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2. C ´ALCULO VECTORIAL
Daniel Garz´on
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. INTEGRALES DE L´INEA.
Dada una trayectoria en el espacio lo suficientemente suave, estamos interesa-
dos en encontrar el trabajo que realiza un campo de fuerzas sobre una part´ıcula
que recorre la trayectoria continuamente. Es claro entonces que lo que nos
interesa conocer es el trabajo realizado por el campo en la direcci´on del mo-
vimiento de la part´ıcula, esto es, nos interesa la coordenada tangencial a la
trayectoria, del campo de fuerzas, dicho en otras palabras, la proyecci´on del
campo vectorial sobre la derivada de la trayectoria. Formalizaremos estas ideas
mas adelante.

4. INTEGRALES DE L´INEA.
INTEGRALES DE L´INEA
DEFINICI ´ON DE INTEGRAL DE L´INEA
Sea F : U ⊂ Rn → Rn, F = (F1, F2, . . . , Fn) un campo vectorial continuo y
sea λ : [a, b] → Rn, λ = (λ1, λ2, . . . , λn) un camino tal que λ es continuo
cuya gr´afica est´a contenida en U, es decir, λ[a, b] ⊂ U. La integral de linea
del campo F a lo largo del (o sobre el) camino λ, se define por
λ
F · dλ =
b
a
F(λ(t)) · λ (t) dt

5. INTEGRALES DE L´INEA. EJEMPLOS DE INTEGRAL DE L´INEA
EJEMPLO
Dado F(x, y, z) = (cos z, ex, ey), y α(t) = (1, t, et), con t ∈ [0, 2] Calcular
la siguiente integral de l´ınea α F · dα.
α (t) = (0, 1, et
)
F(α(t)) = (cos(et
), e, et
) , As´ı tenemos que
F(α(t)) · α (t) = (cos(et
), e, et
) · (0, 1, et
) = e + e2t
α
F · dα =
2
0
e + e2t
dt = 2e +
1
2
e4
−
1
2

6. BIBLIOGRAF´IA
BIBLIOGRAF´IA
Stewart, J.,Multivariable Calculus. Cengage learning (2012).
Marsden, J. & Tromba, A., C´alculo Vectorial Addison Wesley (1998).