En estas diapositivas se muestra como se obtienen analíticamente las ecuaciones de la elipse y parábola

1. CÓNICAS
Elipse y Parábola
PROFESORES: Brandon Mella
Ramón Bustos

2. Cónicas Definición
 Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a todas las curvas
intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el
vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Dependiendo del
ángulo del plano relativo al cono, la intersección es un círculo, una elipse,
una hipérbola o una parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y
parábola)

3. Elipse
 Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y
un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento del cono.

4. elipse
 Definición geométrica: sean 퐹1 , 퐹2 dos puntos
diferentes del plano y 푘 > 0, 푘 mayor que la
distancia entre 퐹1 y 퐹2.
La elipse de focos 퐹1,퐹2 y eje mayor de longitud 푘,
es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
suma de distancia a 퐹1 y 퐹2 es igual a 푘.
El punto central entre 퐹1 y 퐹2 se llama centro de la
elipse. La recta que pasa por 퐹1 y 퐹2 contiene 2
puntos de la elipse se llaman vértices de la elipse 푣1 y
푣2

5. Elipse
Observacion: se demuestra que la distancia entre
푣1 y 푣2 es 푘, por lo que el segmento 푣1푣2 es el eje
mayor de la elipse.

6. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ) y eje
mayor horizontal
Sean 퐹1(−퐶, 푂) Y 퐹2(퐶, 푂), 퐶 > 0 los focos de la
elipse y sea 푘 = 2푎 la longitud del eje mayor,
con 2푎 > 2푐, es decir, 푎 > 푐.

7. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ) y eje
mayor horizontal
Deducción ecuación:
∀ 푃 푥, 푦 , 푃 푥, 푦 ∈ 푒푙푖푝푠푒 ⇔ 푑 푃, 퐹1 + 푑 푃, 퐹2 = 2푎
⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 + 푥 − 푐 2 + 푦2 = 2푎
⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 = 2푎 − 푥 − 푐 2 + 푦2 , elevamos al cuadrado.
⇔ 푥 + 푐 2 + 푦2 = 4푎2 − 4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 + 푥 − 푐 2 + 푦2
⇔푥2 + 2푥푐 + 푐2 = 4푎2 − 4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 + 푥2 − 2푥푐 + 푐2
⇔4푎 푥 − 푐 2 + 푦2 = 4푎2 − 4xc, multiplicamos por
1
4
y elevamos 2

8. Ecuacion de una elipse con centro (ퟎ, ퟎ) y eje
mayor horizontal
⇔푎2 푥2 − 2푥푐 + 푐2 + 푦2 = 푎4 − 2푎2푥푐 + 푥2푐2
⇔푎2푥2 + 푎2푦2 − 푥2푐2 = 푎4 − 푎2푐2.
⇔푥2(푎2 − 푐2) + 푎2푦2=푎2(푎2 − 푐2), div. Por 푎2(푎2 − 푐2)
Observación como 푎 > 푐 > 0 ⇒ (푎2 − 푐2)> 0
푥2
푎2 +
⇔
푦2
(푎2−푐2)
= 1, luego definimos 푏2=(푎2 − 푐2)
2 2
x y
a b
  
2 2 1, es la ecuacion de elipse con
 
c
centro 0,0 y focos de 2 de distancia.

9. Elipse
 De forma similar se demuestra la ecuación elipse
con centro C 0,0 y eje mayor vertical. además
mostramos le caso anterior eje mayor horizontal.

10. Ecuacion de una elipse con centro en 퐂 풉, 풌 y el eje
mayor horizontal
Los vertices y focos son respestivamente.
( , ), ( , )
( , ), ( , ).
    2 2
x h y k
a b
 
  
v h a k v h a k
F h c k F h c k
2 2 1,
1 2
1 2
Ecuacion de una elipse con centro en 퐂 풉, 풌 y el eje
mayor vertical
    2 2
x h y k
b a
 
  
Los vertices y focos son respestivamente.
( , ), ( , )
( , ), ( , ).
2 2 1,
 
 
v h k a v h k a
F h k c F h k c
 
 
1 2
1 2

11. Ecuación general elipse
Observación: la ecuación de cualquier elipse con ejes
de simetría paralelos a los ejes coordenados es de la
forma general.
퐴푥2 + B푦2 + Cx + Dy + E = 0,
Con 퐴, 퐵, 퐶, 퐷, 퐸 ∈ ℝ fijos y 퐴B >0, A≠B(ambos
negativos o positivos). Recíprocamente toda ecuación
de esta forma con las condiciones mencionadas
representa una elipse con ejes de simetría paralelos a
los ejes coordenados o una elipse
degenerada(∅(negativa) o un punto(푥 = ℎ ∧ 푥 = 푘)).

12. Ejemplo: determine todos los elementos de la elipse.
1. 3푥2 + 4푦2 + 6푥 − 12푦 + 10 = 0
Solución: 3≠4 y ambos positivos es elipse.
3 푥2 + 2푥 + 1 + 4 푦2 − 3푦 +
9
4
= −10 + 3 + 9
3 푥 + 1 2 + 4 푦 −
3
2
2
= 2 , dividimos por 2
3 푥 + 1 2
2
+ 2 푦 −
3
2
2
= 1
푥 + 1 2
2
3
+
푦 −
3
2
2
1
2
Continua próxima diapositiva.

13. Ejemplo: determine todos los elementos de la
elipse
Como
2
3
>
1
2
⇒
2
3
= 푎2 por tanto horizontal. luego el
centro −1,
3
2
y eje mayor horizontal.
2
3
푎2=
⇒ 푎=
2
3
, 푏2=
1
2
⇒ b=
1
2
=
2
2
.
2
3
Entonces 푐2=푎2-푏2=
−
1
2
=
1
6
⇒푐 = ±
1
6
=±
6
6
Finalmente los focos y vértices son los siguientes.
   
2 3 2 3
v h a k v h a k v v
( , ), ( , ) 1 , , 1 ,
            
1 2 1 2
3 2 3 2
1 3 1 3
   
   
F h c k F h c k F F
( , ), ( , ) 1 , , 1 ,
        
1 2 1 2
6 2 6 2
   

14. Parábola
 Una parábola es una curva abierta, producida por la intersección
de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento
del cono.

15. PARÁBOLA:
Lugar geométrico de los puntos que
equidistan de un punto llamado foco
y de una recta llamada directriz.

16. Concepto previo «distancia de un
punto a una recta»
Ya sabemos calcular la distancia entre puntos de la
unidad 1, ahora para poder deducir la ecuación de
la parábola es necesario saber obtener la «distancia
de un punto a una recta»

17. Distancia de un Punto a una recta
Sea 푙 una recta de ecuación 푎푥 + 푏푦 + 푐 = 0, con
푎, 푏 푦 푐 ∈ ℝ , 푎 ≠ 0 ∨ 푏 ≠0 y sea 푃0 = (푥0, 푦0)
un punto que no pertenece a 푙.
Si 푑 푃0, 푙 se denota la distancia de 푃0 a 푙.
Se demuestra que 푑 푃0, 푙 .
푑 푃0, 푙 =
푎푥0+푏푦0+푐
푎2+푏2

18. Ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) , eje
de simetría vertical y Foco de la parabola
푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄
d(P, F)  d(P, l)
Los puntos de la parábola
cumplen:

19. Deducción ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) ,
eje de simetría vertical y Foco de la parábola
푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄
 Entoces ∀ 푃 푥, 푦 , 푃 푥, 푦 ∈ parábola
⇔푑 푃, 퐹 = 푑 푃, 푙 (la condición).
⇔ 푥2 + 푦 − 푐 2=
푦+푐
0+12 (distancia Punto a recta )
⇔ 푥2 + 푦 − 푐 2= 푦 + 푐 ( eleva cuadrado ambos +)
⇔푥2+푦2 − 2yc + 푐2=푦2 + 2yc + 푐2 (cancelamos)
continuamos próxima diapositiva……

20. Deducción ecuación de la parábola con vertice 푉(0,0) ,
eje de simetría vertical y Foco de la parábola
푭 ퟎ, 푪 , 푪 ≠ ퟎ y 풍 ∶ 풚 = −풄
Continuemos.
2
cy x
cy x
x
   
 
4 / multiplicamos por -1
4
2
2
(finalmente lo que buscabamos)
 
4
y
c

21. La parábola en otros casos

22. Ecuacion de una parábola con vértice en
V 풉, 풌 풚 풆풋풆 풅풆 풔풊풎풆풕풓풊풂.
1) Vertical.
푦−k =
푥−ℎ 2
4푐
,
Donde 푐 es la distancia entre el vértice y el
foco o entre el vértice y la directriz.
2) Horizontal.
푥 − ℎ =
푦−푘 2
4푐

23. Ecuación general de una
parábola
 La ecuación de cualquier parábola con ejes de
simetría paralelos a uno de los ejes coordenados es
de la forma general.
퐴푥2 + B푦2 + Cx + Dy + E = 0,
Con 퐴, 퐵, 퐶, 퐷, 퐸 ∈ ℝ fijos y 퐴=0 o bien 퐵=0.
Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior
con 퐴 = 0 o bien 퐵=0 representa una parábola en el
plano con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes
coordenados o una parábola degenerada(vacia, una
recta o la unión de dos rectas)

24. Ejemplos: determine todos los
elementos de la parábola
1. 3푥2 + 6푥 + 5푦 − 8 = 0.
Solución. 3 푥2 + 2x + 1 = −5y + 8 + 3
3 푥 + 1 2 = −5(푦 −
11
5
)
푦 −
11
5
= −
3
5
푥 + 1 2
푦 −
11
5
=
푥 + 1 2
−
5
3
Continua próxima diapositiva.

25. Ejemplos: determine todos los elementos
de la parábola
Continuación solución, cuando la parábola es de la
forma .
푦−k =
푥−ℎ 2
4푐
. Eje de simetría Vertical .
Comparando con lo obtenido.
푦 −
11
5
=
푥+1 2
−
5
3
, Se obtiene el vértice ℎ, 푘 , es
−1,
11
5
, como 4푐 = −
5
3
, luego 푐 = −
5
12
.
퐹(−1,
11
5
−
5
12
=
107
60
) , Bisectriz: 푦 =
11
5
+ 푐 =
157
60

26. Ejemplos: determine todos los elementos
de la parábola
2) 5푦2 + 3푥 − 25푦 + 10 = 0.
Solución: 5푦2 − 25푦 = −3푥 − 10
5 푦2 − 5y +
25
4
= −3x − 10 +
125
4
5 푦 −
5
2
2
= −3푥 +
85
4
5 푦 −
5
2
2
= −3(x −
85
12
)
Continua próxima diapositiva…..

27. Ejemplos: determine todos los elementos
de la parábola
푥 −
85
12
= −
5
3
푦 −
5
2
2
푥 −
85
12
=
푦 −
5
2
2
−
3
5
Notamos que la ecuación es de la forma ;con eje de
simetría Horizontal.
푥 − ℎ =
푦−푘 2
4푐
, continua prox. Diapositiva.

28. Ejemplos: determine todos los elementos
de la parábola
V h k V

85 5
El vertice es ( , ) , y su eje de
12 2
simetria horizontal y se habre hacia la izquierda.
3 3 5
c c y
4 , eje de simetria
5 20 2
85 3 5 104 5
F F
foco , ,
12 20 2 15 2
85
y la directriz es:
 
   
 1

x
 
   
 
     
   
     
   

3 217
2 20 30