Lecture 15 probabilidad de error y ber en señales bandabase binaria

Universidad Nacional de Ingeniería
Comunicaciones II
Conferencia 15: Probabilidad de error y BER en señales
digitales bandabase
UNIDAD VI: DETECCIÓN E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN
Instructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications Management
Profesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf15: Detección e1 Intro. Teoría Estimación

Contenido
• PDF de variables aleatorias importantes
• Detección Digital Binaria: el modelo de
estudio
• Esquema de detección
• El receptor óptimo
• El dispositivo de decisiçon
• Probabilidad de error de bit y BER:
– umbral y regla de decisión
– Cálculo de Pe y BER

PDF de variables aleatorias importantes
• Las variables aleatorias mas comunmente usadas en comunicaciones son:
• Variable Aleatoria Bernoulli
• Esta es una v.a. que toma dos valores uno o cero con probabilidades p y 1-p. Una v.a. de
Bernoulli es un buen modelo para un generador de datos binarios. También, cuando datos
binario se transmiten sobre un canal de comunicación, algunos bits se reciben en error.
Podemos modelar un error como la suma exor de un uno al bit de entrada, cambiando un 0
en 1 o un 1 en 0. Por tanto, una v.a. de Bernoulli puede ser empleada para modelar el error
de canal.

• Variable Aleatoria Binomial
• Esta es una v.a. discreta que dá el número de 1´s en una secuencia de n eventos
independientes según Bernoulli. La PMF está dada por:
ì
æ
ç çè
ïî
ïí
ö
k n -
k
£ £ - ÷ ÷ø
P X x
= =
n
p (1 p ) , 0
k n
k
0, , o.p.
( )
• Esta v.a. modela, por ejemplo, el número total de bits recibidos en error cuando una
secuencia de n bits se transmiten sobre un canal con una probabilidad de error p.

• Variable Aleatoria Binomial

• Variable Aleatoria Uniforme
• Esta es una v.a. continua que toma valores entre a y b con igual probabildades sobre un
invervalos de igual longitud. La función de densidad (pdf) está dada por:
1
ì £ £
=
ïî
ïí
, a
b - a
x b
0, o.p.
f x X
( )
• Este es un modelo para una v.a. continua cuyo rango es conocido, pero nada mas se
conoce sobre la probabilidad de varios valores que la v.a. puede asumir. Por ejemplo,
cuando la fase de una sinusoidal es aleatoria usualmente se modela como una v.a.
uniforme entre 0 y 2p.

• Variable Aleatoria Gaussiana
• Esta es una v.a. descrita por la función de densidad de probabilidad (pdf) dada por:
x m
- -
( )
( ) 1 s
2
2
2
X f x e
s p
2
=
• La variable aleatoria Gaussiana es la más importante y frecuentemente encontrada en
comunicaciones. La razón es que el ruido término, el cual es la mayor fuente de ruido en
los sistemas de comunicaciones, tienen una distribución gaussiana. Las propiedades del
ruido Gaussiano serán investigadas en esta Unidad en cuanto su impacto en la
probabilidad de error en el receptor.

• Función de Densidad de Probabildad Gaussiana
m

• La CDF de una v.a. Gaussiana con media m= m=0 y desviación estándar s=1 se denota
por:
2
x P X x e dt x t
( ) ( ) 1
- F = £ = 2
ò -¥
p
2
Q(x) =1-F(x)
• Una función muy relacionada es la función Q, de modo que:
para P(X>x). Esta función es bastante común en cuanto a su tabulación y es usada con
gran frecuencia en comunicaciones. En esta asignatura, nuestro análisis de probabilidad de
error en la detección será expresado en términos de Q.
• Puede observarse que la función Q(x) satisface las siguientes condiciones:
Q - x = -
Q x
( ) 1 ( )
=
(0) 1/ 2
¥ =
( ) 0
Q
Q
BONIFICACIÓN 4:
INVESTIGUE Y HAGA UN RESUMEN DE LA
RELACIÓN DE LA FUNCIÓN Q CON LA
FUNCIÓN ERROR (ERF) Y LA FUNCIÓN ERROR
COMPLEMENTO (ERFC)
SE ENTREGA EN UNA SEMANA.

• Existen ciertas acotaciones a la función Q que son ampliamente usadas para encontrar
límites o fronteras a las probabilidades de error de varios sistemas de comunicación. Las
dos acotaciones superiores mayormente usadas son:
0
2
x
( ) 1 2
£ ³ - Q x e para x
2
2
x
( ) 1 2
£ ³ - e para x
x
Q x
• La acotación inferior que se usa con frecuencia es:
0
p
2
- x
2
( ) 1 2
1 1 e 0
> æ - para x
x 2
p
x
ö 2
çè
³ ÷ø
Q x
2S 2009 - I. ZamoraU n i VI-Conf15: Detección e1 I0ntro. Teoría Estimación

• acotaciones superiores e acotación inferior

• Una variable Gaussiana puede ser descrita en términos de sus dos parámetros m y s por
N( m y s). Para esta variable aleatoria, un simple cambio en la variable en la integral que
calcula P(X>x) resulta en un cambio de argumento a (x-m)/ s, es decir:
N(0,1) P(X > x) =Q(x)
P(X x) Q x m N(m,s 2 )
> = æ -
ö çè
÷ø
s

• Algunos valores de la función Q.
B.P. Lathi provee
una extensa tabla
para esta función
en capítulo 10 del
libro de referencia
indicado.

Detección Digital Binaria: Detección
Partimos de la selección de formas de ondas, o lo que conocemos como la salida del codificador de línea (modulador o
filtro generador de pulsos), para los símbolos binarios 0 y 1:
[{ } 1] [ ( ) ( )] 1 a s t s t k = « =
[{ } 0] [ 0] 0 a = «s (t) = k
Donde s(t) es una función real con duración T, dada por la expresión:
Esta señal es referida como una señalización encendido-apagado
(on-off), o simplemente, de No Retorno a Cero
F.T. Canal Ideal
1 r (t) s (t) n (t) o ko o = +
PSD del AWGN S f = N
f n n N PDF del AWGN
Señal
recibida Secuencia binaria
( ) o
n
A, t T
k k T s(t) s (t) b h (t kT)
= = -
k k
s (t)
ö
æ
2
2
( ) 1
s p s
(NRZ).
2
î í ì
£ £
=
,
s(t)
0
0
En otra parte
1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 A0
Estructura del modelo para el análisis de detección de señales binarias AWGN
Filtro de forma
De onda
hT(t) S
Secuencia
binaria PCM
Señal
de ruido
{ } k a
n(t)
Detector:
Filtro Óptimo
Acoplado
Dispositivo
de Decisión:
Comparador
de Umbral
r(t)
{ } k aˆ
t = T
(estimada)
h (t) (t) c = d
s(t) h (t) s(t) c * =
Precodificador
{ } k b
Modulador
s(t)
Canal hc(t)
å ¥
å ¥
=-¥
= -¥
r(t) s(t) h (t) n(t) c = * +
s (t) b h (t kT) k k T = -
Conjunto de formas de
s (t)
ondas para {a} 0
kr (T) s (T) n (T) o ko o = +
÷ ÷ø
ç çè
= exp
- 2
2

Detección Digital Binaria: el Receptor Óptimo
h (t) (t) c =d
La señal recibida, en vista que se considera un canal AWGN sin memoria, es:
donde n(t) es el ruido aditivo blanco gaussiano (AWGN) con PSD dada
por:
S f = N
( ) o
n
2
r(t) = s(t) +n(t)
El Receptor Óptimo: En vista que la señal recibida r(t) consiste de
ambas señal de información y de ruido, el diseño del receptor
óptimo trata de encontrar el h(t) del filtro acoplado de tal manera
que (SNR)o (razón señal a ruido), a como se define en la ecuación
siguiente, sea la máxima:
s T
( )
2
2
( SNR
) =
ko
o E [ n ( T
)
] o máx
Donde |sko(T)|2 es la potencia instantánea en la señal de salida sko(t) medida en el instante t=T.
Esto, puede demostrarse, se logra seleccionando un filtro acoplado con una función de
tranferencia dada por:
h(t) = s(T -t)
Respuesta al impulso del Filtro Acoplado
(F.T. en el dominio de la frecuencia)
El símbolo recibido a la salida del receptor acoplado es: r (t) s (t) n (t) o ko o = +
El valor muestreado en t=T, del símbolo recibido a la salida del receptor acoplado
es: r (T) s (T) n (T), k , (caso binario) o ko o = + = 0 1
Donde sko (t) es la salida del filtro acoplado para la entrada s(t) y no(t) es la salida del filtro acoplado
para la entrada n(t).

Detección Digital Binaria: el Receptor Óptimo
r(t) = s(t) +n(t)
s(t)
n(t)
s(T-t)
s(T-t)
WSS WSS
WSS: Wide Sense Stationary Observe que: h(t) = s(T -t)
Propiedad del Filtro Acoplado:
La razón señal a ruido alcanza un valor máximo dado por:
s (t) s(t) h(t) ko = *
n (t) n(t) h(t) o = *
s T
( )
2
2
SNR ko
2
E
E
= = = con
[ ] N E
o o o
o E n 2
T
N
2
( )
( )
S f = N
( ) o
n
Donde E es la energía de la señal sko(t), que puede obtenerse de:
r(t) s (t) n (t) ko o = +
2
E ò S f df ¥
= ( ) donde S( f ) es la transformada de Fourier de sk(t)
-¥
Y la potencia media de la salida del componente de ruido está dada
por: [ ] ò ò ò ¥
E n2 = S ( f ) 2 df = S ( f ) S ( f ) 2 df = No S f 2 df =
NoE
o no n
-¥
¥
-¥
¥
-¥
2
( )
2

Detección Digital Binaria: el Dispositivo de Decisión
Para la señalización NRZ (on-off), utilizada hasta ahora, tenemos:
( ) ( ) ( ) 1 1 s t s t h t o = *
ì
2
A t , 0
£ t £
T
(2 ), 2
( ) 2
En general, un proceso cualquiera X(t) se dice es un proceso aletaor5io gaussiano si en un
instante t, X(t) es una variable aleatoria gaussiana.
Se observa que tanto ro(t) como no(t) son ambos procesos gaussianos.
Dispositivo y Variable de Decisión:
La decisión se realiza sobre la base de la salida del detector, ro(t), cuando t=T. Definimos ro(T)
como la variable de decisión, es decir, la variable de decisión está dada por:
r (T) s (T) n (T) o ko o = +
A
T
t
A
T
t
1 ( ) 1 «s t h(t)«s(t)
A
T
t
2T
0 ( ) 0 «s t
ïî
ïí
- £ £
=
A T t T t T
s t o
0, otra parte
1
( ) 0, en todo caso. 0 s t = o
Partiendo que ro(t) y no(t) son variables gaussianas, se puede determinar sus valores medios
y sus varianzas.

Regeneración de onda PCM
r (T) s (T) n (T) o ko o = +
Dispositivo de
Decisión: Umbral g
r (t) s (t) n (t) o ko o = +
{ } k aˆ
El mismo pulso
pero distorsionado
g
por el canal
Instante de
muestreo
g
T
t=T
t=T
ro(T)
T
Dispositivo de
Regeneración
Si ro>g
ro(T) es el valor muestreado,
comparado con el umbra
T
de decisión g.
entonces S==> “1” g
ro(T)
Pulso
original
que
representa
un “1”
Instante de
muestreo
Pulso regenerado
para un “1”
Pulso
original
que
representa
un “0”
El mismo pulso
pero distorsionado
por el canal
Dispositivo de
Regeneración
Si ro<g
entonces S==> “0”
g
Pulso regenerado
para un “0”
T

Detección digital binaria: El dispositivo de decisión
Recordemos que si una variable aleatoria gaussiana X tiene media m y varianza s2, podemos
denotarlos como:
X ~ N(m,s 2 )
( )
ö
÷ ÷ø
ç çè æ - = - 2
2
m
s
f x x X
2
exp
( ) 1
s p
2
PDF de la v.a. X de
tipo gaussiana
A) El componente de ruido, no(t), tiene media cero, así su varianza es igual a su
potencia media, es decir:
s 2 var 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
= n T = E n T = S f df = S f H f df no o o no n
Así:
El ruido también
tiene distribución
gaussiana
[ ] [ ] ò ¥
ò -¥
¥
-¥
Media
Varianza
E[n (T)] = 0 o
[ ] [ ] 2
2 var n2 (T) E n2 (T) NoE
no o o s = = =
ö
æ
n
2
( ) 1 exp
n (T) N 0, NoE
o ÷ ÷ø
~ æ
ö çè
÷ø
2
ç çè
= -
N E
N E
f n
o o
N
p

î í ì
A £ t £
T
=
, 0
0, otra parte
A) En general, si definimos una señal auxiliar: s t
( )
Entonces: { } 1 ( ) ( ) 1 1 a s t A s t k = « =
{ } 0 ( ) ( ) 0 0 a s t A s t k = « =
Comparado al caso anterior, A1=1, A0=0.
Donde T es la duración del símbolo s(t), y A1 y A2 son constantes, luego la variable de
decisión ro(T) tiene las siguientes ecuaciones:
r T ~ N æ
s NoE
o o
ö çè
÷ø
2
( ) , 1
r T ~ N æ
s NoE
o o
ö çè
÷ø
2
( ) , 0
Si se transmite un “1”:
Puede demostrarse que el nivel del umbral de decisión óptimo para el sistema binario, con
probabilidades de transmisión de un 0 y un 1 dados por p(s0o) y p(s1º) está dada por:
ù
é
×
γ N o o
s (T) s (T)
o + + úû
1 0
2
ln
(s (T) s (T))
2
p(s )
o
1
p(s )
0
+
o o
1 0
o
êë
=

( ) ( ) 1 0 s T s T o o g = +
Si 0 y 1 ocurren con igual probabilidad, es decir son
equiprobables, el umbral de decisión se resume a la expresión: 2
La regla de decisión será una de las dos siguientes hipótesis Hk:
Si r (T) ³g o
, se detecta un “1”. Luego se decide por H1: Un “1” fue enviado, o sea {ak}=1 con s1(t).
Si r o
(T) < g , se detecta un “0”. Luego se decide por H0: Un “0” fue enviado, o sea {ak}=0 con s0(t).
En el caso de señalización NRZ (on-off), tenemos que el umbral está dado por:
g = E
2
Situaciones de error (caso binario):
Se incurre en un error en la recepción cuando se asume una hipótesis incorrecta. Para el caso
Binario tenemos dos situaciones:
P [error de detección de {ak}=1] = P (trasmite {ak}=1 y se detecta {ak}=0)
P [error de detección de {ak}=0] = P (trasmite {ak}=0 y se detecta {ak}=1)

Cálculo de Pe
OBERVACIÓN: Cuando M=2, la probabilidad Pb=Pe, por tanto, en esta conferencia, cuando
hablamos de probabilidad de error de bit, también coincide con la probabilidad de error de
símbolo o pulso. Por tanto, trabajos con Pe por conveniencia.
1.- P [error de detección de {ak}=1] = P (trasmite {ak}=1 y se detecta {ak}=0)
1 (1) ( ) e 1 e s P = P s P
donde [ ] ò -¥
= < = g g e s o R S o o P P r T H f r s dr o ( ) ( ) 1 1 1 1
ò -¥
= g
Entonces: Se transmite un “1” pero se
detecta un “0”.
e R S o o P P s f r s dr o (1) ( ) ( ) 1 1 1
( ) 1 1 f r s Ro S o ( ) 0 0 f r s Ro S o
e s1 P e s0 P
Para el caso NRZ on-off:
s T A T E o = 2 =
1 ( )
( ) 0 0 s T = o
( ) ( ) 2
1 0 s T s T A T E g = o + o = =
2 2 2
o0 s g o1 s

Cálculo de Pe
Evaluamos la probabilidad de error para el segundo caso de la diapositiva 10:
2.- P [error de detección de {ak}=0] = P (trasmite {ak}=0 y se detecta {ak}=1)
0 (0) ( ) e 0 e s P = P s P
donde [ ] ò¥ = ³ =
P P r ( T ) g H f ( r s ) dr e s 0 o 0 g
R o S 0 o 0
o =
ò¥ e g R S o o P P s f r s dr o (0) ( ) ( ) 0 0 0
Entonces: Se transmite un “0” pero se
detecta un “1”.
( ) 1 1 f r s Ro S o ( ) 0 0 f r s Ro S o
e s1 P e s0 P
Para el caso NRZ on-off:
s T A T E o = 2 =
1 ( )
( ) 0 0 s T = o
( ) ( ) 2
1 0 s T s T A T E g = o + o = =
2 2 2
o0 s g o1 s

Cálculo de Pe
Ahora, con las expresiones para los casos en que puede ocurrir un error en la detección, se
puede determinar la probabilidad media de que, en general, ocurra un error de detección
cualquiera:
Se transmite un “1”
ó Se transmite un “0”
P = P (1) + P
(0) pero se detecta un “0”. pero se detecta un “1”.
e e e 1 0 ( ) ( ) e 1 e s 0 e s P = P s P + P s P
ò g
ò¥
P = P ( s ) f ( r s ) dr +
P ( s ) f ( r s ) dr e 1 R o S 1 o 1 o 0 R o S 0 o 0
o -¥
g
Es decir:
¿Cómo evaluamos las integrales? Partimos del hecho que ambas pdf son de tipo normal, o
sea, gaussianas, y por tanto las probabilidades condicionales también son gaussianas y
pueden expresarse tomando en cuenta que:
r T H ~ N æ
E NoE
o
ö çè
÷ø
2
( ) , 1
r T H ~ N æ
NoE
o
ö çè
÷ø
2
( ) 0, 0
s E o = 1
0 0 = o s

Cálculo de Pe
De la diapositiva 8 podemos combinar y obtener:
( ) ò ò ¥ - ¥ - ÷ ÷ø
æ - = = - g g
2
e s R S o o P f r s dr r dr o 2
ç çè
m
o
exp
( ) 1 1 1
( ) ÷ø
s p o
1 2
s
2
N m,s 2 ~ N æ
E, NoE
ö 2
çè
( ) ò ò¥ ¥
ö
ö
2
e s R S o o P f r s dr r dr o 2
÷ ÷ø
æ - = = -
ç çè
m
o
exp
( ) 1 0 0
s p o
0 2
g g s
2
pero se detecta un “0”.
pero se detecta un “1”.
N m,s 2 N 0, NoE
( ) ~ ÷ø
çè
æ
ö 2

Cálculo de Pe
En términos de la función Q, y con símbolos equiprobables tenemos:
( )
ö
2
P f r s dr r dr o
÷ ÷ø
ö
÷ ÷ø
æ - = ò = ò - -¥ -¥
m
( ) 1 2
ç çè
o
s
2
exp
s p
g m
æ - = ÷ø
m g
÷øö çè
2
Q Q
s
Q E
N
g g
1
s
Q E E
N E
/ 2
/ 2 2
o o
( )
ç çè æ
= - æ -
ö çè
ö
= ÷ ÷ ø
æ - =
ç ç
è
e s R S o o
1 1 1
æ - = ò = ò - ¥ ¥
o
P f ( r s ) dr 1 r m
dr o
2
g g s p
Q Q E
= æ -
g m
ö s
çè
Q E
2
o
s
2
ç çè
æ - = ÷ø
/ 2 0
2
/ 2
exp
2
e s R S o o
0 0 0
ö
÷ ÷ø
æ
ç çè
=
ö
÷ ÷ø
ö
÷ ÷
ø
ç ç
è
o
N E
o
o
N
g = E
2
s E o = = 1 m
N m,s 2 N E, NoE
( ) ~ ÷ø
çè
æ
ö 2
0 0 = = o m s
N m,s 2 N 0, NoE
( ) ~ ÷ø
çè
æ
ö 2
ö
æ
P P Q E
OBSERVE QUE AMBOS RESULTADOS SON IDÉNTICOS!!! ÷ ÷ø
ç çè
= =
o
e s 1 e s 0 2
N

Cálculo de Pe
Finalmente, la probabilidad media de error (de bit y símbolo en este
caso binario), es:
1 0 ( ) ( ) e 1 e s 0 e s P = P s P + P s P
( ) ( ) 1 1 0 P s = P s =
con 2
ö
÷ ÷ø
æ
Q E
ç çè
ö
= ÷ ÷ø
æ
× + ÷ ÷ø
Q E
ç çè
ö
æ
P Q E
ç çè
1
= ×
1
e 2 2 N
2
N
o o o
N
2 2
La probabilidad de error
promedio en el receptor de
este sistema, sea PCM u
otro de cualquier naturaleza,
incluyendo pasabanda,
depende solamente de la
razón de energía de símbolo
o bit relativa a la densidad
espectral de potencia de
ruido medido a la entrada del
receptor.
Así, si E/No Ý, entonces Pe ß

Probabilidad de error (Pe/Pb) y BER
Comentarios sobre Pey BER:
• En el caso binario la probabildad de error de bit (Pb) coincide con la probabilidad
de error de símbolo o pulsos (con M=2) (Pe), pero en general no son iguales. En
esta conferencia significarán lo mismo.
• Los conceptos de probabilidad de error de detección de bit (Pb) y tasa de errores
de bits (BER) suelen usarse intercambiablemente pero NO SIGNIFICAN LO
MISMO!!!
• La probabilidad de error, Pb/Pe, es la estimación matemática sobre un evento que
aún no ocurre, en este caso considerando un sistema binario. La ocurrencia de
un error al momento que el receptor procede a estimar si la información
contenida en la forma de onda que recibe corresponde a un 1 o a un 0.
• En cambio, la tasa de errores de bit o BER, corresponde a una métrica histórica,
mas relativa a resultados estadísticos y se relaciona mas con la frecuencia de
ocurrencia de un evento, en este caso, la ocurrencia de un error.
• En resumen, Pe/Pb, se calcula con base en la estimación y BER se define con
base a la observación.
• Para calcular la Pe/Pb, y la probabilidad promedio de error, partiremos del modelo
de sistema digital binario bandabase mostrado en las siguientes diapositivas.

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