Identidades Trigonométricas

1. I. - TRIGONOMETRÍA DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION
DE OTRA
En función del coseno del ángulo doble:
FÓRMULAS BÁSICAS En función del seno: (Usadas para integrar)
senα =
c
a
cosec
sen
α
α
= =
1 a
c
cosec
sen
α
α
=
1
cos senα α= −1 2
sen
cos
α
α
=
−1
2
2
sen
cosα α
2
1
2
=
−
cosα =
b
a
sec
cos
α
α
= =
1 a
b
sec
sen
α
α
=
−
1
1 2
tan
sen
sen
α
α
α
=
−1 2 cos
cos
α
α
=
+1
2
2
cos
cosα α
2
1
2
=
+
tan
sen
cos
α
α
α
= =
c
b
cotan
tan
α
α
= =
1 b
c ctg
sen
sen
α
α
α
=
−1 2
tan
cos
cos
α
α
α
=
−
+
1
1
2
2
tan
cos
cos
α α
α2
1
1
=
−
+
sen cos2 2α α+ = 1 tan cotanα α× = 1 En función del coseno: RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
1 2 1
2
2+ = =tan
cos
secα
α
α
a
b
c
α sen cosα α= −1 2
( )sen sen cos cos senα β α β α β± = ±
( )cos cos cos sen senα β α β α β± = m
1
12
2
2
+ = =cotan
sen
cosecα
α
α sec
cos
α
α
=
1
cosec
cos
α
α
=
−
1
1 2 ( )tan
tan tan
tan tan
α β
α β
α β
± =
±
1 m
( )
( )
sen sen
sen sen
tan
tan
α β
α β
α β
α β
+
−
=
+
−
1
2
1
2
LINEAS TRIGONOMÉTRICAS
cotg cotg cotg cotg
cos cos
cos cos
tan
sen
sen
sen
sen
tan
tan
tan
Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante
tan
cos
cos
α
α
α
=
−1 2
En función de la
tangente:
ctg
cos
cos
α
α
α
=
−1 2
cos
tan
α
α
=
+
1
1 2
( )ctg
ctg ctg
ctg ctg
α β
α β
α β
± =
±
m 1 cos cos
cos cos
cotan
sα β
α β
α β α β+
−
= −
+ −
2 2
TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA
(Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)
SUMAS a PRODUCTOS
Ángulos complementarios:
Su suma vale π/2 radianes (90°)
ctg
tan
α
α
=
1
sec tanα α= +1 2
sen sen sen cosα β
α β α β
+ =
+ −
2
2 2
sen sen cos senα β
α β α β
− =
+ −
2
2 2
REDUCCION AL 1
er
CUADRANTE
sen (π/2 − α) = cos α
cos (π/2 − α) = sen α
tan (π/2 − α) = ctg α
cosec
tan
tan
α
α
α
=
+1 2
sen
tan
tan
α
α
α
=
+1 2 cos cos cos cosα β
α β α β
+ =
+ −
2
2 2
cos cos sen senα β
α β α β
− = −
+ −
2
2 2
Ángulos suplementarios:
Su suma vale π radianes (180°)
Ángulos que difieren
en π/2 radianes:
En función de la tangente del ángulo mitad
(Usadas para integrar)
tan tan
sen( )
cos cos
α β
α β
α β
+ =
+
PRODUCTOS a SUMAS
sen (π − α) = sen α
cos (π − α) = − cos α
tan (π − α) = − tan α
sen (π/2 + α) = cos α
cos (π/2 + α) = − sen α
tan (π/2 + α) = − ctg α
( )
( )
sen
tan /
tan /
α
α
α
=
+
2 2
1 22 sen
tan
tan
2
2
1 2α
α
α
=
+
tan tan
sen( )
cos cos
α β
α β
α β
− =
+
( ) ( )[ ]sen sen cos cosα β α β α β= − − +
1
2
Ángulos que se diferencian
π radianes:
Ángulos opuestos:
( )
( )
cos
tan /
tan /
α
α
α
=
−
+
1 2
1 2
2
2 cos
tan
tan
2α
α
α
=
−
+
1
1
2
2
ctg ctg
sen( )
sen sen
α β
α β
α β
+ =
+
( ) ( )[ ]sen cos sen senα β α β α β= + + −
1
2
sen (π + α) = − sen α
cos (π + α) = − cos α
tan (π + α) = tan α
sen (− α) = − sen(α)
cos (− α) = cos α
tan (− α) = − tan α
( )
( )
tan
tan /
tan /
α
α
α
=
−
2 2
1 22 tan
tan
tan
2
2
1
2
2α
α
α
=
−
ctg ctg
sen( )
sen sen
α β
β α
α β
− =
−
( ) ( )[ ]cos cos cos cosα β α β α β= + + −
1
2

2. FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO
Ángulo doble Ángulo triple
TEOREMAS IMPORTANTES:
Teorema de los senos:
FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
sen sen cos2 2α α α= sen sen sen3 3 4 3
α α α= −
cos cos sen2 2 2
α α α= − cos cos cos3 4 33
α α α= −
tan
tan
tan
2
2
1 2α
α
α
=
−
tan
tan
tan
3
3
1 3 2α
α
α
=
−
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
arcsen arccos arccosx x x= − = −1
2
2 π
A
B
C
ac
b
R
cosB
a c b
ac
=
+ −2 2 2
2
a
A
b
B
c
C
R
sen sen sen
= = = 2
Teorema de los cosenos:
cos A
b c a
bc
=
+ −2 2 2
2
cosC
a b c
ab
=
+ −2 2 2
2
( )Sh Sh Ch Sh Chα β α β β α+ = + ( )Sh Sh Ch Sh Chα β α β β α− = −
( )Ch Ch Ch Sh hα β α β β α+ = + S ( )Ch Ch Ch Sh Shα β α β α β− = −
( )Th
Th Th
Th Th
α β
α β
α β
+ =
+
+1
( )Th
Th Th
Th Th
α β
α β
α β
− =
−
−1
FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD
Sh Sh Ch2 2α α α= Ch Sh Ch2 2 2
α α α= + Th
Sh Ch
Sh Ch
2
2
2 2α
α α
α α
=
+
arccos arcsen arcsenx x x= − = −1
2
2 π
Teorema de las tangentes ( )Sh Ch
α
α
2
1
2
1= − ( )Ch Ch
α
α
2
1
2
1= + Th
Ch
Ch
α α
α2
1
1
=
−
+
arctan arcsen arctgx
x
x
x=
+
= −
1 22
π
( )arcsen arcsen arcsenx y x y y x+ = − + −1 12 2
a b
a b
A B
A B
A B
A B
+
−
=
+
−
=
+
−
sen sen
sen sen
tan
tan
2
2
TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS
( ) ( )[ ]Sh Sh Ch Chα β α β α β= + − −
1
2
( ) ( )[ ]Ch Ch Ch Chα β α β α β= + + −
1
2
( )arcsen arcsen arcsenx y x y y x− = − − −1 12 2
( )( )[ ]arccos arccos arccosx y xy x y+ = − − −1 12 2
AREA DEL TRIÁNGULO
S ab C cb A ac B= = =
1
2
1
2
1
2
sen sen sen
( ) ( )[ ]Sh Ch Sh Shα β α β α β= + + −
1
2
( )Ch Sh Ch Shα α α α± = ±
n
n n
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
( )ArgSh lnx x x= + +2
1 ( )ArgCh lnx x x= + −2
1
( )( )[ ]arccos arccos arccosx y xy x y− = + − −1 12 2
arctan arctanx y
x y
xy
+ =
+
−1
arctan arctanx y
x y
xy
− =
−
+1
FÓRMULAS DE BRIGGS
Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones
análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las
fórmulas que dan
(Fórmula de Herón)
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
S pr
abc
R
p
R
= = =
4 2
p
a b c
=
+ +
2
A
B
C
ac
b
Rr
ArgTh lnx
x
x
=
+
−
1
2
1
1
ArgSh ArgCh ArgThx x
x
x
= + =
+
2
2
1
1
ArgCth lnx
x
x
=
+
−
1
2
1
1
ArgCh ArgSh ArgThx x
x
x
= − =
−2
2
1
1
ArgTh ArgSh ArgCh ArgCthx
x
x
x
x x
=
−
=
−
=
1 1
1
2 2
las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas
fó
AREA DE UN CUADRILÁTERO
mulas ya se han tratado anteriormente.
( )( )
sen
A
2
=
− −p b p c
bc
A
B
C
a
b
c
S
AC BD
=
2
senα
B
A
D
C
α
RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS
( )sen x e ex x
= − −1
2i
i i
( )cos x e ex x
= + −1
2
i i
( )( )
sen
B
2
=
− −p a p c
ac
( )
cos
B
2
=
−p p b
ac
II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS
FÓRMULAS BÁSICAS
Sh seni ix x= sen Shi ix x= e x xxi
i= +cos sen
Ch cosix x= cos Chix x= e x xx−
= −i
icos sen
( )( )
sen
C
2
=
− −p b p a
ab
( )
cos
C
2
=
−p p c
ab
( )
cos
A
2
=
−p p c
bc
p
a b c
=
+ +
2
Shα
α α
=
− −
e e
2
Chα
α α
=
+ −
e e
2
Sh Chα α α
+ = e
Th
Sh
Ch
α
α
α
α α
α α= =
−
+
−
−
e e
e e
Ch Shα α α
− = −
e
C Sh h2 2
1α α− =
Th tani ix x= tan Thi ix x= arcsen Arg Shi ix x=
( )sen sen Ch cos Shx y x y x y+ = +i i arccos Arg Chi ix x= −
( )cos cos Ch sen Shx y x y x y+ = −i i arctan ArgTh lni i ix x
x
x
= =
+
−
1
2
1
1