Sels

1. UNIVERSIDAD POPULAR AUTONOMA DEL ESTADO DE PUEBLA
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL
TUTOR: DR. ROGELIO GONZÁLEZ VELÁZQUEZ
TAREA 4
MODELO DE SOLUCIÓN A TRAVÉS DE UN SHEL`S
Contreras Muñoz
Pablo Jesús
Ochoa Rojas
Celso
Sánchez Sánchez
Elizabeth
Tlatelpa García
Karla

2. Contenido
1. RESUMEN
2. INTRODUCCIÓN
3. TEOREMA
4. MODELO DE EJEMPLO
APLICACIÓN DE LOS SHEL
5. TAREA
6. SOFTWARE Y EJEMPLO
7. ACTIVIDAD USANDO
SOFTWARE
8. AUTOEVALUACIÓN
9. BIBLIOGRAFÍA

3. 1. RESUMEN
La solución de los sistemas de ecuaciones
lineales encuentra una amplia aplicación
en la ciencia y la tecnología. En particular,
se puede afirmar, que en cualquier rama
de la ingeniería existe al menos una
aplicación que requiera del planteamiento
y solución de tales sistemas.

4. 2. INTRODUCCIÓN
• Definición: Un sistema de ecuaciones lineales se
llama homogéneo si todas las constantes
b1, b2,b3, …, bn son todas ceros.

5. Soluciones de un Sistema Lineal Homogéneo
En general, al resolver un sistema de ecuaciones lineales
encontramos como solución una de estas tres posibilidades:
 Solución única.
 Ninguna solución.
 Número infinito de soluciones.
Pero en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo hay
dos posibilidades: cero como solución (llamada solución
trivial) o un número infinito de soluciones adicional a cero
como solución (llamada solución no trivial).

7. 3. TEOREMA
Teorema: Un sistema de
ecuaciones lineales homogéneo
tiene un número infinito de
soluciones si n > m.

8. En una fabrica de ropa se producen tres estilos de camisas que
llamaremos 1, 2, 3.
Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y
empaquetado; las camisas se elaboran por lote.
Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan: 30 min
para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y
empaquetarlas. Para el tipo 2; 50 min para cortar, 50 min para
coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3; 65
min para cortar, 40 min para coser y 50 min para planchar y
empaquetar.
¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en
cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?
MODELO DE EJEMPLO APLICACIÓN DE
LOS SHEL

9. Queremos saber cuantos lotes de cada tipo de camisa
se pueden producir, asignemos literales.
 Sea x el número de lotes de camisas del tipo 1 que
se pueden producir.
 Sea y el número de lotes de camisas del tipo 2 que
se pueden producir.
 Sea z el número de lotes de camisas del tipo 3 que
se pueden producir.
SOLUCIÓN

10. Establezcamos relaciones algebraicas entre las
variables.
El número de minutos que se emplean en cortar una camisa del
tipo 1 es 30x, del tipo 2 es 50y, y del tipo 3 es 65z.
El número total de minutos que se emplea en cortar todas las
camisas es:
30x+50y+65z
Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se
trabajan en cortar ∴ 30x+50y+65z=480
Análogamente en coser se tiene: 40x+50y+40z=480
En planchar y empaquetar tenemos: 50x+50y+50z=480

11. Solucionar el Problema de Ecuaciones Lineales
Homogéneo (SHEL).
30x+50y+65z=480
40x+50y+40z=480
50x+50y+50z=480
 Resolver a mano
 Resolver en Scilab

12. APLICACIONES EJEMPLO No.2
Una empresaria internacional necesita, en promedio, cantidades
fija de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes
durante cada viaje de negocios. En este año viajo 3 veces.
La primera vez cambió un total de $ 2550 con las siguientes
tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por
dólar. La segunda vez $2840 en total con las tasas de 125 yenes,
0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambio un total
de $2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar
¿Cuántos yenes, Libras y marcos compro cada vez?

13. Sean x, y, z ; las cantidades fijas de yenes, libras y
marcos que cambia en cada viaje.
 Entonces, la primera vez gastó (1/100)x dólares comprando
yenes , (1/0.6)y comprando libras y (1/16)z para comprar
marcos. Por consiguiente, (1/100)x + (1/0.6)y +(1/1.6)z=
2550.
 La segunda vez (1/125)x dólares, (1/0.5)y libras, (1/1.2)z
para marcos. Por consiguiente,
(1/125)x+(1/0.5)y+(1/1.2)z=2840.
 En la tercera y ultima compra (1/100)x +
(1/0.6)y+(1/1.2)z=2880
SOLUCIÓN:

14. 1
100
x +
1
0.6
y +
1
1.6
z= 2550
1
125
x +
1
0.5
y +
1
1.2
z= 2840
1
100
x +
1
0.6
y +
1
1.2
z= 2880
Solucionar el Problema de Ecuaciones
Lineales Homogéneo (SHEL).
Con eliminación de Gauss se obtiene:
x= 80, 000
y= 600
z= 1200
En consecuencia cada vez compró 80, 000 yenes, 600 libras y 1200
marcos para viajar

15. Con Software Scilab obtenemos:

16. El Promedio de las Temperaturas en las ciudades de
Nueva York, Washington y Boston, fue 88°F durante
cierto verano. En Washington fue de 9° mayor que el
promedio de las temperaturas de otras ciudades. En
Boston fue de 9° menor que las temperaturas de las
otras ciudades, En Boston fue 9° menor que la
temperatura promedio en las otras ciudades.
¿Cuál fue la temperatura en cada ciudad?
APLICACIONES EJEMPLO No.3

17. Sean x, y, z las temperaturas de Nueva York, Washington
y Boston, respectivamente.
La temperatura promedio en las tres ciudades es (x + y
+ z)/3, que es 88. Por otro lado, la temperatura en
Washington es 9° mayor que el promedio de Nueva York
y Boston, que es (x + z)/2. De modo que, y=(x +
z)/2 + 9 en consecuencia, z=(x + y)/2 - 9.
SOLUCIÓN

18. 1
3
x +
1
3
y +
1
3
z = 88
−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 18
−𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −18
Después de replantear este sistema en forma canónica,
aplicamos la eliminación de Gauss para obtener:
x= 88°
y= 94°
z= 82°
Solucionar el Problema de Ecuaciones
Lineales Homogéneo (SHEL).

19. 5. Tarea
1. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una
unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del
compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20
kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C Una unidad del tipo III requiere 50 kg
del A y 50 kg del C Si hay disponibles 1600 kg del A,1200 kg del B y 3200
del C ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se
pueden producir si se usa todo el material químico disponible?
Que se Pide
Queremos saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden
Sea X el número de unidades del fertilizante del tipo I
Sea Y el número de unidades del fertilizante del tipo II.
Sea Z el número de unidades del fertilizante del tipo III.

20. 2. Una granja avícola incluye en la dieta de sus aves
vitaminas B, C y D, para evitar enfermedades así como
un desarrollo más rápido. En cierto mes compraron 20
cajas de vitamina B, 40 cajas de vitamina C y 50 cajas de
vitamina D pagando $70000, al mes siguiente
compraron 30 cajas de vitamina B, 20 de vitamina C y
50 cajas de vitamina D por un total de $51520, un mes
después compraron 40 de vitamina B, 10 de vitamina C
y 70 de vitamina D con un costo de 45000, sí el precio
por caja no ha variado en todo ese tiempo.
¿Que precio tiene cada caja de vitaminas?
Se pide el precio de La vitamina A, B y D

21. 6. Software y Ejemplo.
1. Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales:
cañón, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo
cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para
instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2
para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-
pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para
instalar programas. Si la fabrica dispone en horas por mes de 556 para
ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas,
¿Cuántas computadoras se pueden producir por mes?
En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de computadora a
producir:
x = número de computadoras cañón
y = número de computadoras clon
z = número de computadoras lenta-pero-segura

22. Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los
tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de
programas.
Ensamblado
556(total) = 12 x(cañón) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)
Pruebas
120(total) = 2.5 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)
Instalación de programas
103(total) = 2 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)
Al resolver este sistema obtenemos:
x = 34, y = 4, z = 18

23. Con Software Scilab obtenemos:

24. 7 ACTIVIDAD USANDO SOFTWARE
Scilab es un software matemático, con un lenguaje de
programación de alto nivel, para cálculo científico,
interactivo de libre uso y disponible en múltiples sistemas
operativos ( Mac OS X, GNU/Linux, Windows). Desarrollado
por INRIA (Institut National de Recherche en Informatique
et en Automatique) y la ENPC (École Nationale des Ponts et
Chaussées) desde 1990, por Scilab Consortium dentro de la
fundación Digiteo desde 2008, Scilab es ahora desarrollado
por Scilab Enterprises desde julio 2012.
La Pagina Oficial es: www.scilab.org

25. Para un mejor entendimiento y uso del programa scilab se
recomienda el análisis del siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=7GOyvg26RGA

26. Dado el siguiente Sistema de Ecuaciones
Simultaneas Homogéneo: Resuelve con el
Software Scilab
𝑥 − 5𝑦 − 7𝑧 = 6
2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 9
4𝑥 − 𝑦 + 9𝑧 = 27
Le damos Nombre a la Matriz (A) y abrimos corchetes en
los cuales se introducen los valores del SHEL separados
por un espacio que indica los elementos del renglón estos
irán separados por el punto y coma (;) que indica el
renglón correspondiente damos Enter

27. Escribimos el Comando rref y posteriormente
introducimos entre paréntesis a la matriz (A)
damos enter.
Para tener la Matriz en forma escalonada
reducida.
Observamos que
obtenemos la solución
trivial.
x= 3
y=-2
z= 1

28. 8. Autoevaluación.
1. La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga la
solución trivial es:
2. Resolver el sistema homogéneo:
a) x= 0, y= 0, z= 0
3. Resolver el sistema homogéneo:
a) Sistema determinado b)Sistema Indeterminado
a) n < m b) n > m c) n > m
b) x= 1, y= 0, z= 0 c) x= 1, y= 0, z= 1

29. 4. Resuelve el siguiente sistema homogéneo
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.
2x + 3y = 1500; x = 0
2x + y = 1000; y = 0
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000
La solución óptima, no es única, se encuentra en un vértice del recinto.
Estas son las soluciones a los sistemas: (0, 500), (300, 0), (475, 250)
𝑥 = −
𝜆
2
𝑥 = −
𝜆
2
𝑥 = 0𝑥 = −
𝜆
2
𝑥 = −
𝜆
2
𝑥 = 𝜆
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto.
Estas son las soluciones a los sistemas: (0, 500), (500, 0), (375, 250)
2x + 3y = 1500; x = 0
2x + y = 1000; y = 0
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000

30. 9. Bibliografía.
• Grossman, Stanley I. (1996). Álgebra Lineal,
Quinta Edición. Editorial Mc. GrawHill.
• Nakos, George, (1999). Algebra Lineal con
Aplicaciones. Editorial International
Publishid Editores