Este documento presenta nociones básicas de geometría. Define términos como proposición, axioma, teorema, corolario y lema. Explica elementos geométricos como el punto, la recta y el plano. Describe ángulos, triángulos y sus elementos, incluyendo clasificaciones, teoremas y propiedades. También cubre conceptos como congruencia de triángulos.

1. GEOMETRÍA
Prof. Widman Gutiérrez R
NOCIONES BÁSICAS
PROPOSICIÓN: Enuncia una verdad demostrada o
por demostrar. Toda proposición tiene un solo valor
lógico: o es verdadero (V) o es falso (F).
AXIOMA: Proposición evidente por sí misma que no
necesita demostración.
POSTULADO: Es una proposición evidente que sin
tener la evidencia del axioma se acepta sin
demostración.
TEOREMA: Es una proposición que para ser
evidente requiere ser demostrada; tiene dos partes:
• Hipótesis: Es lo que se plantea para la
demostración del teorema.
• Tesis: Es la demostración del teorema.
COROLARIO: Es una consecuencia deducida de un
teorema ya demostrado.
LEMA: Es una proposición que sirve de base para la
demostración de un teorema.
ESCOLIO: Es una proposición que sirve para aclarar,
restringir o ampliar alguna proposición.
PROBLEMA: Enunciado en el cual se pide hallar una
cantidad o construir una figura geométrica según
condiciones dadas.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA
EL PUNTO: Es la mínima representación geométrica
de cualquier figura geométrica. El punto no tiene
dimensiones, por lo tanto no existe en la
naturaleza; pero sí en el pensamiento humano.
LA RECTA: Es una sucesión infinita de puntos que
siguen una misma dirección y que es ilimitada en
ambos sentidos.
EL PLANO: Es una superficie llana, lisa, sin espesor
que es ilimitada en todo sentido.
MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE
Para “n” rectas secantes
Para “n” circunferencias secantes
Para “n” triángulos secantes
Para “n” cuadriláteros secantes
EN GENERAL
Para “n” polígonos CONVEXOS de “l” lados
= ( − )
Para dos polígonos CONVEXOS de diferente
número de lados:
Observación:
Para “n” figuras cualesquiera de la misma especie
(convexa o no convexa), el Máximo Número de
Puntos de Corte es:
Donde: k es el MNPC de 2 de dichas figuras.
FÓRMULA GENERAL DE COMBINACIÓN
El máximo número de puntos de corte originado
por la combinación de 2 grupos de figuras
diferentes se calcular con la siguiente expresión:
SEGMENTOS
Conjunto de puntos pertenecientes a una línea
recta limitados por dos puntos denominados
extremos.
Q
Polígono de mayor
# de lados: “m”
Polígono de menor
# de lados: “n”
= ∙ ∙
k = máximo número de puntos de corte
de solo 2 figuras (1 de cada grupo).
m = # de figuras del primer grupo.
n = # de figuras del segundo grupo
A, B : Extremos
AB : Segmento AB
L
= 4 ( − 1)
=
( − 1)
2
=
( − 1)
2
= 2
= 3 ( − 1)
= ( − 1)
A B

2. GEOMETRÍA
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B
OC A
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Punto que divide a un segmento en dos segmentos
congruentes; es decir, dicho punto lo divide por la
mitad.
OPERACIONES CON SEGMENTOS
ADICIÓN
+ =
SUSTRACCIÓN
− =
Observaciones:
Sobre una recta real R se tienen los puntos A y B
cuyas coordenadas son “a” y “b” respectivamente,
entonces se cumple:
• Las coordenadas del punto medio del segmento
AB viene dado por:
• La medida del segmento AB es igual a:
ÁNGULOS
Es la abertura que forma dos rayos que tienen el
mismo origen.
Lados: y
Vertice:
Notación:
∡ " ; ∡"; "#
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Los angulos se clasifcan según su medida, según sus
caracteristicas y según la posicion de sus lados.
SEGÚN SU MEDIDA
ÁNGULO NULO
Angulo cuya medida es igual a $%, su representación
son rayos que están superpuestos.
ÁNGULOS CONVEXOS
Ángulo cuya mediad es mayor Oº y menor a 180º, es
decir su medida varía entre (&º < ) < *$º)
Ángulo Agudo
Su medida es menor
que 90º
Ángulo Recto
Su medida es igual a
90º
Ángulo Obtuso
Su medida es mayor
que 90º, pero menor
que180º
ÁNGULO LLANO
La medida del angulo llano es igual a180º
+∡ = *$%
ÁNGULO NO CONVEXO O CÓNCAVO
Ángulo cuya mediad es mayor 180º y menor a 360º,
es decir su medida varía entre ( *$º < , < -.$º)
ÁNGULO DE UNA VUELTA
La medida del angulo de una vuelta es igual a
360º
SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS
COMPLEMENTARIOS
Son dos angulos cuya
suma resultante es /$%
0, = /$ − , = )
SUPLEMENTARIOS
Son dos ángulos cuya
suma resultante es
*$$
1, = *$ − , = )
= =
2A M B
P Q R
AB b a= −= −= −= −
a b
M
2
++++
====
A B C
B
O
A
B
O A
∡ " = 904
B
O
A
∡ " < 904
B
O
A
904
< ∡ " < 1804
B
O
A
BO A
∡ " = 04
B
O A
1804 < ∡ " < 3604
BO A
∡ " = 3604
B
O
A
C

3. GEOMETRÍA
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B
OD A
7
C
B
OC A
B
O
E
A
8
C
D
7
9
SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS
ANGULOS CONSECUTIVO
Dos o mas angulos son consecutivos cuando cada
uno de ellos tienen el mismo vértice un lado común
con su inmediato
C. A UN MISMO LADO
DE UNA RECTA
, + ) + : = *$ ANGULOS ADYACENTES
C. ALREDEDOR DE UN
PUNTO
, + ) + ; + ∅ + : = -.$
OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son dos angulos determinados al trazar dos rectas
secantes, dichos angulos son conguentes
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS
PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE
L1 // L2; L3: Recta secante
ÁNGULOS ALTERNOS
INTERNOS
∡= > ∡ → ∡= = ∡
∡ > ∡@ → ∡ = ∡@
EXTERNOS
∡ > ∡A → ∡ = ∡A
∡B > ∡C → ∡B = ∡C
Los ángulos alternos son congruentes
ANGULOS CONJUGADOS
INTERNOS
∡ > ∡= → ∡ + ∡= = 180
∡ > ∡@ → ∡ + ∡@ = 180
EXTERNOS
∡ > ∡C → ∡ + ∡C = 180
∡B > ∡A → ∡B + ∡A = 180
Los ángulos son suplementarios
ANGULOS CORRESPONDIENTES
∡ D ∡E → ∡ = ∡E
∡ D ∡F → ∡ = ∡F
∡G D ∡H → ∡G = ∡H
∡0 D ∡I → ∡0 = ∡I
Los ángulos son congruentes
PROPIEDADES ADICIONALES
Si: //K
Si: //K
+ = 180
A
B C
D
E
F G
H
LM
LN
EXTERNO
INTERNO
EXTERNO

4. GEOMETRÍA
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A C
B
8
+ + 8 = 180O
A
C
B
8
8 P
8P
A
C
B
P 360O
P
Q
8
RS: U V Q V W
→ V V 8
U
W
Q
Q W ( U ( Q W
U W ( Q ( U W
U Q ( W ( U Q
U
W
ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PARALELOS
ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS
PERPENDICULARES
TRIÁNGULOS
Polígono de tres lados
ELEMENTOS
TEOREMAS FUNDAMENTALES
En todo triangulo la suma de las medidas de sus
ángulos interiores es 0
180
En todo triangulo la medida de un ángulo exterior
es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes a el
En todo triangulo la suma de las medidas de sus
ángulos exteriores es 0
360
En todo triangulo se cumple que a mayor lado se le
opone mayor ángulo y viceversa, también diremos
que a mayor lado su altura relativa es menor
POSTULADO DE LA EXISTENCIA DEL TRIANGULO
En todo triangulo la longitud de uno de sus lados
esta comprendida entre la suma y la diferencia de
las longitudes de los otros dos lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
POR SUS LADOS
TRIÁNGULO ESCALENO
Posee sus tres lados
desiguales y por
consiguiente sus tres
ángulos interiores son
diferentes
TRIÁNGULO ISÓSCELES
Posee dos de sus lados
iguales y por
consiguiente los
ángulos opuestos a
ellos son iguales.
A, B, C: Vértices
a, b, c : Lados
α, β, θ : Ángulos Internos
δ, γ, ω : Ángulos externos
B
A
C
ac
b
α
β
θ
δ
γ
ω
8

5. GEOMETRÍA
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TRIÁNGULO EQUILÁTERO
El triángulo equilátero
posee sus tres lados
iguales y cada ángulo
interior es 60º
POR SUS ÁNGULOS
TRIÁNGULO
ACUTÁNGULO
Posee sus tres ángulos
interiores agudos
(menores que 90º )
TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
Posee un ángulo
interior recto (mide
90º)
TRIÁNGULO
OBTUSÁNGULO
Posee un ángulo
interior obtuso (mayor
de 90º)”α” es obtuso.
NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO
La naturaleza de un triangulo nos sirve para
averiguar el tipo de triangulo según sus ángulos.
Si consideramos: X > Y > Z
Si: X[
> Y[
> Z[
Si: X[
< Y[
+ Z[
Si: X[
= Y[
+ Z[
Δ Obtusángulo
Δ Acutángulo
Δ Rectángulo
LINEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
ALTURA
Es el segmento que parte de un vértice y llega
perpendicularmente al lado opuesto o su
prolongación
MEDIANA
Es el segmento que une el punto medio de uno de
los lados con el vértice opuesto
MEDIATRIZ
Es la línea recta perpendicular en el punto medio
de un lado cualesquiera
BISECTRIZ
Es el segmento que biseca al ángulo de referencia,
se tiene bisectrices interiores y bisectrices
exteriores.
PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
ORTOCENTRO
Punto de intersección de las tres alturas.
BARICENTRO
Punto de intersección de las tres medianas
CIRCUNCENTRO
Punto de intersección de tres mediatrices
O
G
2b
2c
c2a
ab
C
α
α
β
β
60º 60º
60º
8
α

6. GEOMETRÍA
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INCENTRO
Punto de intersección de las tres bisectrices I
EXCENTRO
Punto de intersección de dos bisectrices exteriores
y una bisectriz interior
CASOS PARTICULARES
TRIÁNGULO ISÓSCELES
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES
ÁNGULO FORMADO POR 2 BISECTRICES
INTERIORES
ÁNGULO FORMADO POR 2 BISECTRICES
EXTERIORES
ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR
Y UNA BISECTRIZ EXTERIOR
ÁNGULO FORMADO POR LA ALTURA Y LA
BISECTRIZ
ÁNGULO FORMADO POR LA ALTURA Y LA
MEDIANA TRAZADOS DESDE EL ÁNGULO RECTO
ÁNGULO FORMADO POR LA BISECTRIZ Y LA
MEDIANA TRAZADOS DESDE EL ÁNGULO RECTO
ÁNGULO FORMADO POR LA BISECTRIZ Y LA
MEDIANA TRAZADOS DESDE EL ÁNGULO RECTO
I
E
Altura
Mediana
Mediatriz
Bisectriz
@^^^^
30
30
30
α
30
30
30
O
Ortocentro
Baricentro
Circuncentro
Incentro
O
O
G
C
a
2a
3a3a
O: Ortocentro
G: Baricentro
C: Circuncentro
A
B
C
β
α
H
β
α

7. GEOMETRÍA
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PROPIEDADES ADICIONALES
PROPIEDAD 1
PROPIEDAD 2
PROPIEDAD 3
PROPIEDAD 4
PROPIEDAD 5
PROPIEDAD 6
PROPIEDAD 7
PROPIEDAD 8
PROPIEDAD 9
PROPIEDAD 10
PROPIEDAD 11
PROPIEDAD 12
PROPIEDAD 13
β

8. GEOMETRÍA
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PROPIEDAD 14
PROPIEDAD 15
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 45º
TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 30º Y 60º
TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 37º Y 53º
TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 16º Y 74º
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes si tienen igual
forma e igual tamaño. Es decir sus ángulos
interiores de igual medida y sus lados opuestos de
igual longitud respectivamente.
Dados dos triángulos y .
Si: ^^^^ ≅ ^^^^; ^^^^ ≅ ^^^^; ^^^^ ≅ ^^^^
↔ ≅ ; ↔ ≅ ; ↔ ≅
→ Δ ≅ Δ
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
CASO ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)
Dos triángulos son congruentes, si tienen
congruentes un lado y los ángulos adyacentes a él.
→ Δ ≅ Δ
CASO LAL (Ángulo-Lado-Ángulo)
Dos triángulos son congruentes, si tienen
congruentes dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos.
→ Δ ≅ Δ
CASO LLL (Lado-Lado-Lado)
Dos triángulos con congruentes si tienen sus tres
lados congruentes respectivamente.
→ Δ ≅ Δ