TEORIA Y EJEMPLOS DE CUERPO RIGIDO

1. Rotación de cuerpo rígido
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University

2. Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
• Definir y calcular el momento de inercia para
sistemas simples.
• Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de
Newton, energía cinética rotacional, trabajo
rotacional, potencia rotacional y cantidad de
movimiento rotacional a la solución de problemas
físicos.
• Aplicar principios de conservación de energía y
cantidad de movimiento a problemas que
involucran rotación de cuerpos rígidos.

3. Inercia de rotación
Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de
rotación se modele a partir de la ley de traslación.
F = 20 N Inercia lineal, m
a = 4 m/s2 20 N
m = 4 m/s2 = 5 kg
F = 20 N Inercia rotacional, I
R = 0.5 m t (20 N)(0.5 m)
a = 2 rad/s2 I=a = = 5 kg m2
2 rad/s2
La fuerza hace para la traslación lo que el momento de
torsión hace para la rotación:

4. Energía cinética rotacional
Considere masa pequeña m:
v = wR
m
K = ½mv2 m
K = ½m(wR)2 w 4
m3
m1
m2
K= ½(mR2)w2 eje
Suma para encontrar K total: Objeto que rota a w constante.
K = ½(SmR2)w2 Definición de inercia rotacional:
(½w2 igual para toda m ) I = SmR2

5. Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética
rotacional del dispositivo que se
muestra si rota con rapidez constante
de 600 rpm?
Primero: I = SmR2 3 m 3 kg
2 kg
I = (3 kg)(1m)2 w
+ (2 kg)(3 m)2 1m
+ (1 kg)(2 m)2 2m 1 kg
I = 25 kg m2 w = 600 rpm = 62.8 rad/s
K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2
K = 49 300 J

6. Inercias rotacionales comunes
L L
I 1
3
2
mL I 1
12 mL2
R R R
I= mR2 I= ½mR2 I 2
5 mR 2
Aro Disco o cilindro Esfera sólida

7. Ejemplo 2: Un aro circular y un disco
tienen cada uno una masa de 3 kg y un
radio de 30 cm. Compare sus inercias
rotacionales.
R
I  mR  (3 kg)(0.3 m)
2 2
I = 0.27 kg m2 I = mR2
Aro
R I  mR  (3 kg)(0.3 m)
1 2 1 2
2 2
I = ½mR2 I = 0.135 kg m2
Disco

8. Analogías importantes
Para muchos problemas que involucran rotación,
hay una analogía extraída del movimiento lineal.
m t
w w  50 rad/s
x I R o
f t = 40 N m
4 kg
Una fuerza resultante Un momento de torsión
resultante t produce
F produce aceleración
aceleración angular a de
negativa a para una disco con inercia rotacional
masa m. I.
F  ma t  Ia

9. Segunda ley de rotación de Newton
¿Cuántas revoluciones
F wo  50 rad/s
requiere para w
detenerse? R R = 0.20 m
t = Ia 4 kg F = 40 N
FR = (½mR2)a 0
2aq  wf2 - wo2
2F 2(40N) w 0 (50 rad/s) 2
a
2
 q 
mR (4 kg)(0.2 m) 2a 2(100 rad/s 2 )
a = 100 rad/s2 q = 12.5 rad = 1.99 rev

10. Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración
R = 50 cm
lineal de la masa de 2-kg que cae?
M 6 kg
Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio:
a=?
t  Ia TR = (½MR2)a
a 2 kg
T = ½MRa pero a = aR; a =
R
a R = 50 cm
T = ½MR( ) ; y T = ½Ma
R
6 kg
T
Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae:
T
mg - T = ma mg - ½Ma = ma
T +a
2 kg
(2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a
mg
19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a a = 3.92 m/s2

11. Trabajo y potencia para rotación
Trabajo = Fs = FRq t  FR
s
q
Trabajo = tq F
Trabajo
tq q F
Potencia = = t w=
t t s = Rq
Potencia = t w
Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio

12. Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene
un radio de 40 cm y una masa de
6 kg. Encuentre el trabajo y la s
potencia si la masa de 2 kg se q
eleva 20 m en 4 s.
6 kg F
2 kg
Trabajo = tq = FR q
F=W
s 20 m s = 20 m
q= = = 50 rad
R 0.4 m
F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N
Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad) Trabajo = 392 J
Trabajo
Potencia = = 392 J Potencia = 98 W
t 4s

13. El teorema trabajo-energía
Recuerde para movimiento lineal que el trabajo
realizado es igual al cambio en energía cinética
lineal:
Fx  ½mv  ½mv 2
f
2
0
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
trabajo rotacional es igual al cambio en energía
cinética rotacional:
tq  ½Iw  ½Iw 2
f
2
0

14. Aplicación del teorema trabajo-energía:
¿Qué trabajo se necesita
F wo  60 rad/s
para detener la rueda w
que rota? R R = 0.30 m
Trabajo = DKr F = 40 N
4 kg
Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2
= 0.36 kg m2
0
tq  ½Iw  ½Iw2
f
2
0 Trabajo = -½Iwo2
Trabajo = -½(0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J

15. Rotación y traslación combinadas
vcm Primero considere un disco que se
vcm desliza sin fricción. La velocidad de
cualquier parte es igual a la
vcm velocidad vcm del centro de masa.
w
Ahora considere una bola que rueda
sin deslizar. La velocidad angular w v
en torno al punto P es igual que w R
para el disco, así que se escribe: P
v
w O v  wR
R

16. Dos tipos de energía cinética
Energía cinética w
de traslación: K= ½mv2
R v
Energía cinética
de rotación: K = ½Iw2 P
Energía cinética total de un objeto que rueda:
KT  mv  I w
1
2
2 1
2
2

17. Conversiones angular/lineal
En muchas aplicaciones, debe resolver una
ecuación con parámetros angulares y lineales. Es
necesario recordar los puentes:
s
Desplazamiento: s qR q
R
v
Velocidad: v  wR w
R
a
Aceleración: v aR a
R

18. ¿Traslación o rotación?
Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir
todos los términos angulares a términos lineales:
s v a
q w a I  (?)mR 2
R R R
Si debe resolver un parámetro angular, debe
convertir todos los términos lineales a términos
angulares:
s qR v  wR v aR

19. Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un
disco dada su energía cinética total E.
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2
v
E  mv  I w ; I  mR ; w 
1
2
2 1
2
2 1
2
2
R
 v2 
2 2 2  
E  1 mv 2  1 1 mR 2  2  ; E  1 mv 2  1 mv 2
2 4
R 
3mv 2 4E
E or v
4 3m

20. Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular w
de un disco dada su energía cinética total E.
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2
E  1 mv 2  1 I w 2 ; I  1 mR 2 ; v  w R
2 2 2
E  1 m(w R)2  1  1 mR2  w 2 ; E  1 mR2w 2  1 mR2w 2
2 2 2 2 4
3mR 2w 2 4E
E or w
4 3mR 2

21. Estrategia para problemas
• Dibuje y etiquete un bosquejo del problema.
• Mencione lo dado y establezca lo que debe
encontrar.
• Escriba fórmulas para encontrar los momentos
de inercia de cada cuerpo que rota.
• Recuerde conceptos involucrados (potencia,
energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba
una ecuación que involucre la cantidad
desconocida.
• Resuelva para la cantidad desconocida.

22. Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares,
cada uno con la misma masa y radio,
ruedan con rapidez lineal v. Compare sus
energías cinéticas. w
w
Dos tipos de energía: v v
KT = ½mv2 Kr = ½Iw2
v
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 w=
R
 v2 
Disco: E  ½mv 2  ½ ½ mR 2   2  E = ¾mv2
R 
 v2 
Aro: E  ½mv 2  ½  mR 2   2  E = mv2
R 

23. Conservación de energía
La energía total todavía se conserva
para sistemas en rotación y traslación.
Sin embargo, ahora debe considerar la rotación.
Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f
¿Altura? mgho mghf ¿Altura?
¿Rotación? ½Iwo2 = ½Iwf2 ¿Rotación?
¿Velocidad?
¿Velocidad? ½mvo 2 ½mvf2

24. Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa
de 2 kg justo antes de golpear el suelo.
R = 50 cm
mgho mghf
½Iwo2 = ½Iwf2 6 kg
½mvo2 ½mvf2 2 kg
h = 10 m
mgh0  1 mv 2  1 I w 2
2 2 I  1 MR 2
2
 v2  2.5v2 = 196 m2/s2
mgh0  1 mv 2  1 ( 1 MR 2 )  2 
2 2 2
R 
v = 8.85 m/s
(2)(9.8)(10)  (2)v  (6)v
1
2
2 1
4
2

25. Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde
lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son
sus rapideces en el fondo si la altura inicial
es 20 m?
mgho = ½mv2 + ½Iw2 Aro: I = mR2
 v2 
mgh0  ½mv 2  ½(mR 2 )  2  20 m
R 
mgho = ½mv2 + ½mv2; mgho = mv2
v  gh0  (9.8 m/s 2 )(20 m) Aro: v = 14 m/s
Disco: I = ½mR2; mgho = ½mv2 + ½Iw2 v 4
3 gh0
 v2 
mgh0  ½mv 2  ½(½ mR 2 )  2 
R  v = 16.2 m/s

26. Definición de cantidad de
movimiento angular
Considere una partícula m que v = wr
se mueve con velocidad v en m
un círculo de radio r. m
Defina cantidad de
w 4
m3
m1
movimiento angular L: m2
eje
L = mvr Objeto que rota con w constante.
Al sustituir v= wr, da:
Dado que I = Smr2, se tiene:
L = m(wr) r = mr2w
Para cuerpo extendido en L = Iw
rotación:
Cantidad de
L = (Smr2) w movimiento angular

27. Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de
movimiento angular de una barra L=2m
delgada de 4 kg y 2 m de longitud
si rota en torno a su punto medio m = 4 kg
con una rapidez de 300 rpm.
1 1
Para barra : I  mL 
2
(4 kg)(2 m) 2 I = 1.33 kg m2
12 12
 rev  2 rad  1 min 
w   300     31.4 rad/s
 min  1 rev  60 s 
L = Iw  (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2
L = 1315 kg m2/s

28. Impulso y cantidad de
movimiento
Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso
lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento
lineal:
F Dt  mv f  mv0
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
impulso angular es igual al cambio en cantidad de
movimiento angular :
t Dt  I w f  I w 0

29. Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al
borde de una rueda libre para girar. La fuerza
actúa durante 0.002 s. ¿Cuál es la velocidad
angular final?
I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2 D t = 0.002 s w  0 rad/s
w o
R R = 0.40 m
I = 0.32 kg m2
F F = 200 N
Momento de torsión 2 kg
aplicado t  FR
Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular
0
t Dt = Iwf  Iwo FR Dt = Iwf
wf = 0.5 rad/s

30. Conservación de cantidad de movimient
En ausencia de momento de torsión externo, se
conserva la cantidad de movimiento rotacional de un
sistema (es constante).
0
Ifwf  Iowo = t Dt Ifwf  Iowo
Io = 2 kg m2; wo = 600 rpm If = 6 kg m2; wo = ?
I 0w0 (2 kg  m2 )(600 rpm)
wf   wf = 200 rpm
If 6 kg  m 2

31. Resumen – Analogías rotacionales
Cantidad Lineal Rotacional
Desplazamiento Desplazamiento x Radianes q
Inercia Masa (kg) I (kgm2)
Fuerza Newtons N Momento de
torsión N·m
Velocidad v “ m/s ” w Rad/s
Aceleración a “ m/s2 ” a Rad/s2
Cantidad de mv (kg m/s) Iw (kgm2rad/s)
movimiento

32. Fórmulas análogas
Movimiento lineal Movimiento rotacional
F = ma t = Ia
K = ½mv2 K = ½Iw2
Trabajo = Fx Trabajo = tq
Potencia = Fv Potencia = Iw
Fx = ½mvf2 - ½mvo2 tq = ½Iwf2 - ½Iwo2

33. Resumen de fórmulas: I = SmR2
K  Iw1
2
2
Trabajo = tq I ow o  I f w f
tq
tq  ½Iw  ½Iw 2
f
2
0
Potencia 
t
 tw
¿Altura? mgho mghf ¿Altura?
¿Rotación? ½Iwo2 = ½Iwf2 ¿Rotación?
¿Velocidad?
¿Velocidad? ½mvo 2 ½mvf2

34. Rotación de cuerpo rígido