(1era eval ed)_2_t_2017_solucion&rubrica(vf) (1)-1

Elaborado por: Antonio Chong Escobar, Ph.D., coordinador de la materia.
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AÑO: 2017 - 2018 PERIODO: SEGUNDO TÉRMINO
MATERIA: ECUACIONES
DIFERENCIALES
PROFESORES: Wilfredo Angulo, Jennifer Avilés, E.
Johni Bustamante, Antonio Chong, Liliana Pérez, Pedro
Ramos, Eduardo Rivadeneira, Janet Valdiviezo.
EVALUACIÓN: PRIMERA FECHA: 27 NOVIEMBRE 2017
RESOLUCION Y CRITERIOS DE CALIFICACION
Tema 1 (16 Puntos)
Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA,
justificando correctamente sus respuestas.
Literal a (4 Puntos)
Si 𝑆 𝑛 =
2𝑛−1
𝑛+5
es la n-ésima suma parcial de la serie ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 , entonces el valor de suma de la
serie ∑ [𝑏 𝑛 +
1
𝑛(𝑛+1)
]∞
𝑛=1 es igual a 3.
Desarrollo:
Aplicando propiedad de linealidad: ∑ [𝑏 𝑛 +
1
𝑛(𝑛+1)
]∞
𝑛=1 = ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 + ∑
1
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 .
La primera serie tiene valor de suma: ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 = lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 = lim
𝑛→∞
2𝑛−1
𝑛+5
= lim
𝑛→∞
2−
1
𝑛
1+
5
𝑛
= 2.
Para la segunda serie se utiliza descomposición en fracciones parciales como sigue:
1
𝑛(𝑛+1)
=
𝐴
𝑛
+
𝐵
𝑛+1
→ 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑛 + 𝐴 → 0 = 𝐴 + 𝐵 ; 𝐴 = 1 → 𝐵 = −1. Así,
1
𝑛(𝑛+1)
=
1
𝑛
−
1
𝑛+1
.
De este modo, la segunda serie tiene valor de suma:
∑
1
𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
= ∑ (
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
) =
∞
𝑛=1
(1 −
1
2
) + (
1
2
−
1
3
) + (
1
3
−
1
4
) + ⋯ + (
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
) + ⋯ = lim
𝑛→∞
(1 −
1
𝑛 + 1
) = 1
Por lo tanto, ∑ [𝑏 𝑛 +
1
𝑛(𝑛+1)
]∞
𝑛=1 = 3. La proposición es VERDADERA.
CRITERIO DE CALIFICACION
El estudiante:
PUNTAJE
Aplica propiedad de linealidad. 0.5 P
Obtiene el valor de suma de la serie ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 . 1.0 P
Obtiene el valor de suma de la serie ∑
1
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 . 1.0 P
Determina el valor de suma de la serie por la que se pregunta. 0.5 P
Concluye que la proposición es VERDADERA. 1.0 P
TOTAL 4.0 P

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Literal b (4 Puntos)
La serie ∑
(−1) 𝑛+1
√𝑛+3
∞
𝑛=0 es absolutamente convergente.
Desarrollo:
Se analiza la serie ∑ |
(−1) 𝑛+1
√𝑛+3
|∞
𝑛=0 = ∑
1
√𝑛+3
∞
𝑛=0 .
Una forma posible:
Desarrollando la serie ∑
1
√𝑛+3
∞
𝑛=0 =
1
√3
+ ∑
1
√𝑛+3
∞
𝑛=1 , se compara ∑
1
√𝑛+3
∞
𝑛=1 en el límite con ∑
1
𝑛1/2
∞
𝑛=1 , la cual es
una serie p con valor 𝑝 =
1
2
≤ 1 y por lo tanto divergente. Se calcula lim
𝑛→∞
1
√𝑛+3
1
𝑛1/2
= lim
𝑛→∞
1
√1+
3
𝑛
= 1 = L. Dado que L es
finito y positivo, ambas series (∑
1
√𝑛+3
∞
𝑛=1 𝑦 ∑
1
𝑛1/2
∞
𝑛=1 ) son divergentes. Por lo tanto, ∑
(−1) 𝑛+1
√𝑛+3
∞
𝑛=0 NO es
absolutamente convergente. La proposición es FALSA.
El estudiante:
PUNTAJE
Aplica valor absoluto al n-ésimo término de la serie dada. 0.5 P
Determina que la serie de términos positivos obtenida es divergente. 2.0 P
Concluye que la serie dada no es absolutamente convergente. 0.5 P
Concluye que la proposición es FALSA. 1.0 P
TOTAL 4.0 P
Literal c (4 Puntos)
La ecuación diferencial ordinaria 𝑦′ +
𝑎
𝑥
𝑦 =
𝑏
𝑥𝑦
donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ−
puede ser transformada en
una ecuación lineal que tiene como factor integrante a la función 𝑢(𝑥) = 𝑥−𝑎
.
Desarrollo:
La EDO es una ecuación de Bernoulli, que multiplicada por “𝑦” da como resultado: 𝑦𝑦′ +
𝑎
𝑥
𝑦2
=
𝑏
𝑥
.
Usando el cambio de variable: 𝑣 = 𝑦2
, se obtiene
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, con lo cual
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
Sustituyendo en la EDO se obtiene la ecuación:
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+
𝑎
𝑥
𝑣 =
𝑏
𝑥
, la cual es lineal y cuya forma canónica está dada
por:
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+
2𝑎
𝑥
𝑣 =
2𝑏
𝑥
. De aquí, su factor integrante es: 𝑢(𝑥) = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
= 𝑒∫
2𝑎
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑎𝑙𝑛(𝑥)
= 𝑥2𝑎
.
La proposición es FALSA.
El estudiante:
PUNTAJE
Indica el cambio de variable para que la ecuación de Bernoulli se transforme en una EDO lineal. 1.0 P
Aplicando el cambio de variable obtiene una EDO lineal. 1.0 P
Determina el factor integrante de la EDO lineal. 1.0 P
Concluye que la proposición es FALSA. 1.0 P
TOTAL 4.0 P
Literal d (4 Puntos)
La ecuación diferencial ordinaria 2𝑦𝑑𝑡 + 2𝑡𝑑𝑦 = −𝑡𝑦𝑑𝑡 no es exacta pero existe un factor
integrante que depende sólo de la variable 𝑡 que la convierte en exacta.
Desarrollo:
Agrupando términos se obtiene (2𝑦 + 𝑡𝑦)𝑑𝑡 + 2𝑡𝑑𝑦 = 0, y se define dos funciones: 𝑀(𝑦, 𝑡) = 2𝑦 + 𝑡𝑦 y
𝑁(𝑦, 𝑡) = 2𝑡. Para determinar si la EDO es exacta se obtienen las derivadas parciales:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2 + 𝑡, y
𝜕𝑁
𝜕𝑡
= 2.
Dado que éstas derivadas no son iguales, la EDO no es exacta. Ahora, se usa la expresión para buscar un factor
integrante que sólo dependa de la variable 𝑡, como sigue. 𝑅(𝑡) = 𝑒
∫
1
𝑁
(
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑡
)𝑑𝑡
= 𝑒∫
1
2𝑡
(𝑡)𝑑𝑡
= 𝑒∫
1
2
𝑑𝑡
= 𝑒
1
2
𝑡
.
Multiplicando la EDO por 𝑅(𝑡), las derivadas parciales
𝜕(𝑅𝑀)
𝜕𝑦
y
𝜕(𝑅𝑁)
𝜕𝑡
son iguales. Por lo tanto, existe un factor
integrante que depende sólo de la variable t. La proposición es VERDADERA.
El estudiante:
PUNTAJE
Identifica las funciones que son coeficientes de los diferenciales 𝑑𝑡 y 𝑑𝑦. 1.0 P
A partir del criterio de exactitud verifica que la EDO no es exacta. 1.0 P
Obtiene una función que depende sólo de la variable 𝑡 y verifica que es un factor integrante. 1.0 P
Concluye que la proposición es VERDADERA. 1.0 P
TOTAL 4.0 P

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Tema 2 (10 Puntos)
a) Deduzca la serie de potencias de 𝑓(𝑥) = arctan(𝑥) y luego obtenga la serie de potencias de
𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥).
b) Halle el intervalo de convergencia de la serie de potencias de 𝑔(𝑥).
c) Integrando la función 𝑔(𝑥) y su serie de potencias determine, de ser posible, el valor de
suma de la serie numérica ∑
(−1) 𝑛+1
(2𝑛+1)(2𝑛+3)
∞
𝑛=0 .
Desarrollo:
a) Se considera la serie de potencias geométrica ∑ 𝑥 𝑛∞
𝑛=0 =
1
1−𝑥
, la cual evaluada en "−𝑥2
" da como resultado
∑ (−1) 𝑛
𝑥2𝑛∞
𝑛=0 =
1
1+𝑥2. Al aplicar la integral, esto es, ∫(∑ (−1) 𝑛
𝑥2𝑛∞
𝑛=0 )𝑑𝑥 = ∫
1
1+𝑥2 𝑑𝑥, se obtiene
∑
(−1) 𝑛 𝑥2𝑛+1
2𝑛+1
∞
𝑛=0 = arctan(𝑥) = 𝑓(𝑥). Finalmente, multiplicando por la variable 𝑥, la función 𝑔(𝑥) está dada
por: 𝑔(𝑥) = 𝑥 arctan(𝑥) = ∑ (−1) 𝑛 𝑥2𝑛+2
2𝑛+1
∞
𝑛=0 .
El estudiante:
PUNTAJE
Deduce la serie para 𝑓(𝑥) = arctan(𝑥). 2.0 P
Obtiene la serie para 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥). 2.0 P
TOTAL 4.0 P
b) Considerando que en la variable 𝑥 se va a sustituir una constante, se aplica el criterio del cociente absoluto
para hallar el intervalo de convergencia de 𝑔(𝑥) = ∑
(−1) 𝑛 𝑥2𝑛+2
2𝑛+1⏟
𝑎 𝑛
∞
𝑛=0 como sigue: lim
𝑛→∞
|
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
| =
lim
𝑛→∞
|
(−1) 𝑛+1 𝑥2(𝑛+1)+2
2(𝑛+1)+1
(−1) 𝑛 𝑥2𝑛+2
2𝑛+1
| = 𝑥2
lim
𝑛→∞
(
2𝑛+1
2𝑛+3
) = 𝑥2
lim
𝑛→∞
(
2+
1
𝑛
2+
3
𝑛
) = 𝑥2
< 1 ≡ |𝑥| < 1. Así, el radio de convergencia es
igual a 1. Analizando los extremos del intervalo, se tiene que tanto para 𝑥 = 1 como para 𝑥 = −1, la serie
numérica resultante es: ∑
(−1) 𝑛
2𝑛+1
∞
𝑛=0 . Esta es una serie alternada con 𝑏 𝑛 =
1
2𝑛+1
, la cual satisface las condiciones
de decreciente y positiva. Además, puesto que lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = lim
𝑛→∞
1
2𝑛+1
= 0, entonces la serie alternada es
convergente. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.
El estudiante:
PUNTAJE
Obtiene el radio de convergencia. 1.5 P
Analiza la convergencia de los extremos del intervalo obtenido y determina el intervalo de
convergencia.
1.5 P
TOTAL 3.0 P
c) Al integrar la función 𝑔(𝑥) y su serie de potencias, esto es, ∫ 𝑥 arctan(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (∑
(−1) 𝑛 𝑥2𝑛+2
2𝑛+1
∞
𝑛=0 ) 𝑑𝑥, se realiza
integración por partes para la integral de la izquierda:
𝑥2
2
arctan(𝑥) −
𝑥
2
+
1
2
arctan(𝑥) = ∑
(−1) 𝑛 𝑥2𝑛+3
(2𝑛+1)(2𝑛+3)
∞
𝑛=0 .
Contrastando la serie de éste resultado, con la serie numérica para la cual se pide su valor de suma, se observa
que para hallar dicho valor de suma se debe sustituir 𝑥 = −1 en la serie ∑
(−1) 𝑛 𝑥2𝑛+3
(2𝑛+1)(2𝑛+3)
∞
𝑛=0 . Tal reemplazo es válido
debido a que el intervalo de convergencia para 𝑔(𝑥) incluye a 𝑥 = −1, y por ello el intervalo de convergencia para
la serie que se obtiene de la integral de 𝑔(𝑥) también incluye a 𝑥 = −1. Sustituyendo 𝑥 = −1 se obtiene:
(−1)2
2
arctan(−1) −
(−1)
2
+
1
2
arctan(−1) = ∑
(−1) 𝑛(−1)2𝑛+3
(2𝑛+1)(2𝑛+3)
∞
𝑛=0 → ∑
(−1) 𝑛+1
(2𝑛+1)(2𝑛+3)
∞
𝑛=0 =
1
2
−
𝜋
4
.
El estudiante:
PUNTAJE
Integra la función 𝑔(𝑥) y su serie de potencias. 1.5 P
Determina el valor a sustituir en la integral de la función 𝑔(𝑥) y la integral de su serie de
potencias a fin de hallar el valor de suma que se pide.
0.5 P
Obtiene el valor de suma que se pide. 1.0 P
TOTAL 3.0 P

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Tema 3 (8 Puntos)
Determine la solución del problema de valor inicial:
𝑣 ln (
𝑢
𝑣
) 𝑑𝑢 = (𝑢 𝑙𝑛(𝑢) − 𝑢 𝑙𝑛(𝑣) − 𝑣)𝑑𝑣 ; 𝑣(1) = 1
Desarrollo:
Se re-escribe la EDO para obtener:
𝑣 ln (
𝑢
𝑣
) 𝑑𝑢 = (𝑢 𝑙𝑛 (
𝑢
𝑣
) − 𝑣) 𝑑𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑣
=
𝑢 𝑙𝑛 (
𝑢
𝑣
) − 𝑣
𝑣 ln (
𝑢
𝑣
)
𝑑𝑢
𝑑𝑣
=
𝑢
𝑣
−
1
ln (
𝑢
𝑣
)
Esta EDO es homogénea y se realiza el cambio de variable: 𝑤 =
𝑢
𝑣
→ 𝑢 = 𝑣𝑤 →
𝑑𝑢
𝑑𝑣
= 𝑤 + 𝑣
𝑑𝑤
𝑑𝑣
.
Sustituyendo en la ecuación se obtiene:
𝑤 + 𝑣
𝑑𝑤
𝑑𝑣
= 𝑤 −
1
ln(𝑤)
𝑣
𝑑𝑤
𝑑𝑣
= −
1
ln(𝑤)
ln(𝑤) 𝑑𝑤 = −
𝑑𝑣
𝑣
∫ ln(𝑤) 𝑑𝑤 = − ∫
𝑑𝑣
𝑣
𝑤 ln(𝑤) − 𝑤 = −ln(𝑣) + 𝑐 , 𝑐 ∈ ℝ
Sustituyendo 𝑤 =
𝑢
𝑣
para expresar la solución en términos de las variables originales, se obtiene la familia mono-
paramétrica de soluciones:
𝑢
𝑣
ln (
𝑢
𝑣
) −
𝑢
𝑣
= −ln(𝑣) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ
Para hallar el valor de la constante 𝑐, se sustituye 𝑣(1) = 1:
ln(1) − 1 = −ln(1) + 𝑐
𝑐 = −1
Finalmente, la solución del problema de valor inicial está dada por:
𝑢
𝑣
ln (
𝑢
𝑣
) −
𝑢
𝑣
= −ln(𝑣) − 1
El estudiante:
PUNTAJE
Resuelve la EDO indicando claramente los cambios de variable utilizados y la familia mono-
paramétrica de soluciones obtenida en términos de las variables originales.
5.0 P
Determina la constante de integración. 2.0 P
Indica la solución del problema de valor inicial. 1.0 P
TOTAL 8.0 P

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Tema 4 (8 Puntos)
Considere que la tasa a la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del ambiente, donde esta última se considera
constante. Si una barra metálica, con temperatura inicial de 20℃, cae en un recipiente de agua
hirviendo, y se conoce que la temperatura de la barra aumenta 2℃ en un segundo, obtenga una
expresión para la temperatura de la barra para cualquier instante t, y además determine cuánto
tiempo debe transcurrir desde que la barra cae en el recipiente a fin de que alcance una
temperatura de 97 ℃.
Desarrollo:
Se define la función incógnita del problema:
T(𝑡): Temperatura de la barra metálica a los t segundos [℃].
Modelo matemático a ser usado:
𝑑T
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑡 𝑎), donde 𝑡 𝑎 es la temperatura del ambiente.
Dado que la proceso de transferencia de calor se considera desde el instante en el que la barra metálica ingresa al
agua hirviendo, lo cual se va a considerar que ocurre a los 100℃, el agua hirviendo es el medio en el que se
desarrolla el proceso. Por lo tanto, 𝑡 𝑎 = 100℃.
Además, de acuerdo a las condiciones dadas se tiene el siguiente problema:
𝑑T
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 100) , 𝑇(0) = 20℃ , 𝑇(1) = 22℃ , 𝑇(𝑡 =? ) = 97℃.
Resolviendo la ecuación diferencial:
𝑑T
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 100)
𝑑T
𝑇 − 100
= 𝑘𝑑𝑡
∫
𝑑T
𝑇 − 100
= ∫ 𝑘𝑑𝑡
ln(𝑇 − 100) = 𝑘𝑡 + 𝑐 , 𝑐 ∈ ℝ
𝑇 − 100 = 𝑒 𝑘𝑡+𝑐
𝑇 − 100 = 𝑒 𝑘𝑡
𝑒 𝑐
𝑇(𝑡) = 100 + 𝑐1 𝑒 𝑘𝑡
, 𝑐1 ∈ ℝ
Sustituyendo la condición inicial: 𝑇(0) = 20℃:
100 + 𝑐1 = 20 → 𝑐1 = −80, con lo cual 𝑇(𝑡) = 100 − 80𝑒 𝑘𝑡
, 𝑐1 ∈ ℝ
Sustituyendo la condición: 𝑇(1) = 22℃:
100 − 80𝑒 𝑘
= 22 → 𝑘 = 𝑙𝑛 (
78
80
). Así, la solución del problema está dada por: 𝑇(𝑡) = 100 − 80 (
78
80
)
𝑡
[℃]
Finalmente, se halla el tiempo para que la temperatura de la barra alcance los 97℃:
𝑇(𝑡 =? ) = 97℃ → 100 − 80 (
78
80
)
𝑡
= 97 → 𝑡 =
𝑙𝑛(
3
80
)
𝑙𝑛(
78
80
)
[s].
El estudiante:
PUNTAJE
Define la función incógnita del problema. 1.0 P
Plantea el modelo matemático a ser usado, indicando la temperatura del ambiente, la
condición inicial, la condición adicional.
2.0 P
Resuelve la ecuación diferencial, obteniendo una solución en términos de la constante de
integración y de la constante de proporcionalidad.
2.0 P
Halla la constante de integración. 0.5 P
Halla la constante de proporcionalidad. 0.5 P
Indica la función de temperatura buscada y la unidad en la que está dada, esto es, ℃. 1.0 P
Obtiene el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura de la barra alcance los 97℃. 1.0 P
TOTAL 8.0 P

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Tema 5 (8 Puntos)
Encuentre la solución 𝑦(𝑥) del siguiente problema de valor inicial, usando el cambio de
variable 𝑧 = 𝑥 + 2, con lo cual el problema puede ser resuelto primero para 𝑦(𝑧).
(𝑥 + 2)2
𝑦′′(𝑥) + (𝑥 + 2)𝑦′(𝑥) − 2𝑦(𝑥) = 0, 𝑥 ∈ [0, +∞),
𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0
Desarrollo:
Para aplicar el cambio de variable 𝑧 = 𝑥 + 2, el cual implica que
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 1, se deben deducir las expresiones para
𝑑𝑦
𝑑𝑥
y
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 como sigue:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑧
=
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 =
𝑑(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
𝑑𝑥
=
𝑑(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑧
=
𝑑(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑑(
𝑑𝑦
𝑑𝑧
)
𝑑𝑧
=
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2
Sustituyendo el cambio de variable 𝑧 = 𝑥 + 2, y las expresiones para
𝑑𝑦
𝑑𝑥
y
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2, la EDO se transforma en la siguiente
ecuación de Cauchy-Euler: 𝑧2 𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2 + 𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧
− 2𝑦(𝑧) = 0
Se conoce que estas ecuaciones se transforman en ecuaciones de coeficientes constantes al realizar el cambio de
variable: 𝑧 = 𝑒 𝑡
, con lo que cual 𝑡 = ln(𝑧) →
𝑑𝑡
𝑑𝑧
=
1
𝑧
= 𝑒−𝑡.
Además, se debe deducir las expresiones que van a sustituir a
𝑑𝑦
𝑑𝑧
y
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2 como sigue:
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑧
= 𝑒−𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧2
=
𝑑 (
𝑑𝑦
𝑑𝑧
)
𝑑𝑧
=
𝑑 (
𝑑𝑦
𝑑𝑧
)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑 (
𝑑𝑦
𝑑𝑧
)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑧
=
𝑑 (𝑒−𝑡 𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
𝑑𝑡
𝑒−𝑡
= (−𝑒−𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑒−𝑡
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
) 𝑒−𝑡
= 𝑒−2𝑡
(
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
−
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
Sustituyendo las expresiones para 𝑧,
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2 se obtiene:
𝑒2𝑡
𝑒−2𝑡
(
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) + 𝑒 𝑡
𝑒−𝑡 𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 2𝑦 = 0 → (
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 2𝑦 = 0 →
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡2 − 2𝑦 = 0
Para resolver una ecuación lineal homogénea de coeficientes constantes se plantea la solución 𝑦(𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡
donde r
es una constante que debe ser hallada. Además,
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑟𝑒 𝑟𝑡
y
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡2 = 𝑟2
𝑒 𝑟𝑡
.
Sustituyendo la solución planteada y sus derivadas en la ecuación se obtiene:
𝑟2
𝑒 𝑟𝑡
− 2𝑒 𝑟𝑡
= 0 → 𝑒 𝑟𝑡(𝑟2
− 2) = 0 → Ecuación Auxiliar: 𝑟2
− 2 = 0 → 𝑟1 = √2 y 𝑟2 = −√2.
Así, para el caso de soluciones reales diferentes para 𝑟 se puede verificar que las dos soluciones obtenidas son
linealmente independientes, es decir, las soluciones: 𝑦1(𝑡) = 𝑒√2𝑡 y 𝑦2(𝑡) = 𝑒−√2𝑡
.
La solución general está dada por la combinación lineal: 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑦1(𝑡) + 𝑐2 𝑦2(𝑡), 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ
𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒√2𝑡 + 𝑐2 𝑒−√2𝑡
, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ
Expresando esta solución en términos de 𝑧 se obtiene: 𝑦(𝑧) = 𝑐1 𝑧√2 + 𝑐2 𝑧−√2
, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.
Por lo tanto, regresando a la variable 𝑥 se obtiene: 𝑦(𝑥) = 𝑐1(𝑥 + 2)√2 + 𝑐2(𝑥 + 2)−√2
, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.
Para calcular las constantes 𝑐1 y 𝑐2 se sustituye las condiciones iniciales en 𝑦(𝑥) y en su derivada como sigue:
𝑦′
(𝑥) = 𝑐1√2(𝑥 + 2)√2−1 − 𝑐2√2(𝑥 + 2)−√2−1
𝑦(0) = 1: 𝑐1(2)√2 + 𝑐2(2)−√2
= 1
𝑦′(0) = 0: 𝑐1√2(2)√2−1 − 𝑐2√2(2)−√2−1
= 0
Multiplicando la segunda ecuación por
2
√2
y sumando el resultado con la primera ecuación se obtiene: 𝑐1 = 2−√2−1
,
luego sustituyendo 𝑐1en la segunda ecuación se obtiene: 𝑐2 = 2√2−1.
Finalmente, la solución del problema de valor inicial está dado por: 𝑦(𝑥) = 2−√2−1
(𝑥 + 2)√2 + 2√2−1(𝑥 + 2)−√2
.
El estudiante:
PUNTAJE
Aplica el cambio de variable 𝑧 = 𝑥 + 2, deduciendo las sustituciones para 𝑦′
y 𝑦′
′. 1.0 P
Realiza un segundo cambio de variable para transformar la ecuación de Cauchy-Euler en
una ecuación de coeficientes constantes, deduciendo las sustituciones para
𝑑𝑦
𝑑𝑧
y
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2.
2.0 P
Plantea la solución de la ecuación de coeficientes constantes obtenida y halla las soluciones
de la ecuación auxiliar.
1.0 P
Obtiene la solución de la ecuación de coeficientes constantes en términos de la variable 𝑡. 1.0 P
Indica la solución en términos de la variable 𝑧 y luego en términos de la variable 𝑥. 1.0 P
Halla las constantes 𝑐1 y 𝑐2 de la solución general. 1.0 P
Indica la solución del problema de valor inicial. 1.0 P
TOTAL 8.0 P

(1era eval ed)_2_t_2017_solucion&rubrica(vf) (1)-1

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