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Ecuaciones Ordinarias II
1.
EJEMPLO 2: Un
SED en términosde operadoresdiferenciales Expresarel siguientesistemade ecuacionesentérminosde operadoresdiferenciales 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = sen 𝑡 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 4 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑑2 𝑦 𝑑𝑡2 − 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑡2 + 𝑒 𝑡 Solución: Si 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝐷𝑦 y 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝐷𝑥 , entonces 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 = 𝐷2 𝑥 y 𝑑2 𝑦 𝑑𝑡2 = 𝐷2 𝑦. De esta manera,el sistemase puede expresarcomo 𝐷𝑥 + 𝐷𝑦 = sen 𝑡 𝐷2 𝑥 + 4𝐷𝑥 + 𝐷2 𝑦 − 3𝐷𝑦 = 𝑡2 + 𝑒 𝑡 O bien, 𝐷𝑥 + 𝐷𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ( 𝐷2 + 4𝐷) 𝑥 + ( 𝐷2 − 3𝐷) 𝑦 = 𝑡2 + 𝑒 𝑡 Para resolverunsistemade ecuacionesdiferencialesordinariasmedianteeliminaciónsistemática debemosescribirloentérminosde operadoresdiferenciales,paradespuésrealizaroperaciones equivalentesalasrealizadasenel métodode “sumay resta”tradicionalesenlossistemasde ecuacioneslineales.Yasí,sin máspreámbulo,estamosencondicionesde resolvernuestros primerossistemasde ecuacionesdiferenciales. De aquí enadelante,enumeraremoslasecuacionesde unsistemacomoecuación1,ecuación2 y así sucesivamente. EJEMPLO 3: Un SED de primer ordencon condicionesiniciales Resolver 𝑥′ = 9 2 𝑦 𝑦′ = 2𝑥 𝑥(0) = 6, 𝑦(0) = 0 Solución: De maneraequivalente,entérminosde operadoresescribimos
2.
𝐷𝑥 − 9 2 𝑦 =
0 −2𝑥 + 𝐷𝑦 = 0 En este pasoaplicamosel métodode sumay restatradicional,de maneraque al multiplicarla ecuación1 por 2, y laecuación2 por 𝐷 tenemos 2𝐷𝑥 − 9𝑦 = 0 −2𝐷𝑥 + 𝐷2 𝑦 = 0 Al sumar ambasecuaciones 2𝐷𝑥 − 9𝑦 = 0 −2𝐷𝑥 + 𝐷2 𝑦 = 0 𝐷2 𝑦 − 9𝑦 = 0 Luego ( 𝐷2 − 9) 𝑦 = 0 O bien, 𝑦′′ − 9𝑦 = 0 (∗) que esuna ecuaciónlineal ordinariaconcoeficientesconstantes;pararesolverlasupongamosque 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑡 essoluciónde laecuacióndiferencial.Entoncescalculamossusderivadasysustituimos enla ecuación (∗) para obtenerlaecuaciónauxiliar: 𝑦′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑡 𝑦′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑡 (𝑚2 𝑒 𝑚𝑡)− 9( 𝑒 𝑚𝑡) = 0 ( 𝑚2 − 9) 𝑒 𝑚𝑡 = 0 Como 𝑒 𝑚𝑡 ≠ 0 entonces 𝑚2 − 9 = 0 ⇒ 𝑚 = ±3 Así, lasoluciónes 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒3𝑡 + 𝑐2 𝑒−3𝑡 Para obtenerlasolucióncorrespondiente a 𝑥( 𝑡) sustituimosenlaecuación2 del sistemaoriginal 𝑦′ = 2𝑥 para obtener
3.
𝑥 = 1 2 𝑦′ = 1 2 (3𝑐1
𝑒3𝑡 − 3𝑐2 𝑒−3𝑡) De donde 𝑥( 𝑡) = 3 2 𝑐1 𝑒3𝑡 − 3 2 𝑐2 𝑒−3𝑡 Para finalizar,evaluamoslascondiciones 𝑥(0) = 6, y 𝑦(0) = 0, de donde 𝑥( 𝑡) = 3 2 𝑐1 − 3 2 𝑐2 = 6 𝑦(0) = 𝑐1 + 𝑐2 = 0 Si resolvemosel sistemasimultáneamentetenemos 𝑐1 = 2 y 𝑐2 = −2. La soluciónal sistemaes entonces 𝑥 = 3 𝑒3𝑡 + 3 𝑒−3𝑡 𝑦 = 2𝑒3𝑡 − 2𝑒−3𝑡. EJEMPLO 4: Un SED de primer ordencon condicionesiniciales Resolver 𝑥′ + 2𝑥 − 2𝑦′ = 0 −2𝑥 + 𝑦′ − 3𝑦 = 0 𝑥(0) = 0, 𝑦(0) = 14 Solución: De maneraequivalente,escribimosentérminosde operadores ( 𝐷 + 2) 𝑥 − 2𝐷𝑦 = 0 −2𝑥 + ( 𝐷 − 3) 𝑦 = 0 Multiplicandolaecuación1por 2, la ecuación2 por D+2 y sumamos Luego, ( 𝐷2 − 5𝐷 − 6) 𝑦 = 0 Le asociamossuecuaciónauxiliar 2 ( 𝐷 + 2) 𝑥 − 4𝐷𝑦 = 0 −2( 𝐷 + 2) 𝑥 + ( 𝐷 − 3)( 𝐷 + 2) 𝑦 = 0 ( 𝐷 − 3)( 𝐷 + 2) 𝑦 − 4𝐷𝑦 = 0
4.
𝑚2 − 5𝑚
− 6 = 0 La cual tiene raíces 𝑚 = 6 y 𝑚 = −1. Entoncesla soluciónes 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒6𝑡 + 𝑐2 𝑒−𝑡 Para obtenerlasolucióncorrespondiente a 𝑥( 𝑡) sustituimosenlaecuación2 del sistemaoriginal −2𝑥 + 𝑦′ − 3𝑦 = 0, para obtener 2𝑥 = 𝑦′ − 3𝑦 = (6𝑐1 𝑒6𝑡 − 𝑐2 𝑒−𝑡)− 3(𝑐1 𝑒6𝑡 + 𝑐2 𝑒−𝑡) De donde 𝑥(𝑡) = 2 3 𝑐1 𝑒6𝑡 − 2𝑐2 𝑒−𝑡 . Para finalizar,evaluamoslascondiciones 𝑥(0) = 0, 𝑦(0) = 14 𝑥(0) = 3 2 𝑐1 − 2𝑐2 = 0 𝑦(0) 𝑐1 + 𝑐2 = 14 Si resolvemosel sistema simultáneotenemos 𝑐1 = 8 y 𝑐2 = 6.La soluciónal sistemaes 𝑥 = 12𝑒6𝑡 − 12 𝑒−𝑡 y 𝑦 = 8𝑒6𝑡 + 6𝑒−𝑡. Si consideramos unSED con dosvariablesdependientespodemosobservarque unavezque se ha obtenidounaprimerasolución,lasegundapuede obtenerse de diferentesformas:porsustitución encualquierade lasecuacionesopor eliminaciónsistemáticade laotra variable dependiente.En cualquierade loscasos,el grado de dificultadencontradonoesel mismoysoloconla resolución de muchosejerciciospuede distinguirse cuál eslamásconveniente. Otra formadiferente de resolverlos ejerciciosanterioresesutilizandodeterminantes.Estoes posible cuandose trabajacon unSED que tiene tantasecuacionesordinariascomo variables dependientes.Paraempezar,expresamosel sistemaentérminosde operadoresdiferenciales ubicandolostérminosconlasvariablesdependientesalaizquierdaylasfuncionesindependientes a la derecha.Se considerael determinanteformadoportodosloscoeficientesde lasvariables dependientesyse aplicalareglade Cramer.Esto se ilustraenlossiguientes ejemplos. EJEMPLO 5: Uso de la regla de Cramer para resolverun SED ordinarias Resolver 𝑥′ = 9 2 𝑦 𝑦′ = 2𝑥
5.
Solución: Iniciamosexpresandoel SEDentérminosde operadoresdiferenciales 𝐷𝑥
− 9 2 𝑦 = 0 −2𝑥 + 𝐷𝑦 = 0 Si consideramosel sistemaanteriorcomounsistemade dosecuacionesenlasdosvariables 𝑥 y 𝑦, tenemos | 𝐷 − 9 2 −2 𝐷 | 𝑥 = |0 − 9 2 0 𝐷 | Y además | 𝐷 − 9 2 −2 𝐷 | 𝑦 = | 𝐷 0 −2 0 | Si resolvemoslasegundaecuaciónobtenemos ( 𝐷2 − 9) 𝑦 = 0,que resultaserlamismaecuación ordinariaobtenidaenel ejemplo3,lacual produce 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒3𝑡 + 𝑐2 𝑒−3𝑡. A continuaciónpodemosaplicarexactamente el mismoprocedimientoilustradoenel ejemplo3 para obtener 𝑥(𝑡) = 3 2 𝑐1 𝑒3𝑡 − 3 2 𝑐2 𝑒−3𝑡,obienconsiderarlaprimeraecuación | 𝐷 − 9 2 −2 𝐷 | 𝑥 = |0 − 9 2 0 𝐷 | que produce la ecuaciónordinaria ( 𝐷2 − 9) 𝑥 = 0 consolución 𝑥(𝑡) = 𝑐3 𝑒3𝑡 + 𝑐4 𝑒−3𝑡. En este caso,debemosencontrarlarelaciónentre lasconstantesde integración 𝑐3 y 𝑐4con 𝑐1 y 𝑐2; para esto,sustituimosambasfunciones 𝑥( 𝑡) = 𝑐3 𝑒3𝑡 + 𝑐4 𝑒−3𝑡 y 𝑦( 𝑡) = 𝑐1 𝑒3𝑡 + 𝑐2 𝑒−3𝑡 en cualquierade lasecuacionesoriginales.Si utilizamoslasegundade ellas 𝑦′ = 2𝑥 tenemos 3𝑐1 𝑒3𝑡 − 3𝑐2 𝑒−3𝑡 = 2(𝑐3 𝑒3𝑡 − 𝑐4 𝑒−3𝑡) de donde 𝑐3 = 3 2 𝑐1 𝑦 𝑐4 = − 3 2 , para concluirque 𝑥(𝑡) = 3 2 𝑐1 𝑒3𝑡 − 3 2 𝑐2 𝑒−3𝑡, comoen el ejemplo3. EJEMPLO 6: Un SED no homogéneo Resolver 𝑥′ − 𝑥 − 𝑦 = 𝑡 −2𝑥 + 𝑦′ − 2𝑦 = 𝑒 𝑡
6.
Solución: De maneraequivalente,escribimos 𝐷𝑥 −
𝑥 − 𝑦 = 𝑡 −2𝑥 + 𝐷𝑦 − 2𝑦 = 𝑒 𝑡 O bien, ( 𝐷 − 1) 𝑥 − 𝑦 = 𝑡 −2𝑥 + ( 𝐷 − 2) 𝑦 = 𝑒 𝑡 Se tienenlosdeterminantes ∆= | 𝐷 − 1 −1 −2 𝐷 − 2 | 𝑥 = ∆1 ∆ 𝑦 = ∆2 ∆ O bien, ∆𝑥 = ∆1 ⇒ | 𝐷 − 1 −1 −2 𝐷 − 2 | 𝑥 = | 𝑡 −1 𝑒 𝑡 𝐷 − 2 | ∆𝑦 = ∆2 ⇒ | 𝐷 − 1 −1 −2 𝐷 − 2 | 𝑦 = | 𝐷 − 1 𝑡 −2 𝑒 𝑡| Eligiendoel primerode ellostenemos | 𝐷 − 1 −1 −2 𝐷 − 2 | = ( 𝐷 − 1)( 𝐷 − 2) − (−1)(−2) = 𝐷2 − 2𝐷 − 𝐷 + 2 − 2 = 𝐷2 − 3𝐷 | 𝑡 −1 𝑒 𝑡 𝐷 − 2 | = ( 𝐷 − 2) 𝑡 − (−1) 𝑒 𝑡 = ( 𝐷 − 2) 𝑡 + 𝑒 𝑡 Así, ( 𝐷2 − 3𝐷) 𝑥 = ( 𝐷 − 2)( 𝑡) + 𝑒 𝑡 = 𝐷𝑡 − 2𝑡 + 𝑒 𝑡 O bien, ( 𝐷2 − 3𝐷) 𝑥 = 1 − 2𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑥′′ − 3𝑥′ = 1 − 2𝑡 + 𝑒 𝑡
7.
Obteniendoasíuna ecuacióndiferencial ordinarialineal
no homogénea,recordemosque la solucióngeneral de laEDOLNHesde laforma 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 donde 𝑦𝑐 esla solucióngeneral de la ecuación homogéneaasociaday 𝑦𝑝 esuna soluciónparticularde laecuación. Aquí lasolucióngeneral es 𝑥 = 𝑥 𝑐 + 𝑥 𝑝 Calculamos 𝑥 𝑐,laecuaciónhomogéneaasociadaes 𝑥′′ − 3𝑥′ = 0 Resolviendoobtenemos 𝑥 = 𝑒 𝑚𝑡 ⇒ 𝑥′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑡 ⇒ 𝑥′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑡 ( 𝑚2 𝑒 𝑚𝑡) − 3( 𝑚𝑒 𝑚𝑡) = 0 ⇒ 𝑒 𝑚𝑡( 𝑚2 − 3𝑚) = 0 ⇒ 𝑚2 − 3𝑚 = 0 ⇒ 𝑚( 𝑚 − 3) = 0 ⇒ 𝑚 = 0 ⌃ 𝑚 = 3 Entoncesla soluciónes 𝑥 𝑐 = 𝑐1 𝑒0𝑡 + 𝑐2 𝑒3𝑡 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑒3𝑡 Ahoracalculamos 𝑦𝑝. Tenemos 𝑥′′ − 3𝑥′ = 1 − 2𝑡 + 𝑒 𝑡.Proponemoscomosolucióna 𝑥 𝑝 = 𝐴𝑒 𝑡 + 𝐵𝑡2 + 𝐶𝑡 ⇒ 𝑥 𝑝 ′ = 𝐴𝑒 𝑡 + 2𝐵𝑡 + 𝐶 ⇒ 𝑥 𝑝 ′′ = 𝐴𝑒 𝑡 + 2𝐵 Sustituyendoenlaecuación nohomogénea 𝐴𝑒 𝑡 + 2𝐵 − 3( 𝐴𝑒 𝑡 + 2𝐵𝑡 + 𝐶) = 1 − 2𝑡 + 𝑒 𝑡 𝐴𝑒 𝑡 + 2𝐵 − 3𝐴𝑒 𝑡 − 6𝐵𝑡 − 3𝐶 = 1 − 2𝑡 + 𝑒 𝑡 −2𝐴𝑒 𝑡 − 6𝐵𝑡 + 2𝐵 − 3𝐶 = 1 − 2𝑡 + 𝑒 𝑡 ⇒ { −2𝐴 = 1 ⇒ 𝐴 = 1 2 −6𝐵 = −2 ⇒ 𝐵 = 1 3 2𝐵 − 3𝐶 = 1 ⇒ 𝐶 = − 1 9
8.
Así 𝑥 𝑝 =
− 1 2 𝑒 𝑡 + 1 3 𝑡2 − 1 9 𝑡 Por tantola solucióngeneral es 𝑥 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑒3𝑡 + 1 3 𝑡2 − 1 9 𝑡 − 1 2 𝑒 𝑡 Para obtener 𝑦 hacemos 𝑥′ − 𝑥 − 𝑦 = 𝑡 𝑦 = 𝑥′ − 𝑥 − 𝑡 𝑦 = (3𝑐2 𝑒3𝑡 + 2 3 𝑡 − 1 9 − 1 2 𝑒 𝑡) − ( 𝑐1 + 𝑐2 𝑒3𝑡 + 1 3 𝑡2 − 1 9 𝑡 − 1 2 𝑒 𝑡) − 𝑡 𝑦 = 3𝑐2 𝑒3𝑡 + 2 3 𝑡 − 1 9 − 1 2 𝑒 𝑡 − 𝑐1 − 𝑐2 𝑒3𝑡 − 1 3 𝑡2 + 1 9 𝑡 + 1 2 𝑒 𝑡 − 𝑡 𝑦 = 2𝑐2 𝑒3𝑡 − 1 3 𝑡2 − 2 9 𝑡 − 1 9 − 𝑐1 .
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