1. 1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1. Sabiendo que: x + y + z = 61 ; Calcular: E = xºy’ + yºz’ + zºx’
A) 61º2’ B) 61º51’ C) 62º2’ D) 62º1’ E) 60º2’
SOLUCIÓN
Recordar: 61´ = 1° + 1´
Según los datos:
xºy’ +
yºz’
zºx’
62° 1´ RESPUESTA D
2. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: ´´´. ZYXrad 
32

; Calcular x XZY 5
A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6
SOLUCIÓN
Recordar:
0
360060







cb
acbacba ´´´º´´´º
Convirtiendo en un solo sistema





 


 180
32
´´´ ZYX
 6255
8
45
,´´´ ZYX ⇒ 𝑋°𝑌′
𝑍′′
= 5°37′30
𝑋 = 5 , 𝑌 = 37 𝑦 𝑍 = 30
Reemplazando:
x XZY 5 = √37 − 30 + 5 ∗ 5
5
= √32
5
= 2 RESPUESTA A
3. Halle “C” a partir de la ecuación:
     

6 7
8 5 6 7S C 20
R 4 S C R
9 10
Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un
mismo ángulo.
A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10
RESOLUCIÓN
S = 180 K
Sabemos C = 200 K =?
R =  K

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Condición:
     

5 6 7 5 6 7
20K 20K 20K
S C 20
S C R R 4 S C R
9 10
5 1
20k (S5
+C6
R7
) = 4 (S5
+ C6
R7
)
k =
1
5
 C 40 RPTA.: C
4. A partir del gráfico mostrado, determine la medida del ángulo AOB, si “” toma su
mínimo valor.
A) 52g
B) 30º C) 45g
D) 45º E) 135º
RESOLUCIÓN
 = ?
          
g
g 10
10 ² 10 40 45 9 º
9º
²  10 + 40 =   5
( + 5)² + 15 =   5
( + 5)² =   20
  20  0   = 20 (mínimo)
(45 9)º = (9  45)º
= (180  45)º
= 135º
  = 45º
5. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema de medición angular cuya unidad es “un grado C”
(1c). Si el ángulo recto mide 40c. Hallar la suma de los ángulos internos de un pentágono.
A) 80c B) 160c C) 200c D) 240c
E) 320c
SOLUCIÓN
Recordar:
 Suma de ángulos internos de un polígono:𝑆 = 180°(𝑛 − 2) ⇒ 𝑆 = 180°(5 − 2)
𝑆 = 180°. 3 = 540°
Según los datos
90° = 40 𝑐
… (*6)
540° = 240 𝑐
RESPUESTA D
o
AB
C D
    
g
10 ² 10 40  45 9 º

   45 9 º

3. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
6. Si:
Calcular: a + b + c
A) 9 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24
SOLUCIÓN
Un número centesimal es múltiplo de 10
∴
⇒ 𝑥 = 0
210 𝑔
= 189° = 𝑎𝑏𝑐° ⇒ 𝑎 = 1 ; 𝑏 = 8 𝑦 𝑐 = 9
∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 18 RESPUESTA C
7. Se inventan 2 sistemas de medición angular “x” e “y”, tal que: 25x
< > 50g
,
además 80y
< > 90º.
Determinar la relación de conversión entre estos 2 sistemas x/y.
A)
3
8
B)
5
8
C)
7
8
D)
9
8
E)
11
8
RESOLUCIÓN
1x
= 2g
8y
= 9º
ºx g
y º g
x
y
x y
1 2 9
8 9 10
1 1
8 5
5 8 Relación de Sistemas
 
   
 

 
x y x 5
5 8 y 8
   RPTA.: B
8. Dos ángulos cuyas medidas son x e y son tales que (𝑥 − 1)(𝑦 − 1)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ radianes equivale a (𝑥 + 𝑦)
grados sexagesimales, además (180x-180y) grados sexagesimales equivale a 1980 radianes.
Cuando x e y están en grados centesimales, entonces
𝑦
𝑥
será igual a:
a)
𝜋
90
b) −10 + 𝜋 c) −10 +
𝜋
90
d)-10 e)
𝜋
10
9. Si las raíces de una ecuación cuadrática: 02
 cbxax , son los números de grados
sexagesimales y centesimales de un ángulo . Entonces el número de radianes de dicho ángulo
solamente en términos de b y c es:
A)
1
19
1800 






b
c

B) bc19 C)
1
19800
19 






b
c
D)
1
1800
19








c
b
E) 





b
c
19
SOLUCIÓN
Recordar:
 La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: 𝑥2
− 𝑆𝑢𝑥 + 𝑃 = 0 y las propiedades de
suma y producto de raíces
  
g o
x 2 x 1 x abc  

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 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo
𝑆𝑢 = 𝑆 + 𝐶 = −
𝑏
𝑎
⇒ 19𝑘 = −
𝑏
𝑎
…(1)
𝑃 = 𝑆. 𝐶 =
𝑐
𝑎
⇒ 90𝐾2
=
𝑐
𝑎
……….. (2)
Dividiendo (2): (1)
90𝐾
19
= −
𝑐
𝑏
⇒ 𝐾 = −
19𝑐
90𝑏
Calculando 𝑅 =
𝜋
20
(−
19𝑐
90𝑏
) = −
19𝜋
1800
(
𝑏
𝑐
)
−1
RESPUESTA D
10. La suma de dos ángulos está dada por la siguiente igualdad:      111 baba g
Hallar dichos ángulos en el sistema sexagesimal si su diferencia es ba
A) 25° y 40° B) 45° y 27° C)40° y 38° D) 20° y 45° E) 10° y 25°
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2009 II)
SOLUCIÓN
Según la expresión      111 baba g
, por ser una equivalencia de un centesimal y
sexagesimal, entonces el número en centesimal debe ser múltiplo de diez y el número
sexagesimal múltiplo de 9.
b = 1 y a = 8
 7280 g
⇒ 𝑥 − 𝑦 = 18°
La diferencia entre los ángulos tiene que ser 18° ∴ 𝑥 = 45° 𝑒 𝑦 = 27° RESPUESTA B
11. Si los ángulos congruentes de un triángulo isósceles miden (6x)g
y (5x+4)° , entonces el
complemento de la medida del tercer ángulo en el sistema radial es a:
a) rad
10

b) rad
5

c) rad
12

d) rad
20

e) rad
8

12. Calcular la medida de un ángulo en radianes desde “S” y “C” son los números de grados
sexagesimales y centesimales respectivamente y cumplen:
S = (x + 3) (x - 2)............ (i)
C = (x + 2) (x -1)............ (ii)
A)   B)  C)   D)  E) 
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Según los datos tenemos:
𝑆
𝐶
=
9
10
=
𝑥2+𝑥−6
𝑥2+𝑥−2
9(𝑥2
+ 𝑥 − 2) = 10(𝑥2
+ 𝑥 − 6)
𝑥2
+ 𝑥 − 42 = 0
(𝑥 − 6)(𝑥 + 7) = 0
𝑥 = 6 ∨ 𝑥 = −7 ⇒ 𝑥 = 6
Calculando 𝑆 = (6 + 3)(6 − 2)°

5. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
5 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
S= 54°⇒ 𝑅 = 36° (
𝜋
180°
) =
𝜋
5
RESPUESTA E
13. Si se cumple :
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

donde S, C y R son las medidas usuales del mismo ángulo; entonces R es igual a:
A) rad
120

B) rad
60

C) rad
40

D) rad
30

E) rad
120
5
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)
SOLUCIÓN
Recordar:
  222
2 bababa 
Agrupando, tenemos:
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

   2
222
2
222
23
12 RCS
RCS
RCS
RCS
RCS
RCS
R 














5
12

R

60

R RESPUESTA B
14. Si a y b son dos números reales positivos hallar el máximo número de radianes de un ángulo
que satisface la siguiente igualdad: 22
22
)()(
)()(
baba
baba
SC



Si: S y C son lo conocido.
A)

380
B)

190
C)

19
D)
190

E)
380

SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
 (𝑎 + 𝑏)2
− (𝑎 − 𝑏)2
= 4𝑎𝑏
 (𝑎 + 𝑏)2
+ (𝑎 − 𝑏)2
= 2(𝑎2
+𝑏2)
 (𝑎 − 𝑏)2
≥ 0 ⇒
2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2 ≤ 1
Reduciendo la expresión:
 22
2
19
ba
ab
k

 ,
2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2 ≤ 1 ⇒ 𝑘 =
1
19
Reemplazando:
𝑅 =
𝜋
20
(
1
19
) =
𝜋
380
RESPUESTA E
15. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo, calcule “R” siendo S y C las raíces de
la ecuación:
3x2 - 19x + 30 = 0
A)   B)  C)   D)  E)

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SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
 La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: 𝑥2
− 𝑆𝑢𝑥 + 𝑃 = 0 y las propiedades de suma y
producto de raíces
Resolviendo
𝑆𝑢 = 𝑆 + 𝐶 =
19
3
⇒ 19𝑘 =
19
3
…(1)
𝑃 = 𝑆. 𝐶 =
30
3
⇒ 90𝐾2
= 10 ……….. (2)
Dividiendo (2): (1)
90𝐾
19
=
30
19
⇒ 𝐾 =
1
3
Calculando 𝑅 =
𝜋
20
(
1
3
) =
𝜋
60
RESPUESTA E
16. Si S y C son la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal
respectivamente y cumplen:
... 32
1111
CCCS
Calcular la medida circular de dicho ángulo
A)  B)  C)  D)  E) 
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo:
1
𝑆
=
1
𝐶
( .. 32
111
1
CCC
)
1
𝑆
=
1
𝐶
(1 +
1
𝑆
) ⇒ C = S + 1
𝐾 = 1
Calculando 𝑅 =
𝜋
20
(1) =
𝜋
20
RESPUESTA D

17. De la figura mostrada:
Calcular: “9-10”
A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800
SOLUCIÓN
Según el gráfico, convirtiendo en un solo sistema:
 ∝ 𝑔
(
9°
10 𝑔) − 𝜃° = 90° ⇒ 9 ∝ −10θ = 900 RESPUESTA D
18. Determine la medida circular de un ángulo que verifica:

7. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
7 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
S
C
ostérn
RRR




















 min""...........
2
1
1
1
1
1
1
1
A) rad
n
10
1)( 
B)
10
n
C)
9
n
D)
9
1n
E) 9n
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K
Resolviendo
(
𝑅+1
𝑅
) (
𝑅+2
𝑅+1
) (
𝑅+3
𝑅+2
) … . (
𝑅+𝑛
𝑅+𝑛−1
) =
10𝑘
9𝑘
⇒ (
𝑅+𝑛
𝑅
) =
10
9
∴ 𝑅 = 9𝑛 RESPUESTA E
19. Si:

C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S





 ; Hallar el número de radianes de dicho ángulo.
(S y C son lo conocido)
A) 
3600
441
B) 
3600
551
C) 
3600
361
D) 
3600
641
E) 
3600
241
SOLUCIÓN
Recordar:

𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⇒
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑐−𝑑
⇒𝑆𝑢𝑚𝑎𝑠
⇒𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
(Proporcionalidad)
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Igualamos la expresión a un término “m” y resolvemos:
m
C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S 







𝑆 +
𝑆
𝑚
= 𝐶 −
𝐶
𝑚
= 𝑚
𝑆(𝑚 + 1) = 𝐶(𝑚 − 1) ⇒
𝑚 + 1
𝑚 − 1
=
10
9
Aplicando proporcionalidad
m = 19
Calculando el número en grados sexagesimales y convirtiendo a radian:
𝑆 +
𝑆
𝑚
= 𝑚 ⇒ 𝑆 =
361
20
.
𝜋
180
⇒ 𝑅 =
361𝜋
3600
RESPUESTA C
20. Siendo  el número de radianes de un ángulo positivo, verifica la igualdad:
11.8.3 




Hallar: . Si:   
A)
9
32
B)
64
9
C)
32
9
D)
16
9
E)
9
64
SOLUCIÓN
Sea 𝑎 = √
𝜃
𝜋
Haciendo cambio de variable y resolviendo: 3𝑎 +
8
𝑎
= 11
3𝑎2
− 11𝑎 + 8 = 0

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(3𝑎 − 8)(𝑎 − 1) = 0
𝑎 =
8
3
∨ 𝑎 = 1
√
𝜃
𝜋
=
8
3
∨ √
𝜃
𝜋
= 1 ⇒ 𝜃 =
64
9
𝜋 ∨ 𝜃 = 𝜋 RESPUESTA B
21. Si la diferencia de dos ángulos es 100g
y su suma es 3  rad., entonces, las medidas
sexagesimales de dichos ángulos, respectivamente , son:
A) 315° y 225° B) 325° y 215° C) 300° y 240° D) 290° y 250° E) 315° y 235°
(Examen ordinario– UNS 2014 II)
SOLUCIÓN
Según los datos: 𝑎 – 𝑏 = 100 𝑔
= 90°
𝑎 + 𝑏 = 3 𝜋 = 540°
2 𝑎 = 630° ⇒ 𝑎 = 315° 𝑦 𝑏 = 225° RESPUESTA A
22. Resolver el siguiente sistema:
)2(...SC
)1...(
S4C8,3
S6C2,4
1x
1x
47x 





Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo en
sentido antihorario.
Dar como respuesta la medida del ángulo en el sistema radial.
A) rad
200
1048

B) rad
200
9,048

C) rad
100
1048

D) rad
2
9,048

E) rad
300
1048

SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo ambas ecuaciones
Aplicamos proporcionalidad en (1)
𝑥 + 1
𝑥 − 1
⇒ 𝑥 =
8𝐶 + 2𝑆
0,4𝐶 + 10𝑆
𝑥 =
49
47
Reemplazando (1) en (2)
𝐶 𝑥
= √𝑆
47
⇒ √(10𝑘)4947
= √9𝑘
47
⇒ 𝑘 = √0,948
10
∴ 𝑅 =
𝜋
20
(
√0,948
10
) = √0,948
𝜋
200
RESPUESTA B
23. Siendo S y C el número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que
cumple:
S = x - 1.............. (i)

9. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
9 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
C = x + 2............ (ii)
Calcular la medida del ángulo en radianes
A) B) C) D) E)
24. Señale la medida circular de un ángulo que verifique:
  
osmintér"n"
......
2S
1
1
1S
1
1
S
1
1
C
n2




















 Siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo.
A)
180
n
B)
200
n
C)
225
n
D)
135
n
E)
315
n
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y 𝑅 =
𝜋𝐾
20
Resolviendo
2𝑛
𝐶
= (
𝑆+1
𝑆
) (
𝑆+2
𝑆+1
) (
𝑆+3
𝑆+2
) … . (
𝑆+𝑛
𝑆+𝑛−1
)
2𝑛
𝐶
=
𝑆 + 𝑛
𝑆
⇒ 18𝑛 = 90𝑘 + 10𝑛
𝐾 =
4𝑛
45
∴ 𝑅 =
𝜋
20
(
4𝑛
45
) =
𝜋𝑛
225
RESPUESTA C
25. Señale la medida circular del ángulo cuyos números de grados sexagesimales y centesimales
se expresan como:
S = 1 + 3 + 5 + 7 +… ; C = 2 + 4 + 6 + 8 +…
Teniendo ambos igual cantidad de sumandos:
A) rad
20
3
B) rad
20
7
C) rad
10
9
D) rad
20
9
E) rad
23
5
SOLUCIÓN
Recordar: 1 + 3 + 5 + 7 … = 𝑛2
2 + 4 + 6 + 8 + … = 𝑛(𝑛 + 1 )
Además tener en cuenta que la suma de números impares tiene que ser múltiplo de 9 y la
suma de números pares múltiplo de 10.
𝑛 = 9 ⇒ 𝑆 = 81°
∴ 𝑅 = 81° (
𝜋
180°
) =
9𝜋
20
RESPUESTA D
26. Si la suma de las medidas de dos ángulos en el sistema radial es
2𝜋
27
𝑟𝑎𝑑. Y su diferencia
5°40’. Determinar la medida del mayor ángulo en el sistema centesimal.
a) 11 𝑔
55 𝑚
55 𝑠
b) 10 𝑔
55 𝑚
55 𝑠
c) 10 𝑔
45 𝑚
40 𝑠
d) 11 𝑔
10 𝑚
20 𝑠
e) 9 𝑔
60 𝑚
30 𝑠
10
 3
10
 5
18
 3
20
 2
25
