Ejercicios de separación de variables

1. Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
Área de Tecnología
Programa Ingeniería
U.C. Matemática IV
Ecuaciones Diferenciales por
Separación de Variables

2. A continuación, resolveremos ED
por Separación de Variables
Aplicando diversos procedimientos
para su solución (Integración
Inmediata, Cambio de Variables,
ILATE, Fracciones Parciales)
ED por Separación de Variables
3𝑦´ + 8𝑥3 = 2
3𝑦´ = 2 − 8𝑥3
𝑦´ =
2 − 8𝑥3
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2 − 8𝑥3
3
𝒜

3. ED por Separación de Variables
𝑑𝑦 =
2 −8𝑥3
3
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫
2 −8𝑥3
3
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 =
2
3
∫ 𝑑𝑥 −
8
3
∫ 𝑥3 𝑑𝑥
Podemos
Aplicar:
INTEGRACIÓN
INMEDIATA
𝑦 + 𝑐1 =
2
3
𝑥 + 𝑐2 −
8
3
.
𝑥4
4
+ 𝑐3

4. 𝑦 = −
2
3
𝑥4
+
2
3
𝑥 + 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
ED por Separación de Variables
𝑦 = −
2
3
𝑥4
+
2
3
𝑥 + 𝑐
Pero => 𝒞 = 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1

5. ED por Separación de Variables
𝟗𝒚´ + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝟐 = 𝟎
y´ = -
𝑆𝑒𝑛 (𝑥+2)
9
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
𝑆𝑒𝑛 (𝑥+2)
9
𝒹𝓍
𝒹𝑦= -
𝑆𝑒𝑛 (𝑥+2)
9
𝒹𝓍
ℬ

6. ED por Separación de Variables
∫ 𝒹𝑦= ∫ -
𝑆𝑒𝑛 (𝑥+2)
9
𝒹𝓍
y + c 1= -
1
9
∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑥 + 2)𝒹𝓍
y + c 1= -
1
9
∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑢)𝒹𝓍
Aplicamos:
CAMBIO DE
VARIABLE
𝓊 = 𝓍 + 2
𝒹𝓊 = 𝒹𝓍
y + c 1= -
1
9
𝐶𝑜𝑠 (𝑢)𝒹𝑢
Devolvemos el
CAMBIO

7. ED por Separación de Variables
y + c 1= -
1
9
𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 2 + 𝑐2
Pero => 𝒞 = c 1 - 𝑐2
y = -
1
9
𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 2 + 𝑐

8. ED por Separación de Variables
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁
𝓭𝒚 = 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙
∫ 𝓭𝒚 = ∫ 𝒙 𝟐
𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙
𝒞

9. ED por Separación de Variables
𝒚 + 𝒄1 = ∫ 𝒙 𝟐
𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 Aplicamos:
ILATE
𝓊. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙
𝓊 = ln 𝑥
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝒹𝑣 = ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
𝑣 =
𝑥3
3
𝑥3
3
. ln 𝑥 - ∫
𝑥3
3
.
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 =

10. ED por Separación de Variables
𝑥3
3
. ln 𝑥 - ∫
𝑥3
3𝑥
. 𝒹𝑥∫ 𝒙 𝟐
𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 =
𝑥3
3
. ln 𝑥 -
1
3
.
𝑥3
3
+ 𝒞2∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 =
𝑥3
3
. ln 𝑥 -
1
9
. 𝑥3 + 𝒞2∫ 𝒙 𝟐
𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 =

11. ED por Separación de Variables
𝒚 + 𝒄1 =
𝑥3
3
. ln 𝑥 -
1
9
. 𝑥3 + 𝑐2
𝒚 =
𝑥3
3
(ln 𝑥 -
1
3
) + 𝑐
Factor
Común
𝒚 =
𝑥3
3
. ln 𝑥 -
1
9
. 𝑥3 + 𝑐
Pero => 𝒞 = c 1 - 𝑐2

12. 𝒟 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑦 =
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥
y + 𝑐1 = ∫
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥
ED por Separación de Variables

13. y + 𝑐1 = ∫
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥
Apliquemos:
FRACCIONES
PARCIALES
∫
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥
Debemos aplicar La RESOLVENTE
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎 = 3, b = 5, c = 2
−5 ± 52 − 4(3)(2)
2.3
ED por Separación de Variables

14. −5 ± 25 − 24
6
𝑥1 =
−5 + 1
6
𝑥2 =
−5 − 1
6
𝑥1 =
−2
3
𝑥2 = −1
3𝑥 + 2 = 0 𝑥 + 1 = 0
∫
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥 = ∫
5𝑥 + 2
(3𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
𝑑𝑥
ED por Separación de Variables

15. ∫
𝐴
3𝑥 + 2
𝑑𝑥 + ∫
𝐵
𝑥 + 1
𝑑𝑥
∫
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥 = ∫
5𝑥 + 2
(3𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
𝑑𝑥
Separamos
𝐴
3𝑥 + 2
+
𝐵
𝑥 + 1
𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵(3𝑥 + 2)
(3𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
∫
5𝑥 + 2
3𝑥 + 2 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
∫
5𝑥 + 2
3𝑥 + 2 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
∫
5𝑥 + 2
3𝑥 + 2 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
ED por Separación de Variables

16. 𝐴𝑥 + 𝐴 + 3𝐵𝑥2𝐵
(3𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
∫
5𝑥 + 2
3𝑥 + 2 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
𝐴 + 3𝐵 𝑥 + (𝐴 + 2𝐵)
(3𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
∫
5𝑥 + 2
3𝑥 + 2 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
Ahora,
Resolvemos:
A + 3B = 5 (1)
(-1) A + 2B = 2 (2)
A + 3B = 5
-A - 2B = -2
B = 3
A + 2B = 2
A = 2 - 2B
A = 2 – 2(3)
A = -4
ED por Separación de Variables

17. Sustituimos EN:
-4∫
𝑑𝑥
3𝑥+2
+ 3∫
𝑑𝑥
𝑥+1
Integramos:
−
4
3
ln 3𝑥 + 2 + 3 ln 𝑥 + 1 + 𝑐2
Sustituimos EN ORIGINAL:
∫
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥 =
∫
5𝑥 + 2
3𝑥2 + 5𝑥 + 2
𝑑𝑥 =
y + 𝑐1 = −
4
3
ln 3𝑥 + 2 + 3 ln 𝑥 + 1 + 𝑐2
Pero => 𝑐3 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑐3 = ln 𝑐
ED por Separación de Variables

18. y = −
4
3
ln 3𝑥 + 2 + 3 ln 𝑥 + 1 + ln 𝑐
𝑦 = ln 3𝑥 + 2 −
4
3 + ln(𝑥 + 1)3 + ln 𝑐
𝑦 = ln[ c. 3𝑥 + 2 −
4
3 . ln( 𝑥 + 1)3
]
ED por Separación de Variables