Variables Aleatorias,Esperanza y Varianza        Esperanza y Varianza
La esperanza matemática o simplemente la                esperanza de una variable aleatoria X, se                simboliza...
Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad es f(x), la esperanza es un número real que se calcula seg...
1.   La esperanza de una constante es el valor de la     constante:2.   Aditividad: la esperanza de la suma de dos     var...
4.   Sea y una función real, la esperanza de la     variable aleatoria Y=g(X) está definida por:En particular si y(x) = X2...
1.   Por las propiedades 2 y 3, si Y=aX + b, entonces:2.   Si la función de densidad es simétrica respecto a la     recta ...
La idea de esperanza no indica cómo está  distribuida la masa en torno a su centro; esto se  expresa mediante la varianza ...
Según el tipo de variable aleatoria, se calcula de la siguiente manera:1.   Para una variable aleatoria discreta que toma ...
3.    Para una variable aleatoria continua con función de      densidad f(x):Observación: al igual que en la esperanza, si...
Definición la desviación estándar de una variable aleatoria X es igual a la raíz cuadrada de la varianza:Propiedades:   L...
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Variables aleatorias

  1. 1. Variables Aleatorias,Esperanza y Varianza Esperanza y Varianza
  2. 2. La esperanza matemática o simplemente la esperanza de una variable aleatoria X, se simboliza por E(X) y su definición es la siguiente: Sea X una variable aleatoria discreta, la esperanza es un número real que se calcula según: 1. Si X toma un número finito de valores x1, x2,…, xn con probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…, pn=Pr(X=xn): 2. Si X toma un número infinito de valores x1, x2,… con probabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:Esperanza de una variable aleatoria discreta
  3. 3. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad es f(x), la esperanza es un número real que se calcula según: A la esperanza también se le denomina medio poblacional o valor esperado de la variable aleatoria y se la suele notar como μ. Observación: si f(x) toma valores distintos de cero en un intervalo [a, b], la esperanza se calcula como: La esperanza posee varias propiedades, independientes del tipo de la variable aleatoria.Esperanza de una variable aleatoria continua
  4. 4. 1. La esperanza de una constante es el valor de la constante:2. Aditividad: la esperanza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzas de los dos sumandos:3. Un factor constante c se puede sacar del signo del símbolo de la esperanza matemática:Propiedades
  5. 5. 4. Sea y una función real, la esperanza de la variable aleatoria Y=g(X) está definida por:En particular si y(x) = X2 se tiene:5. Si X y Y son dos variables aleatorias independientes:Propiedades
  6. 6. 1. Por las propiedades 2 y 3, si Y=aX + b, entonces:2. Si la función de densidad es simétrica respecto a la recta x = m, entonces E(X) = m.3.Dos variables aleatorias con la misma esperanza puedes tener distribuciones diferentes. Para diferenciarlas es necesario introducir otra característica teórica que informa sobre la dispersión de sus posibles valores.Observaciones
  7. 7. La idea de esperanza no indica cómo está distribuida la masa en torno a su centro; esto se expresa mediante la varianza de la variable aleatoria X, que se nota Var(X) o σ2.Definición: la varianza de una variable aleatoria X es un número no negativo que se calcula por:O equivalentemente por:La Varianza
  8. 8. Según el tipo de variable aleatoria, se calcula de la siguiente manera:1. Para una variable aleatoria discreta que toma un número finito de valores x1, x2,…, xn con probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…, pn=Pr(X=xn):2. Para una variable aleatoria discreta que toma un número infinito de valores x1, x2,… con probabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:La Varianza
  9. 9. 3. Para una variable aleatoria continua con función de densidad f(x):Observación: al igual que en la esperanza, si f(x) está definida en [a, b]: 1. Una mayor varianza indica que los valores tienden a estar más alejados de la media. 2. Una menor varianza indica que los valores tienden a estar más concentrados alrededor de la media.La Varianza
  10. 10. Definición la desviación estándar de una variable aleatoria X es igual a la raíz cuadrada de la varianza:Propiedades: La varianza de una constante es cero: Un factor constante c se puede sacar del signo del símbolo de la varianza, elevándolo al cuadrado: Aditividad: la varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de los dos sumandos: Observación: de las propiedades 1 y 2 se verifica que:Desviación estándar

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