Calculo Integra: Sólidos de revolución para el calculo de volumen de cerámica para la elaboración de vasijas de cerámica.

1. Introducción
En el siguiente tratado se resolverá la un problema del área común de ingeniería, enfocado al
método de cálculo de volumen de sólidos de revolución, y de cálculo de área de superficie de
revolución baso en la definición de integral.
Para lo cual se necesita calcular el volumen de 10,000 vasijas de cerámica para poder tomar una
decisión si la cantera se dará a vasto o no, el problema radica y se sustente en calcular el volumen
de una sola vasija la cual describe su cuerpo como una función que es rotada sobre el eje x.
Para lograr este objetivo es necesario calcular el área superficial de la ecuación que la describe,
lográndose mediante la aplicación de la definición de Área de una superficie de revolución, y
mediante la aplicación de una de las técnicas de integración conocida como sustitución
trigonométrica, cabe decir que existe una forma alterna que proporcionan los graficadores por
ordenador y utilizan esta con fines de economizar pasos, pero en este tratado se muestra la manera
extensa de realizar el proceso, comprobando así que es posible hacerlo manualmente
(empíricamente como se le llama en este tratado).
Además todo el proceso de revolución está ilustrado para su mejor compresión y auxilió por
métodos matemáticos convencionales destacando así los promedios y desviaciones los cuales solo
presentan los resultados finales y no su proceso pues son de fácil obtención así no lograr la
monotonía en cálculos extensos.

2. Problema
A una compañía que elabora artículos en cerámica se le ha solicitado la elaboración de 10,000
vasijas de cerámica por mes. El cliente requiere que las vasijas sean de una altura de N cm, el
grosor de las vasijas es de 5 cm. El departamento de diseño del cliente ha determinado que las
vasijas de base circular deben tener la forma de un sólido que se genera por la rotación con respecto
al eje 𝑥 de la curva descrita por la función 𝒚 =
𝟏
𝟐𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒.
Como responsable del departamento de ingeniería, usted ve la necesidad de verificar la cantidad de
producción de cerámica por lo que necesita establecer el volumen de cerámica que requiere la
producción de 10,000 vasijas y compararlo con la instalada en sus canteras para tomar las
previsiones necesarias.
a) N = 12 cm.
b) Determine el dominio de la función, el área de la base y el área superficial de las paredes de una
vasija.
c) Conociendo el área superficial de la base y la pared de la vasija, así como el grosor requerido,
determine el volumen de cerámica de cada vasija.
d) Establezca el volumen total de cerámica que se deberá producir en sus canteras para tomar las
previsiones adecuadas.
e) Elabore una maqueta tridimensional del modelo a escala de la vasija, no tome en cuenta el
grosor de las paredes en la elaboración de la maqueta, la selección de materiales queda a su
discreción. Utilice software graficador para elaborar un plantilla para la construcción de las
paredes de la vasija.
Marco Teórico
Dominio: El dominio de una función 𝑓 es el mayor subconjunto del conjunto de números reales
para los que 𝑓(𝑥) es un número real.
Área: El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida
denominadas Unidades de superficie. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de
superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la
magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área). La definición concreta de área que se
utiliza en el siguiente tratado es:
Área de superficie de un círculo: El área del círculo es igual a pi por el radio al cuadrado:
Definición No. 1: 𝐴 = 𝜋𝑟2
Área de una superficie de revolución: Sea 𝑓 una función para la cual 𝑓′ es continua y 𝑓(𝑥) ≥ 0
para toda 𝑥 en el intervalo [ 𝑎, 𝑏]. El área 𝑆 de la superficie que se obtiene al girar la gráfica de 𝑓
sobre el intervalo alrededor del eje 𝑥 está dada por:
Definición No. 2: 𝑆 = 2𝜋∫ 𝑓(𝑥)√1 + [ 𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎

3. Volumen: la definición de volumen de interés de este tratado es la siguiente, el volumen esta dado
por 𝐵 el área de de una base (es decir, el área de una de las regiones planas) por ℎ la altura o
profundidad (es decir, la distancia perpendicular entre las regiones planas).
Definición No. 3: 𝑉 = 𝐵 ∗ ℎ
Determinación de Se Áreas
Curva descrita por: 𝒚 =
𝟏
𝟐𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒. Eje de rotación 𝒙. Dominio En [0,12].
Grafica No. 1: 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒, definida en el dominio [0,12] mediante Graph 4.3.
El área superficial del fondo de la vasija, es obtenida a partir de un radio de 4 cm y (mediante la
definición 1) por lo que se obtiene:
𝑨 = 𝝅𝒓 𝟐
𝐴 = 𝜋(4)2
𝐴 = 50.2655 𝑐𝑚²
Para determinar el área superficial de las paredes de la vasija se utiliza la Definición 2 de área de
superficie de revolución:
𝑺 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒇( 𝒙)
𝒃
𝒂
√ 𝟏 + [ 𝒇′(𝒙)] 𝟐 𝒅𝒙

4. Grafica No. 2: 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒 girando sobre x mediante AutoCAD 2013.
Derivada de 𝒚:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒 =
𝟐
𝟐𝟎
𝒙 =
𝟏
𝟏𝟎
𝒙
Sustituyendo en la Definición de área de superficie de revolución con: 𝒇( 𝒙) =
𝟏
𝟐𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒; 𝒇′( 𝒙) =
𝟏
𝟏𝟎
𝒙.
𝑺 = 𝟐𝝅 ∫ (
𝟏
𝟐𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒)
𝟏𝟐
𝟎
√ 𝟏 + [
𝟏
𝟏𝟎
𝒙]
𝟐
𝒅𝒙 = 𝟐𝝅 ∫ (
𝟏
𝟐𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒)
𝟏𝟐
𝟎
√ 𝟏 +
𝒙 𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝒅𝒙.
𝑺 = 𝟐𝝅 ∫ (
𝒙 𝟐+𝟖𝟎
𝟐𝟎
)
𝟏𝟐
𝟎
√ 𝟏𝟎𝟎+𝒙 𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝒅𝒙 =
𝟐
𝟐𝟎𝟎
𝝅∫ ( 𝒙 𝟐 + 𝟖𝟎)
𝟏𝟐
𝟎
√ 𝟏𝟎𝟎+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙.
𝑺 =
𝟏
𝟏𝟎𝟎
𝝅 ∫ ( 𝒙 𝟐 + 𝟖𝟎)
𝟏𝟐
𝟎
√ 𝟏𝟎𝟎+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙.
𝑺 =
𝟏
𝟏𝟎𝟎
𝝅 [∫ 𝒙 𝟐√ 𝟏𝟎𝟎+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙.
𝟏𝟐
𝟎 + 𝟖𝟎∫ √ 𝟏𝟎𝟎+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙
𝟏𝟐
𝟎 ].
Como es posible observar se debe proceder con sustituciones trigonométricas, con la forma:
Grafica No. 3: Método de Sustitución Trigonométrica
Mediante este método se determina que:
√100 + 𝑥2
𝑥
10
𝜃

5. 𝑥 = 10 tan 𝜃
𝑑𝑥 = 10 sec2 𝜃 𝑑𝜃
Sustituyendoen 𝑥 = 10 tan 𝜃 en100 + 𝑥2:
100 + 𝑥2 = 100 + (10 tan 𝜃)2 = 100 + 100 tan2 𝜃 = 100(1 + tan2 𝜃) = 100 sec2 𝜃 =
100 + 𝑥2 = (10 sec 𝜃)2  √100 + 𝑥2 = 10sec 𝜃
𝑺 =
𝟏
𝟏𝟎𝟎
𝝅 [∫ (10 tan 𝜃) 𝟐10sec 𝜃 10sec2 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 + 𝟖𝟎∫ 10sec 𝜃 10 sec2 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 ].
𝑺 =
𝟏
𝟏𝟎𝟎
𝝅 [∫ 10,000(tan 𝜃) 𝟐sec3 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 + 𝟖,000 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 ].
𝑺 = 10𝝅 [10 ∫ (tan 𝜃) 𝟐 sec3 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 + 𝟖∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 ].
𝑺 = 20𝝅 [5 ∫ (sec2 𝜃 − 1)sec3 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 + 4∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 ].
𝑺 = 20𝝅 [5 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0 − 5 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0 + 4 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐
𝟎 ].
𝑺 = 20𝝅 [5 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0 − ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0 ].
Con 10 sec2 𝜃 se sustituye en la fórmula original, se sustituye 10 sec2 𝜃; la ecuación luce de la
siguiente forma:
En este punto dado el tamaño de la ecuación se dividirá en dos partes: 𝑆 = 20𝜋[ 𝑎 + 𝑏], donde:
𝑎 = 5∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0 ; y 𝑏 = − ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
Se procede con a de la siguiente forma definición:
∫ 𝑢𝑑𝑣
𝑏
𝑎
= 𝑢𝑣{
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝑏
𝑎
+ 𝐶
Por conveniencia se integra primero 𝑏:
𝑏 = − ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
𝑢 = sec 𝜃; 𝑑𝑢 = sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝑣 = sec2 𝜃 𝑑𝜃; 𝑣 = tan 𝜃
Por lo tanto:
−∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0 = −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+∫ tan 𝜃 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
12
0
−∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ ∫ tan2 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃
12
0

6. −∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ ∫ (sec2 θ − 1) 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃
12
0
−∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ ∫ sec3 𝜃
12
0
− ∫ sec 𝜃
12
0
𝑑𝜃
−2 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− ∫ sec 𝜃
12
0
𝑑𝜃
−2 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− ∫ sec 𝜃 (
sec 𝜃 + tan 𝜃
sec 𝜃 + tan 𝜃
)
12
0
𝑑𝜃
−2 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− ∫
sec2 𝜃 + sec 𝜃 tan 𝜃
sec 𝜃 + tan 𝜃
12
0
𝑑𝜃
𝑢 = sec 𝜃 + tan 𝜃; 𝑑𝑢 = sec 𝜃 tan 𝜃 + sec2 𝜃
−2 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− ∫
1
𝑢
12
0
𝑑𝑢
−2 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− ln| 𝑢| {
12
0
−2 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0
−∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= −
1
2
sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
−
1
2
ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0
Ahora se procede con 𝑎:
𝑎 = 5∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
𝑢 = sec3 𝜃; 𝑑𝑢 = 3sec3 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝑣 = sec2 𝜃 𝑑𝜃; 𝑣 = tan 𝜃
Por lo tanto:
5 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 5sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 5∫ tan 𝜃 3sec3 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
12
0
5 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 5sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 15∫ tan2 𝜃 sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0

7. 5 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 5sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 15∫ (sec2 𝜃 − 1) sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
5 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 5sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 15∫ (sec5 𝜃 − sec3 𝜃) 𝑑𝜃
12
0
5 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 5sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 15∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
+ 15 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
20 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 5sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ 15∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
Al apreciarse unaintegral sec3 𝜃 se procede comoen 𝑏:
𝑢 = sec 𝜃; 𝑑𝑢 = sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝑣 = sec2 𝜃 𝑑𝜃; 𝑣 = tan 𝜃
15 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 15 ∫ tan 𝜃 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
12
0
15 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 15 ∫ tan2 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃
12
0
15 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 15 ∫ (sec2 θ − 1) sec 𝜃 𝑑𝜃
12
0
15 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
− 15 ∫ sec3 𝜃
12
0
+ 15∫ sec 𝜃
12
0
𝑑𝜃
30 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ 15 ∫ sec 𝜃
12
0
𝑑𝜃
30 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ 15 ∫ sec 𝜃
12
0
(
sec 𝜃 + tan 𝜃
sec 𝜃 + tan 𝜃
) 𝑑𝜃
30 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ 15 ∫
sec2 𝜃 + sec 𝜃 tan 𝜃
sec 𝜃 + tan 𝜃
12
0
𝑑𝜃
𝑢 = sec 𝜃 + tan 𝜃; 𝑑𝑢 = sec 𝜃 tan 𝜃 + sec2 𝜃
30 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ 15 ∫
1
𝑢
12
0
𝑑𝑢
30 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 15 sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+ 15 ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0

8. 15 ∫ sec3 𝜃 𝑑𝜃
12
0
=
15
2
sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
15
2
ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0
Restituyendo para 20 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
20 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
= 5sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
15
2
sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
15
2
ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0
4 ∫ sec5 𝜃 𝑑𝜃
12
0
=
5
4
sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
15
8
sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
15
8
ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0
Restituyendolaforma 𝑆 = 20𝜋[ 𝑎 + 𝑏]
𝑆 = 20𝜋 [
5
4
sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
15
8
sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
15
8
ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0
−
1
2
sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
−
1
2
ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0
].
𝑆 = 20𝜋 [
5
4
sec3 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
11
8
sec 𝜃 tan 𝜃 {
12
0
+
11
8
ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| {
12
0
].
Ahora corresponde restituir para 𝑥 sabiendo:
tan 𝜃 =
𝑥
10
y sec 𝜃 =
√100+𝑥2
10
𝑆 = 20𝜋 [
5
4
(
√100+𝑥2
10
)
3
(
𝑥
10
) {
12
0
+
11
8
(
√100+𝑥2
10
)(
𝑥
10
){
12
0
+
11
8
ln|
√100+𝑥2
10
+
𝑥
10
|{
12
0
].
𝑆 = 20𝜋 [
5
40,000
𝑥(√100 + 𝑥2)
3
{
12
0
+
11
800
𝑥√100 + 𝑥2 {
12
0
+
11
8
ln|
𝑥+√100+𝑥2
10
|{
12
0
].
𝑆 = 20𝜋 [
60
40,000
((244)1/2)3 +
132
800
(244)
1
2 +
11
8
ln|
12+(244)
1
2
10
|].
𝑆 = 20𝜋 [
3
2,000
(244)
3
2 +
33
200
(244)
1
2 +
11
8
ln |
12+(244)
1
2
10
|].
𝑆 = 20𝜋[5.7171 + 2.5774 + 1.3970] = 20𝜋[9.6915] = 608.9349 cm2
Existe una pequeña variación al compararse el resultado con graficadores (ver anexos):
WolframAlpha:608.932 cm2
Graphmatica2.0: 609.416 cm2
Graph 4.3: 608.9317 cm2

9. Pero debido a que el resultado empírico que se dedujo es el que respecta se operara de la siguiente
manera: Debido a que el área superficial de la vasija es de 608.9349 cm2
y la de la tapadera es
50.2655 cm2
tenemos un área superficial total de:
𝐴 𝑡 = 608.9349 + 50.2655
𝐴 𝑡 = 659.2004 𝑐𝑚²
Grafica No. 4: Vista de la vasija mediante AutoCAD 2013
El espesor de las paredes de cada vasija mide 5 cm sabiendo esto y multiplicándolo por el área
superficial se obtiene el volumen total de cerámica utilizada en cada vasija.
𝑉 = 659.2004 ∗ 5
𝑉 = 3,296.002 𝑐𝑚³
Debido a que el cliente requiere de 10,000 vasijas mensuales encontramos el volumen total que
debemos de producir de cerámica en la cantera a partir de:
𝑉𝑚 = 3,296.002 ∗ 10,000
𝑉𝑚 = 32,960,020.00 𝑐𝑚³

10. Grafica No. 4: Vista de diferentes perspectivas de la vasija en 3D mediante AutoCAD 2013
Conclusiones
Para la elaboración de 10,000 vasijas de 12 cm de altura con un grosor de 5 cm, el volumen de
cerámica necesario es 32,960,020.00 cm3
debido a que para una sola vasija son necesarios
3,296.002 cm3
.
El Área superficial de la superficie de revolución obtenida empíricamente asciende a 608.9349 cm2
el cual fue comparado con el resultado obtenido mediante 3 programas de graficación
(Graphmatica, Graph, WolfranAlpha) con una media de 609.0932 cm2
y una desviación estandár de
± 0.2792 cm2
lo cual indica que los datos son confiables.
Referencias Bibliográficas
Stewart,J. (2008): Cálculo Trascendentes Tempranas (6a. edición) México, Cengage Learning.
Anexos:Las ilustraciones fueron generadas por ordenador utilizando los siguientes programas:

11. Graphmatica 2.0: 𝑦 =
1
20
𝑥2 + 4
Graph 4.3: 𝑦 =
1
20
𝑥2 + 4
AutoCAD 2013: Grafica al girar sobre x: 𝑦 =
1
20
𝑥2 + 4

12. Área Superficial
WolframAlpha: 608.932 cm2
Graphmatica 2.0: 609.416 cm2

13. Graph 4.3: 608.9317 cm2