ALGEBRA LINEAL

1. 1
ALGEBRA LINEAL
DEBER # 7
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
1. En el espacio vectorial 1P considere la función  / : 1 1P P  dada por:
       1100/ qpqpqp  . ¿Es esta función un producto interno en 1P ?
2. En el espacio de las matrices 2x2 están definidas las siguientes funciones binarias. Determine
¿cuál de ellas representa un producto interno: 











2221
1211
2221
1211
/
bb
bb
aa
aa
?
a) 2222212112121111 babababa 
b) 2222121211112 bababa 
c) 11121211 baba 
d) 2222212112121111 42 babababa 
e) Ninguna de las anteriores
3. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Demuestre que si 1 2, , , nx x x son vectores
ortogonales no nulos  i Vx , entonces son también linealmente independientes.
4. Considere el espacio vectorial
2
con el producto interno definido como:
   1 2 1 2 1 1 2 2, / , 2 x x y y x y x y . A partir de la base     3211 ,,,B  construya una base
ortonormal.
5. Sea / , ,
0
a b
V a b c
c
   
   
   
un espacio vectorial con las operaciones convencionales de matrices
y donde se ha definido el producto interior de la manera:
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
/ 2 3
0 0
a b a b
a a b b c c
c c
   
     
   
. Encuentre una base ortonormal para V .
6. Demuestre que n nA  es una matriz ortogonal sí y sólo sí las columnas de A forman una base
ortonormal para
n
.
7. En el espacio  2
2 1 0 / iX a t a t a a    con producto interno
00112201
2
201
2
2 / babababtbtbatata  ; se da la base ordenada:  t;t;t 112
 .
Una base ortonormal construida mediante GRAM-SCHMIDT a partir de la base dada es:
a) 1
2
12
;t;
t 
b)   









4
1
2422
3
;1
3
3
;
2
1 2
2
2
tt
tt
t
c)  2
22
1
3
3
;
2
1
23
2
;
2
1
ttt
tt











d)  2
22
1
3
1
;
3
1
311
3
;
2
1
ttt
tt











e) Ninguna de las anteriores
8. Dado  sen cos / , ,V x x         con producto interno:      dxxgxfg,f



 .
Construir una base ortogonal  321 v,v,vB  en V , que incluya el vector xxv cossen1 

2. 2
9. Sea
3
V  el espacio vectorial con producto interno estándar y base canónica  321 e,e,eB  y
VV:T  un operador lineal con matriz asociada respecto de B :










202
422
523
a) Calcular el núcleo de T .
b) A partir de la base del Ker T obtenida en a) construya una base 'B ortonormal deV .
10. Considere el espacio 22M con el producto interno estándar.
a) Determine el complemento ortogonal del subespacio:














 0cba/
dc
ba
H .
b) Encuentre la IproyH , donde I es la matriz identidad.
11. Sea  / : 3 3
  un producto interno en 3
, tal que: 33222113
3
2
1
/
3
2
1
bababa
b
b
b
a
a
a





















a) Si   , , / 2 0H x y z x y z    , encuentre H
.
b) Encuentre una base ortonormal para

H .
c) Si  2, 1,3X   , encuentre XproyH  .
12. Sea V un espacio vectorial donde se ha definido un producto interno  / . Sea x un vector
distinto del neutro. Además se define 10 H,H y 2H como subconjuntos de V :
 
 
 IRxvVvH
xuVuH
xhVhH



,/
1//
0//
2
1
0
a) ¿Son 10 H,H y 2H subespacios de V ? Justifique su respuesta.
b) Pruebe que todo vector 1Hu  puede escribirse como  2
x/xhu  donde 0Hh
13. Sea 11 12
21 22
/ ijX
 

 
   
   
   
con el producto interno en X definido como
2222212112121111
2221
1211
2221
1211
/ 















y
















 020 112212211211
2221
1211
,/S
a) Construir  0/;/  sxSsXxD
b) Demostrar que D es un espacio vectorial.
c) Hallar la dimensión de D .
d) Demostrar que
i. dsx/Ss,Dd,Xx 
ii.  0SD
14. Sea V un espacio vectorial con producto interno, con base ortonormal:  321 e,e,eB  y T un
operador lineal de V en V . Se sabe que respecto a la base ortonormal  3211 u,u,uB  la matriz de
T es:










600
000
006
y que:      1 2 3
1 1
1
3 3
3
1 1
, 0 ,
2 2
2
1 1
6
6 6
B B B
u u u
   
    
    
    
        
    
     
    
   
Calcular la matriz T respecto a la base B .

3. 3
15. Sea 2 2V M  con las operaciones usuales. Se define en V el producto interno:
 , tr t
A B B A
a. Sea  2 2 2 20tH A M A A     , determine H

.
b. Sea
1 1
0 1
A
 
  
 
, exprese a la matriz A como la suma de dos matrices, una en H y la otra en H
.
16. Sea
2 3
V M

, con el producto interno , Traza( )tA B AB .
Sea 0
a b c
W V a b c d e f
d e f
   
         
   
a. Determine el complemento ortogonal de W.
b. Sea
1 0 1
0 2 0
C V
 
  
 
, calcule la proyección ortogonal de C sobre W
Obs.-La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal principal.
17. Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.
a. En 2P se define el producto interno                , 1 1 0 0 1 1p x q x p q p q p q     ,
entonces 2
1 1x x  
b. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Sea B una base de V. Sea la función :f V V 
dada por      1 2 1 2, B B
f v v v v , donde  es el producto interno estándar en
n
. Entonces f
es un producto interno en V.
c. Sea V un espacio con producto interno real. Sean H y W son dos subespacios vectoriales de V. Si
H W , entonces W H 
 .
18. Sea f un producto interno real en el espacio vectorial 1P , tal que 1 2 , 1x  y  1, 1f x   .
a. Encuentre la regla de correspondencia de f .
b. Sea     1 1 0/W p x P p   un subespacio vectorial de 1P , encuentre una base y determine la
dimensión de W 
.
c. Construya una base para 1P formada por un vector de W y por un vector de W 
.
19. Sea : n n
T  un operador lineal definido por una matriz ortogonal Q tal que  T X QX .
Considerando el producto interno estándar de n
pruebe que:
a.  ,n
X T X X  
b.          
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0n
X X X X T X T X T X T X      
20. En el espacio 2P , se define el producto escalar:
< p, q > = p (−1) q (−1) + p (0) q (0) + p (1) q (1).
a) Obtenga el complemento ortogonal de W = gen {1}.
c) Determine los polinomios p(x) tales que proyW p(x) = ½.
d) Determine los polinomios de P1 que formen un ángulo de 60 grados con x2
.
b) Encuentre la proyección ortogonal de x2
− 1 sobre S = gen { 1, x }