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1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Demostraciones procesos de renovación
David Ocampo, Cod. 163023
14 de mayo de 2015
1. E(Nt) =
∞
k=1
P(Sk ≤ t)
Demostración
E(Nt) =
∞
k=1
P(Nt ≥ k)
=
∞
k=1
P(Sk ≤ t)
=
∞
k=1
Fk(t)
Donde Fk es la k-ésima convolución de la función de distribución.
2. Nt ≥ k ⇔ Sk ≤ t
Demostración
Nt ≥ k si y solo si, en el intervalo de tiempo (0, t] han ocurrido al menos
k renovaciones y esto se tiene, si y solo si, el instante de ocurrencia de la
k-ésima renovación es menor o igual a t
3. Se tiene que m(t) := E(Nt) es el valor medio del proceso de renovación, y
¯m(t) es la derivada y se llama densidad de renovación, ahora se tiene
m∗
(t) = L(m(t))
=
∞
k=1
F∗
k (s)
=
1
s
∞
k=1
f∗
k (s)
=
1
s
∞
k=1
[f∗
(s)]k
=
1
s
[
f∗
(s)
1 − f∗(s)
]
1

2. De allí se obtiene que
f∗
(s) =
sm∗
(s)
1 + sm∗(s)
Ejemplo:
m(t) = λt
m∗
(s) =
λ
s2
= L(m(s))
f∗
(s) =
sm∗
(s)
1 + sm∗(s)
=
λ
λ + s2
Luego haciendo transformada inversa se tiene que: f(t) = λe−λt
4. E(τ) < ∞ ⇒ E(
τ
i=1
Xi) = E(τ)E(Xi)
Demostración
In =
1 si n ≤ τ
0 e.o.c.
⇒
∞
n=1
XnIn =
τ
i=1
Xn In es independiente de Xn, por lo tanto
E(
τ
n=1
Xn) = E(
∞
n=1
)
=
∞
n=1
E(XnIn)
=
∞
n=1
E(X1In)
= E(X1)
∞
n=1
E(In)
= E(X1)
∞
n=1
P(τ ≥ n)
= E(X1)E(τ)
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