1. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año
PROPÓSITO 12: INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Inecuación
Es una expresión matemática que contiene números y al menos una variables, en la que hay se establece
relación de desigualdad entre sus miembros. Es decir, una inecuación es una desigualdad algebraica.
Por ejemplo:
• 324 <−m Es una inecuación (con una variable)
• 7)29(8 −>+ No es una inecuación, es una desigualdad (porque no tiene variables)
• kx +−≥ 3525 Es una inecuación (con dos variables)
• hmy 83
5
2
−< Es una inecuación (con tres variables)
• 4824 <=p No es válido
•
2
1
53 +−=− yx No es una inecuación, es una ecuación (porque tiene signo de igualdad)
• 393 2
≤−+ xx Es una inecuación (de segundo grado con una variable)
• k
7
4
35 ≠ No es una inecuación (porque tiene signo de diferencia)
• a>− 2 Es una inecuación (con una variable)
Inecuación de primer grado con una incógnita
Es una desigualdad algebraica que contiene sólo una variable cuyo grado es uno (con exponente uno), y
tiene la forma:
0>+ bax
Observación: el número a siempre es un valor que está multiplicando a la variable y el número b es un
valor que suma (algebraicamente: suma o resta) de la variable.
Coeficiente
(nunca puede ser cero)
Variable
(cualquier letra)
Signo de desigualdad
(<, >, ≤, ≥)
Término independiente

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Ejemplos:
• 2355 +−≥− x Es una inecuación de primer grado con una incógnita
Ordenada de la forma básica quedaría: 7350 +−≥ x donde a=-35 y b=7
• m4
3
11
3
11
+≤ Es una inecuación de primer grado con una incógnita
Ordenada de la forma básica quedaría:
3
11
4
3
11
0 −+≤ m m40 ≤
donde a=4 y b=0
•
6
5
2
<y
Es una inecuación de primer grado con una incógnita
Ordenada de la forma básica quedaría: 06
5
2
<−y donde a=2/5 y b=-6
• pp 43 < Es una inecuación de primer grado con una incógnita
Ordenada de la forma básica quedaría: 043 <− pp 0<− p
donde a=-1 y b=0
•
yy
2
4
2 −=−
No es una inecuación
•
kk
2
4
−≥−
Es una inecuación de primer grado con una incógnita
Ordenada de la forma básica quedaría: kk
2
4
−≥− 02 ≥+− kk
∴ 0≥k donde a=1 y b=0
Solución de una inecuación
Es un intervalo (o más) de la Recta Real cuyos elementos (números reales) hacen que la relación de
desigualdad se cumpla.
¿Cómo hallar la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita?
El proceso para resolver una inecuación se parece al proceso que se utiliza para resolver ecuaciones. Lo que
se requiere es “despejar la variable”.

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Por ejemplo:
3
2
5
>+x
2
5
3−>x
2
1
>x
El resultado obtenido al resolver indica que la solución (S) a la ecuación son todos los números (x) mayores
que ½. Por lo tanto:






∞= ;
2
1
S
Importante:
Además de todas las normas y pasos del despeje, en inecuación agregamos uno más:
Si se quiere despejar un número negativo que está multiplicando o dividiendo, al ser despejado el sentido
de la desigualdad cambia. Es decir, se invierte el signo de desigualdad.
Por ejemplo:
795 ≥+− m
975 −≥− m
5
2
−
−
≤m
5
2
≤m






∞−=
5
2
;S
Inecuación dada
La fracción se pasó al
miembro derecho, restando
Resolviendo la suma (algebraica)
Escribiendo el resultado como intervalo
Inecuación dada
El término que no contiene a la variable pasa al
segundo miembro, restando
El coeficiente (-5) pasó de multiplicar en el primer
miembro, a dividir en el segundo miembro
Como el número que se despejó era
negativo y estaba multiplicando,
“el sentido de la desigualdad cambió”
El resultado es el intervalo de todos los números
menores o iguales que 2/5
Escribiendo el resultado como intervalo

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Tipos de inecuaciones de primer grado con una incógnita y su proceso de solución
1. Inecuación simple: es una inecuación que contiene un solo signo de desigualdad.
Procedimiento de solución:
• Despejar la variable
• Expresar el conjunto solución como intervalo
• Representar gráficamente la solución
Ejercicio resuelto: Resolver la inecuación 6
3
2
4 −≤+− x
Solución
6
3
2
4 −≤+− x
3
2
64 −−≤− x
3
20
4 −≤− x
4
3
20
−
−
≥x
12
20
−
−
≤x
3
5
≤x





∞−=
3
5
;S
Gráfica
Inecuación dada
Resolviendo la suma (algebraica)
El término que no contiene a la variable pasa al
segundo miembro, restando
Despejando el coeficiente (-4)
La desigualdad cambió de sentido
Resolviendo la división de fracciones
Simplificando
Conjunto solución

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2. Inecuación doble: es una inecuación que tiene dos signos de desigualdad
Procedimiento de solución:
• Separar la inecuación en dos inecuaciones simples. Del centro a la izquierda (inecuación 1) y
del centro a la derecha (inecuación 2)
• Resolver cada inecuación simple por separado, expresando el conjunto solución como
intervalo en cada una (S1 y S2)
• Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección de las
soluciones parciales.
• Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de los dos
intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ambos.
Ejercicio resuelto: Hallar la solución de xx 5
4
6
534 −≤+−<−
Solución
Separación en inecuaciones simples xx 5
4
6
534 −≤+−<−
Parte I
534 +−<− x
x354 −<−−
x>
−
−
3
9
x>3
3<x
( )3;1 ∞−=S
Parte II
xx 5
4
6
53 −≤+−
5
4
6
53 −≤+− xx
4
14
2 −≤x
2
4
14
−
≤x
8
14
−≤x
4
7
−≤x






−∞−=
4
7
;2S
Parte I
Parte II

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Solución general
( )3;1 ∞−=S






−∞−=
4
7
;2S
Analítica





−∞−=
4
7
;21 SS I
Gráfica
3. Inecuación con valor absoluto: es una inecuación cuya variable está dentro de las barras de valor
absoluto.
Procedimiento de solución:
• Separar la inecuación en dos inecuaciones simples, una positiva y otra negativa.
Parte positiva: escrita como fue dada, sin las barras de valor absoluto.
Parte negativa: escrita con valor negativo en uno de sus miembros y cambiando el sentido
de la desigualdad.
• Resolver cada inecuación simple por separado, expresando el conjunto solución como
intervalo en cada una (S1 y S2)
• Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección o unión de las
soluciones parciales.
Se hace intersección: cuando la el valor absoluto es < o ≤
Se hace unión: cuando la el valor absoluto es > o ≥
• Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de los dos
intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ambos.
NOTA: el proceso es semejante a una inecuación doble, sólo que la separación se hace en “parte
positiva” y “parte negativa”

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Ejercicio resuelto 1: Determinar la solución de 84
5
4
>− x
Solución
Parte positiva
84
5
4
>− x
5
4
84 −>− x
5
36
4 >− x
4
5
36
−
<x
20
36
−<x
5
8
−<x






−∞−=
5
8
;1S
Parte negativa
84
5
4
−<− x
5
4
84 −−<− x
5
44
4 −<− x
4
5
44
−
−
>x
20
44
−
−
>x
5
11
>x






∞= ;
5
11
2S
Solución general






−∞−=
5
8
;1S






∞= ;
5
11
2S
Analítica






∞





−∞−= ;
5
11
5
8
;21 UU SS

8. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año
Gráfica
Ejercicio resuelto 2: Hallar la solución de la inecuación 51
3
2
≤+− x
Solución
Parte positiva
51
3
2
≤+− x
15
3
2
−≤− x
3
2
1
4
−
≥x
2
12
−≥x
6−≥x
)[ ∞−= ;61S
Parte negativa
51
3
2
−≥+− x
15
3
2
−−≥− x
6
3
2
−≥− x
3
2
1
6
−
−
≤x
2
18
−
−
≤x
9≤x
]( 9;2 ∞−=S
∞→

9. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año
Solución general
)[ ∞−= ;61S
]( 9;2 ∞−=S
Analítica
][ 9;621 −=SS I
Gráfica
4. Sistema de inecuaciones: es el conjunto formado por dos o más inecuaciones de primer grado.
La solución de un sistema de inecuaciones lineales es un intervalo (o más) que permiten que todas
las inecuaciones del sistema sean válidas simultáneamente.
Procedimiento de solución:
• Resolver cada inecuación simple por separado, expresando el conjunto solución como
intervalo en cada una (S1, S2, S3…)
• Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección de las
soluciones parciales.
• Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de todos los
intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ellos.
NOTA: cuando, al resolver un sistema de inecuaciones lineales, el resultado de la intersección de las
soluciones parciales sea un conjunto vacío (φ ) significa que el sistema no tiene solución.
Ejercicio resuelto 1: Hallar la solución del sistema




+≥−
>
+−
4511
3
6
52
x
x

10. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año
Solución
Inecuación 1
3
6
52
>
+− x
6.352 >+− x
2185 +>x
5
20
>x
4>x
( )∞= ;41S
Inecuación 2
4511 +≥− x
x5411 ≥−−
x515 ≥−
x≥−
5
15
x≥−3
3−≤x
]( 3;2 −∞−=S
Solución general
( )∞= ;41S
]( 3;2 −∞−=S
Analítica
]( 3;421 −=SS I No es coherente. Este intervalo no existe
φ=∴S y el sistema de inecuaciones lineales no tiene solución
Gráfica

11. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año
Ejercicio resuelto 2: Hallar la solución del sistema






+
≥+
−≤
6
45
1
2
3
4
x
x
x
Solución
Inecuación 1
x−≤ 2
3
4
x−≤− 2
3
4
x−≤−
3
2
x≥
3
2






∞−=
3
2
;1S
Inecuación 2
6
45
1
+
≥+
x
x
( ) 4516 +≥+ xx
4566 +≥+ xx
6456 −≥− xx
2−≥x
)[ ∞−= ;22S
Solución general






∞−=
3
2
;1S
)[ ∞−= ;22S
Analítica






−=
3
2
;221 SS I
Gráfica
(-1) (-1)