FORMULARIO

1. Michael Barot
Formulario
matem´atico
Grupo 220-A
8
S´ımbolos
El alfabeto griego
A α alfa
B β beta
Γ γ gamma
∆ δ delta
E ε ´epsilon
Z ζ dseta
H η eta
Θ θ,ϑ theta
I ι iota
K κ kappa
Λ λ lambda
M µ mi
N ν ni
Ξ ξ xi
O o ´omicron
Π π pi
P ρ rho
Σ σ sigma
T τ tau
Y υ ´ıpsilon
Φ ϕ phi
X χ chi
Ψ ψ psi
Ω ω omega
Comparaciones
= igual
= desigual
≈ m´as o menos igual
∼ equivalente (o semejante)
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
Operaciones
+ sumar
− restar
·, ×, ∗ multiplicar
÷, / dividir
∧ potenciar√
radicar
Σ sumar varios sumandos:
n
i=1 ai = a1 + a2 + . . . + an
Π multiplicar varios factores: n
i=1 ai = a1 · a2 · . . . · an
Conjuntos de n´umeros
N los n´umeros naturales
Z los n´umeros enteros
Q los n´umeros racionales
R los n´umeros reales
C los n´umeros complejos
L´ogica
⇒ eso implica
⇔ es equivalente a
∨ o
∧ y

2. 2
Algebra
Orden de evaluaci´on
expresiones
en par´antesis
−→
potencias
y ra´ıces
−→
multiplicaci´on
y divisi´on
−→
adici´on y
subtracci´on
Leyes generales para n´umeros, variables y expresiones
Asociatividad. a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c
Conmutatividad. a + b = b + a, a · b = b · a
Distributividad. a · (b + c) = a · b + a · c
Binomios. (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(primer binomio)
(a − b)2
= a2
− 2ab + b2
(segundo binomio)
(a + b)(a − b) = a2
− b2
(tercer binomio)
(a+b)n
= an
+
n
1
an−1
b+
n
2
an−2
b2
+. . .+
n
n − 1
abn−1
+bn
coeficientes binomiales
n
k
= n!
k!(n−k)!
donde n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n factorial)
Ley de multiplicaci´on de signos
+ · + = +, + · − = −, − · + = −, − · − = +
Fracciones
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
a
b
−
c
d
=
ad − bc
bd
a
b
·
c
d
=
ac
bd
a
b
÷
c
d
=
ad
bc
−a
b
= −
a
b
=
a
−b
Ecuaciones
Ecuaci´on lineal. ax + b = 0. Soluci´on: x = − b
a .
Ecuaci´on cuadr´atica. ax2
+ bx + c = 0. Discriminante D = b2
− ac
• Si D > 0 entonces hay dos soluciones: x =
−b ±
√
D
2a
• Si D = 0 hay una soluci´on: x =
−b
2a
• Si D < 0 no hay ninguna soluci´on.
Transformaciones de equivalencia de ecuaciones y desigualdades
a = b ecuaci´on dada / desigualdad dada a < b
a + m = b + m Sumar cualquier expresi´on m a + m < b + m
a · c = b · c
Multiplicar por cualquier
n´umero c = 0
a · c < b · c si c > 0
a · c > b · c si c < 0
a
d
=
b
d
Dividir entre cualquier
n´umero d = 0
a
d < b
d si d > 0
a
d > b
d si d < 0
1
a
=
1
b
Invertir si a = 0, b = 0 1
a > 1
b
b = a Voltear b > a 7
C´onicas
Elipse.
Ecuaci´on:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (a ≥ b)
Distancia focal: f = 2c, c2
= a2
− b2
Focos: F1(−c, 0), F2(c, 0)
Excentricidad: ε = c
a satisface 0 ≤ ε < 1
xxx(ε = 0 ⇔ elipse es c´ırculo)
Propiedad de distancia: |F1P| + |F2P| = 2a
Semilatus rectum p = b2
a
x
y
a
b
c
p
P
F1 F2
Par´abola.
Ecuaci´on: y2
= 2px
xxx(p el semilatus rectum)
Foco: F(p
2 , 0)
Excentricidad: ε = 1
Directrix ℓ: x = −p
2
Propiedad de distancia: |FP| = |LP|
x
y
ℓ
L P
p
F
Hip´erbola.
Ecuaci´on:
x2
a2
−
y2
b2
= 1 (a ≥ b)
Distancia focal: f = 2c, c2
= a2
+ b2
Focos: F1(−c, 0), F2(c, 0)
Excentricidad: ε = c
a satisface ε > 1
Propiedad de distancia: |F1P|−|F2P| = ±2a
Semilatus rectum p = b2
a
As´ıntotas: y = ± b
a x
x
y
P
p
F2F1
a
b
c
c
F2
En coordenadas polares. r(α) =
p
1 + ε cosα
donde
r(α): distancia desde el foco en direcci´on α
p: semilatus rectus
ε: excentricidad
α
x
y
pF
r(α)

3. 3
Potencias
Definiciones. an
= a · a · . . . · a
n factores
, a0
= 1, a−n
= 1
an , a
1
n = n
√
a
Leyes.
am
· an
= am+n
am
· bm
= (a · b)m
am
an
= am−n
am
bm
=
a
b
m
(am
)n
= am·n
n
√
a · b = n
√
a ·
n
√
b
n
a
b
=
n
√
a
n
√
b
n m
√
a = n·m
√
a
n
√
a
m
= a
m
n = n
√
am
Logaritmos
Definici´on. loga n = b ⇔ an
= b, ln = loge, log = log10
donde e = l´ım
n→∞
1 +
1
n
n
= 2.71828 . . . (n´umero de Euler)
Leyes.
loga(u · v) = loga u + loga v
loga
u
v
= loga u − loga v
loga u =
logb u
logb a
loga(un
) = n loga u
loga
1
v
= − loga v
Sucesiones y series
Definici´on. sucesi´on: a1, a2, . . . , ak,
serie: s1, s2, . . . , sn, donde sn = a1 + . . . + an = n
i=1 ai
Sucesi´on aritm´etica.
ak = ak−1 + d (recursiva)
ak = a1 + (k − 1)d (expl´ıcita)
sn = n
2 (a1 + an)
Sucesi´on geom´etrica.
ak = q · ak−1, q = 0 (recursiva)
ak = q · a1 (expl´ıcita)
sn = a1 · qn
−1
q−1 = a1 · 1−qn
1−q
serie infinita (para |q| < 1):
s = l´ım
n→∞
sn = a1 ·
1
1 − q
Series especiales.
1 + 2 + . . . + n =
n(n + 1)
2
12
+22
+. . .+n2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
13
+ 23
+ . . . + n3
=
n2
(n + 1)2
4
6
C´alculo en el tri´angulo general.
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
(Teorema del seno)
c2
= a2
+ b2
− 2ab cosγ (Teorema del coseno)
A B
C
ab
c
α
β
γ
Geometr´ıa anal´ıtica
Distancia y pendiente.
La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y
P2(x2, y2) es
|P1P2| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
La pendiente es
m =
y2 − y1
x2 − x1
= tan ϕ
Dos rectas g y g′
con pendientes m y m′
:
g ⊥ g′
⇔ mm′
= −1
P1
P2
x1 x2
y1
y2
x
y
ϕ
Ecuaciones de la recta.
Ecuaci´on punto-pendiente (P(x1, y1) es un punto de
la recta, m es la pendiente:
y − y1 = m(x − x1)
Ecuaci´on est´andar (m es la pendiente, b es el valor
donde la recta intersecta el eje y):
y = mx + b
Ecuaci´on normal (el vector n=
A
B
es normal a la
recta):
Ax + By + C = 0
Ecuaci´on sim´etrica (a y b son los valores donde se
intersectan los ejes):
x
a
+
y
b
= 1
Forma normal de Hesse (m = tan ϕ es la pendiente,
h la distancia al origen):
x cos α + y sin α ± h = 0
H(x, y) = Ax+By+C√
A2+B2 = 0
a
b
x
y
n
h
α
Ecuaci´on del c´ırculo.
con centro (a, b) y radio r:
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
(a, b)r

4. 4
Geometr´ıa
Geometr´ıa sint´etica
Tri´angulo rect´angulo.
Pit´agoras: c2
= a2
+ b2
Euclides: a2
= c · p, b2
= c · q
Altura: h2
= p · q
c
b a
h
p q
Teorema de Tales.
La hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es el
di´ametro de la circunferencia circunscrita.
Si uno de los lados de un tri´angulo es el di´ame-
tro de la circunferencia circunscrita entonces el
´angulo opuesto al di´ametro es recto.
Teorema del ´angulo inscrito.
ε = 2α
donde:
c : cuerda
α : ´angulo inscrito
ε : ´angulo central
ε
α
c
Teoremas de cuerdas, secantes y tangentes.
|PA| · |PA′
| = |PB| · |PB′
|
= |PT |2 A A′
B
B′
P
T
A
A′B
B′
P
T
Semejanza
Dos tri´angulos ∆ABC y ∆A′
B′
C′
son semejan-
tes si la proporci´on de lados correspondientes es
la misma para los tres lados:
|AB|
|A′B′|
=
|BC|
|B′C′|
=
|CA|
|C′A′|
B
C A
B′
C′
A′
Teorema de Tales.
Si AB es paralelo a A′
B′
y S es el punto de
intersecci´on de AA′
con BB′
entonces:
|SA|
|AA′|
=
|SB|
|BB′|
,
|SA|
|SA′|
=
|SB|
|SB′| B
S
A
B′
A′
(B)
(A)
5
Trigonometr´ıa
Medida de ´angulos.
´angulo cero recto llano completo
grados 0◦
90◦
180◦
360◦
radianes 0 π
2 π 2π
Definici´on de las funciones trigonom´etricas.
En el tri´angulo rect´angulo (para 0◦
≤ α ≤ 90◦
):
sin α =
cateto opuesto
hipotenusa
cos α =
cateto adyacente
hipotenusa
tan α =
cateto opuesto
cateto adyacente
α
hipotenusa
cateto adyacente
catetoopuesto
Para cualquier ´angulo α:
sin α =
y
r
, cos α =
x
r
, tan α =
y
x
x
y
α
P(x, y)
r
Gr´aficas.
−1
1
0◦
90◦
180◦
270◦
360◦
α
y
y = sin α
−1
1
0◦
90◦
180◦
270◦
360◦
α
y
y = cos α
−1
1
0◦
90◦
180◦
270◦
360◦
α
y
y = tan α
Simetr´ıas.
sin(−α) = − sin α
cos(−α) = cos α
tan(−α) = − tan(α)
sin(90◦
± α) = cos α
sin(180◦
± α) = ∓ sin α
sin(360 ± α) = ± sin α
cos(90◦
± α) = ∓ sin α
cos(180◦
±α) = − cos α
cos(360 ± α) = cos α
Identidades trigonom´etricas.
sin2
α + cos2
α = 1
tan α =
sin α
cos α
sin α + sin β = 1
2 sin α+β
2 cos α+β
2
cos α + cos β = 1
2 cos α+β
2 cos α+β
2
sin(α±β) = sin α cos β±cos α sin α
cos(α±β) = cos α cos β∓sin α sin α
tan(α ± β) =
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β