notable
Entonces se cumple: =
m n
p q
Además: = =
m n
Nº de términos
p q
Ejercicios
1. Hallar el coeficiente del cuarto término
del desarrollo de:
+
+
5 5
32x 243y
2x 3y
a) 24 b) 52 c) –34
d) 34 e) –54
2. Hallar el término octavo en el desarrollo
de:
−
−
60 72
5 6
x y
x y
a) 42 20
x y b) 20 42
x y c) −
20 42
x y
d) 18 20
x y e) 20 18
x y
3. Del cociente notable
+
+
153 102
3 2
x a
x a
;
calcular:
I) Número de términos del C.N.
II) Hallar el 23t y 44t .
a) 50, 44 84
x a , −
86 21
x a
b) 51, −
84 44
x a , 21 86
x a
c) 51, 84 44
x a , −
21 86
x a
d) 50, −
44 84
x a , 86 21
x a
e) 40, 80 40
x a , −
40 80
x a
4. ¿Qué lugar ocupa el término de grado
34 en el cociente notable generado por:
−
−
40 20
2
x y
x y
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Si: A es el penúltimo término del C.N.
generado por:
+
+
40 10
4
x y
x y
; hallar A.
a) 9 8
x y b) −
4 8
x y c) 4 8
x y
d) 8 9
x y e) −
8 9
x y
6. La suma de todos los exponentes de
las variables del desarrollo de:
−
−
100 100
4 4
x y
x y
; es:
a) 2400 b) 2500 c) 2600
d) 2700 e) 2800
7. Simplificar:
L
L
+ + + + +
− + − − +
80 78 76 2
40 39 38
x x x x 1
x x x x 1
6

a)
+
−
40 1x
x 1
b)
−
−
40 1x
x 1
c)
40 +1x
x +1
d)
−
−
41 1x
x 1
e)
−41 1x
x +1
8. Calcular:
L
L
− + − − + −
+ + + + + +
9 8 7 2
9 8 7 2
9 9 9 9 9 1
9 9 9 9 9 1
a) 0,8 b) 0,1 c) 0,9
d) 1 e) 9
9. Simplificar:
( )+ + + + +
− − + − + −
+ + + + +
10 8 6 4 2
5 4 3 2
5 4 3 2
x x x x x 1
x x x x x 1
x x x x x 1
a) +x 1 b)
+
1
x 1
c)
+
2
x 1
d) 1 e) x–1
10. Hallar el número de términos del C.N.:
+ −
− −
−
−
4n 12 4n 3
n 8 n 9
x y
x y
a) 12 b) 13 c) 18
d) 15 e) 10
11. Si el grado absoluto del octavo
término del Cociente Notable
−
−
n
3
x 1
x 1
es
12; el número de términos de su
desarrollo es:
a) 12 b) 36 c) 8
d) 10 e) 29
12. En el siguiente cociente notable:
−
−
−
3n 9 3n
4 5
x y
x y
el V.N. del tercer término de
su desarrollo para: =x 2 , y =
1
4
a) 1 b) 32 c) 64
d) 8 e) 16
13. Calcular el término independiente en
el cociente notable:
( )− +
9 18
x 9 3
x
a) 9 b) 19 c) 27
d) 9
9 e) 27
9
14. Hallar ( α + β ) en el cociente notable:
α β
−
−
3 4
x y
x y
si: =
12 286 9
7
t .t
x y
t
a) 20 b) 84 c) 48
d) 36 e) 72
15. El G.A. del término de lugar 6 del
siguiente CN:
3n3n + 9
23
+ yx
+ yx
es:
a) 9 b) 10 c) 18
d) 19 e) 21
Tarea para tu Domicilio
AUTOEVALUACIÓN
1. Si al efectuar:
+ + − − −
− −
5 4 3 2
2
mx nx 2x 2x 12x 4
7x 2x 5
el residuo es 1. Calcular: −m n
a) 9 b) 11 c) 13
d) 15 e) 17
2. Calcular: “ +m n ” si la división deja
como resto: ( )+2x 3
+ + − −
+ +
4 3 2
2
x mx nx 18x 12
x 4x 3
a) 4 b) 3 c) 5
d) 1 e) 2
3. Determinar (a + b + c) que al dividir:
− − + + +
− − +
3 25 4
23
2 6x bx caxx x
3x x 3x
7

el resto sea: 2
2x + x + 1
a) 11 b) 5 c) 10
d) 6 e) 3
4. Calcular: = +M c a , si la división:
+ + +
− +
4 2
2
6x 20x ax c
3x 3x 7
; no deja resto.
a) 25 b) 20 c) 30
d) 10 e) 50
5. En la división: ( )−
− + + +
−
n 1
x n 2 x n 1
x 1
El término independiente del cociente es
−10 ; ¿De qué grado es el dividendo?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
+ − +
3 2
8x 4x 6ax 15 , entre ( )−2x 1
Sabiendo que la suma de coeficientes del
cociente es 37.
a) 46 b) 45 c) 44
d) 43 e) 42
7. Calcular ( )+a b si la suma de los
coeficientes del cociente es 256 y el resto
es 24.
+ + −
−
61
ax 2bx 2b a
x 1
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
8. Al efectuar la división:
+ − + + − + −
− +
2 3 2 24 2(n n 1)x n x n 7nx x
x n 1
se observa que la suma de los
coeficientes del cociente y el resto es
cero, el valor de éste último es:
a) –1 b) –4 c) –2
d) –8 e) 2
9. En la división:
+ − + −
−
4 3 2
2x 3 2x 12x 3 2x 2
x 2
calcular la suma de coeficientes del
cociente:
a) 2 b) 2 2 c) 3 2
d) 6 2 e) 0
10. En la siguiente división:
3840 39 2+ 5 + 6x - 4 - 9x +10x x x
x + 2
Hallar el T. I. del cociente.
a) 10 b) 12 c) 8
d) 4 e) –1
11. Si el resto en
+ + +
−
513 11
3
3 2 x 6x x
x 1
, es de
la forma: + +
2
ax bx c . Hallar + −12a 3b 5c .
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
12. El resto de dividir
− +
+ +
36 18
2
x x 1
x x 1
es
a) 2 b) –2 c) 3
d) –3 e) 1
13. Calcular el 21T en el siguiente C.N.:
−
− −
2
20
2a a
1 a 1
a) −a 2 b) −a 1 c) −
2
a 1
d) +
2
a 3 e) −
2
a 5
14. Hallar el décimo término del C. N.:
+
+
33 33
m n
m n
a) 24 8
m n b) 23 9
m n c) −
25 7
m n
8

d) −
24 8
m n e) −
23 9
m n
15. Si: + + +
12 8 4
x x x 1 es cociente de:
a)
−
+
16
2
x 1
x 1
b)
+
−
16
x 1
x 1
c)
−
−
16
4
x 1
x 1
d)
−
−
12
4
x 1
x 1
e)
−
+
16
4
x 1
x 1
16. Simplificar:
L
L
+ + + + + +
=
+ + + + + +
78 76 74 4 2
38 36 34 4 2
x x x x x 1
E
x x x x x 1
a) −
40
x 1 b) +
40
x 1 c) +
2
x 1
d) −
2
x 1 e) +
80
x 1
17. Hallar el valor de “a” si se sabe que el
penúltimo término de la expansión de
−
−
a a
2 2
x y
x y
es; x2
y82
.
a) 36 b) 41 c) 84
d) 128 e) 86
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