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- 1. Matemática Aplicada PNF SCA Unidad I PARTE II
- 2. Matemática Aplicada PNF SCA Unidad I PARTE II: Ecuaciones diferenciales de primer orden. En esta sección trabajaremos con las ecuaciones diferenciales (EDO) de primer orden. Primero aprenderemos a identificar cada una y luego aplicaremos métodos para resolverlas, el método dependerá del tipo de ecuación. Para resolver las ecuaciones diferenciales se tendrá que integrar y quizás requieras una técnica en especial. Convendrá hacer un repaso de la unidad curricular cálculo II. Por muchos años los matemáticos han tratado de resolver muchas ecuaciones especializadas, por eso hay diversos métodos, sin embargo, lo que funciona bien con un tipo de ecuación diferencial no necesariamente se aplica a otro. 1.2.1 Ecuaciones Diferenciales Separables Definición 1: La ecuación diferencial de primer orden 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐻(𝑥, 𝑦) se llama separable si la función 𝐻(𝑥, 𝑦) puede escribirse como el producto de una función de x y una función de y, o lo que es equivalente, como un cociente 𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑦) En este caso las variables pueden ser separadas escribiendo de manera informal 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Ejemplo 1: Identifique la ecuación diferencial (1 + x)dy − ydx = 0. Solución: Para identificar la ecuación diferencial de variable separable despejamos y llevamos a la forma 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 Despejando tenemos (1 + 𝑥)𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 (1+𝑥) Así la ecuación diferencial (1 + x)dy − ydx = 0 es de variables separables.
- 3. Matemática Aplicada PNF SCA 2.- 2𝑦(𝑥 + 1)𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 3.- 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (1 + 𝑥2 )− 1 2(1 + 𝑦2 ) 1 2 1.2.2 Ecuación Diferencial Exacta. Teorema 1: Consideremos la ecuación diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0. Sean 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦) continuas con derivadas parciales continuas en una región rectangular 𝑅 definida por 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑦 < 𝑑 . Entonces la condición necesaria y suficiente para que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 sea una diferencial exacta es que 𝜕 𝜕𝑦 𝑀( 𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑥 𝑁( 𝑥, 𝑦) Ejemplo 2: Verificar si la ecuación diferencial es exacta a) 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0 b) 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0 Solución: a) En la ecuación diferencial 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0, 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 y 𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 1) Derivando 𝑀 con respecto a 𝑦 y a 𝑁 con respecto y 𝑥, se tiene, 𝜕 𝜕𝑦 𝑀( 𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑦 (2𝑥𝑦) = 2𝑥 𝜕 𝜕𝑥 𝑁( 𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑥2 − 1) = 2𝑥 Por teorema anterior, 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0 es exacta.
- 4. Matemática Aplicada PNF SCA b) En la ecuación diferencial 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0, 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2 y 𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 1) Derivando 𝑀 con respecto a 𝑦 y a 𝑁 con respecto y 𝑥, se tiene, 𝜕 𝜕𝑦 𝑀( 𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝑥𝑦2 ) = 2𝑦𝑥 𝜕 𝜕𝑥 𝑁( 𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑥2 − 1) = 2𝑥 Como 𝜕 𝜕𝑦 𝑀( 𝑥, 𝑦) ≠ 𝜕 𝜕𝑥 𝑁( 𝑥, 𝑦) La ecuación diferencial 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0 no es exacta. 1.2.3 Ecuación Diferencial Lineal. Definición 2: Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma 𝑎1(𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) (1) es una ecuación lineal. Para obtener una forma más útil de la ecuación (1), dividimos por el coeficiente 𝑎1(𝑥), así obtenemos la forma estándar de la ecuación lineal, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) (2)
- 5. Matemática Aplicada PNF SCA Ejemplo 3: 1.- Verificad si la ecuación diferencial es lineal. a) 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4𝑦 = 𝑥6 𝑒 𝑥 Solución: Veamos si la ecuación diferencial 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4𝑦 = 𝑥6 𝑒 𝑥 se puede expresar en la forma estándar. Dividimos entre 𝑥 a ambos lados de 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4𝑦 = 𝑥6 𝑒 𝑥 , así obtenemos, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4 𝑥 𝑦 = 𝑥5 𝑒 𝑥 entonces 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥), donde 𝑃(𝑥) = − 4 𝑥 y 𝑓(𝑥) = 𝑥5 𝑒 𝑥 . Así, le ecuación diferencial 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 4𝑦 = 𝑥6 𝑒 𝑥 es lineal. 1.2.4 Ecuación Diferencial Homogénea. Definición 1: Cuando una función tiene la propiedad 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝛼 𝑓(𝑥, 𝑦) con 𝛼 ∈ 𝑅 se dice que 𝑓 es una función homogénea de grado 𝛼. Ejemplo 4: La función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 es homogénea de grado 2, en efecto, 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)2 + (𝑡𝑦)2 = 𝑡2 𝑥2 + 𝑡2 𝑦2 = 𝑡2 (𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑡2 𝑓(𝑥, 𝑦)
- 6. Matemática Aplicada PNF SCA Definición 2: Una ecuación diferencial de primer orden 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es homogénea si los coeficientes 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) a la vez, son homogéneas del mismo grado. Es decir, 𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝛼1 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝛼2 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝛼1 = 𝛼2 Ejemplo 5: Verificar si la siguiente ecuación diferencial es homogénea. (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 Solución: Utilizando la definición 2, verifiquemos que 𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2) y 𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 𝑥𝑦) son homogéneas del mismo grado. 𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)2 + (𝑡𝑦)2 𝑁(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)2 − (𝑡𝑥)(𝑡𝑦) = 𝑡2 𝑥2 + 𝑡2 𝑦2 = 𝑡2 𝑥2 − 𝑡2 𝑥𝑦 = 𝑡2 (𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝑡2 (𝑥2 + 𝑥𝑦) = 𝑡2 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝛼1 = 2 = 𝑡2 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝛼2 = 2 Como 𝛼1 = 𝛼2, 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) son homogéneas del mismo grado. Por lo tanto (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 es homogénea.
- 7. Matemática Aplicada PNF SCA Ejercicios propuestos 1.2: Verifique si la ecuación diferencial es exacta, separable, homogénea o lineal. 1) dy dx = xy+3x−y−3 xy−2x+4y−8 2) (𝑥2 𝑦3 − 1 1+9𝑥2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥3 𝑦2 = 0 3) 𝑦′ = 2𝑦 + 𝑥2 + 5 4) ( 1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑦2)𝑑𝑦 = 𝑦2 𝑑𝑥 5) ( 1 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑦 𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑥 + (𝑦𝑒 𝑦 + 𝑦 𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑦 = 0 6) 𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦3 − 𝑥3 7)(𝑒 𝑦 + 1)2 𝑒−𝑦 𝑑𝑥 + (𝑒 𝑥 + 1)3 𝑒−𝑥 𝑑𝑦 = 0 8) (𝑦2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 9) (𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 + 2)𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥 10) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(𝑒−𝑦 + 1)𝑑𝑥 = (1 + cos(𝑥))𝑑𝑦 11) (𝑦3 − 𝑦2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥 )𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦2 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑑𝑦 = 0 12) 𝑒 𝑦 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 + cos(𝑥) (𝑒2𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 13) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − (𝑥3+𝑦3) 3𝑥𝑦2 14) (1 + 𝑥2)𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥 = 0 15) (𝑥2 + 2𝑦2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 16) (𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝑥 + (cos(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦) − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 17) (𝑥 + 𝑥2)𝑑𝑦 = (3𝑦𝑥 + 3𝑦 + 𝑥2)𝑑𝑥 18) 𝑒 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑦 𝑒−2𝑥−𝑦 19) 𝑥2 𝑦′ + 𝑥𝑦(𝑥 + 2) = 𝑒 𝑥 20) (𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑦 + 2𝑦𝑑𝑥 = 0 21) (𝑦𝑙𝑛(𝑦)𝑒−𝑥𝑦)𝑑𝑥 + ( 1 𝑦 + 𝑥𝑙𝑛(𝑦)) 𝑑𝑦 = 0 22) 𝑦𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ( 𝑦+1 𝑥 ) 2 23) cos(𝑥)2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑦 + (𝑦 cos(𝑥)3 − 1)𝑑𝑥 = 0 24) ( 4𝑦 + 𝑦𝑥2)𝑑𝑦 − ( 2𝑥 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 = 0 25) (2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) − 𝑦 + 2𝑦2 𝑒 𝑥 𝑦2 )𝑑𝑥 = (𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 − 4𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦2 )𝑑𝑦 26) 𝑥𝑦′ + (1 + 𝑥)𝑦 = 𝑒−𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 27) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥+3𝑦 3𝑥+𝑦 28) (𝑥2 − 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 = (𝑥 + 1)2 29) 𝑥𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 2𝑦 − 2𝑒−𝑥)𝑑𝑥 = 0 30)(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 31) 𝑒 𝑦 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 + cos(𝑥)(𝑒2𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 32) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 1−𝑒−2𝑥 𝑒 𝑥+𝑒−𝑥 33)(𝑥 + 𝑦𝑒 𝑦 𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑒 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = 0 34) sec (𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) 35)𝑦𝑑𝑥 + 𝑥(ln(𝑥) − ln(𝑦) − 1)𝑑𝑦 = 0 36) (2𝑦 − 1 𝑥 + cos(3𝑥)) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 4𝑥3 + 3𝑦𝑠𝑒𝑛(3𝑥) = 0 37)−𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 + √ 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
- 8. Matemática Aplicada PNF SCA 1.3 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Una vez identificada la ecuación diferencial, aplicaremos métodos para hallar la solución. 1.3.1 Método de solución de una ecuación diferencial de variable separable. Esta es una de las ecuaciones más fácil de resolver, una vez separada la ecuación diferencial hallamos la solución integrando a ambos lados de la igualdad. 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ 𝐹(𝑦) = 𝐺(𝑥) + 𝑐 Ejemplo 6: Identifique la ecuación diferencial y halle la solución. (1 + x)dy − ydx = 0 Solución: En el ejemplo 1 de la sección 1.2.1 identificamos la ecuación diferencial (1 + x)dy − ydx = 0 y es de variable separable. 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 (1+𝑥) ⟹ ∫ 𝑑𝑦 𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 (1+𝑥) ⟹ ln(𝑦) = ln(1 + 𝑥) + 𝑐 (𝐼) Aplicamos exponencial a ambos lados en (𝐼) y despejamos 𝑦 𝑒ln(𝑦) = 𝑒ln(1+𝑥)+𝑐 ⟹ 𝑦 = (1 + 𝑥). 𝑒c Por lo tanto 𝑦 = (1 + 𝑥). 𝑒c es la solución de la ecuación general. 1.3.2 Método de solución de una ecuación diferencial exacta. Dada la ecuación de la forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, se verifica el teorema 1. En caso afirmativo existe una función 𝑓 tal que: 𝑎) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑏) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) Podemos determinar 𝑓 si integramos 𝑀(𝑥, 𝑦) respecto a x manteniendo 𝑦 constante ó 𝑁(𝑥, 𝑦) respecto a 𝑦, manteniendo 𝑥 constante.
- 9. Matemática Aplicada PNF SCA Pasos 𝑀(𝑥, 𝑦) respecto a x manteniendo 𝑦 constante 𝑁(𝑥, 𝑦) respecto a 𝑦 manteniendo 𝑥 constante 1 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) La función 𝑔(𝑦) es la contante de integración. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + 𝑔(𝑥) La función 𝑔(𝑥) es la contante de integración 2 Derivamos respecto a 𝑦 Derivamos respecto a 𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑦 ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) 𝜕 𝜕𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑥 ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) + 𝜕 𝜕𝑥 𝑔(𝑥) 3 Suponemos que 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) Suponemos que 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) 4 𝜕 𝜕𝑦 ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝜕 𝜕𝑥 ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) + 𝜕 𝜕𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑀(𝑥, 𝑦) Despejamos 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) − 𝜕 𝜕𝑥 ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) Despejamos 𝜕 𝜕𝑥 𝑔(𝑥) 𝜕 𝜕𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑀(𝑥, 𝑦) − 𝜕 𝜕𝑥 ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) 5 Integramos con respecto a 𝑦 y sustituimos el resultado en 1. Integramos con respecto a 𝑥 y sustituimos el resultado en 1. Ejemplo 7: Identifique la ecuación diferencial y halle la solución. 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0 Solución: Del ejemplo 2 parte a de la sección 1.2.2 la ecuación diferencial 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0 es exacta. En este caso 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 y 𝑁(𝑥, 𝑦) = ( 𝑥2 − 1).
- 10. Matemática Aplicada PNF SCA Como la ecuación es exacta existe una función 𝑓 tal que: 𝑎) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 𝑏) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 1) 1) Determinemos 𝑓, integramos 𝑀(𝑥, 𝑦) respecto a x. ∫ 𝑑𝑓 = ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 . 𝑦 + 𝑔(𝑦) 2) Derivamos respecto a 𝑦 𝜕 𝜕𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑦 𝑥2 . 𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) ⟹ 𝜕 𝜕𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) 3) Suponemos que 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) = ( 𝑥2 − 1) 4) 𝑥2 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) = (𝑥2 − 1) Despejamos 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) 𝜕 𝜕𝑦 𝑔(𝑦) = ( 𝑥2 − 1) − 𝑥2 5) Integramos respecto a 𝑦 𝑔(𝑦) = ∫((𝑥2 − 1) − 𝑥2 ) 𝑑𝑦 = − ∫ 𝑑𝑦 = −𝑦 + 𝑐 ⟹ 𝑔(𝑦) = −𝑦 + 𝑐 Sustituimos 𝑔(𝑦) = −𝑦 + 𝑐 en 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 . 𝑦 + 𝑔(𝑦) Por lo tanto 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 . 𝑦 − 𝑦 + 𝑐.
- 11. Matemática Aplicada PNF SCA 1.3.3 Método de solución ecuación diferencial homogénea. Para resolver este tipo de ecuación diferencial hacemos el cambio 1) 𝑦 = 𝑢𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 ó 2) 𝑥 = 𝑦𝑣 , 𝑑𝑥 = 𝑦𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑦 Al hacer este cambio se llega a una ecuación diferencial de variable separable y resolvemos como en 1.3.1 Ejemplo 8: Identifique la ecuación diferencial y halle la solución. (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 Solución: Del ejemplo 5 sección 1.2.4 se verifico que la ecuación diferencial (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 es homogénea. Haremos el cambio 𝑦 = 𝑢𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 para hallar la solución. (𝑥2 + (𝑢𝑥)2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥(𝑢𝑥))(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 Aplicamos propiedades algebraicas para simplificar la expresión (𝑥2 + 𝑢2 𝑥2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥2 𝑢)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑢2 𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥3 𝑑𝑢 − 𝑥2 𝑢2 𝑑𝑥 − 𝑥3 𝑢𝑑𝑢 = 0 𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥3 𝑑𝑢 − 𝑥3 𝑢𝑑𝑢 = 0 𝑥2(1 + 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑥3(1 − 𝑢)𝑑𝑢 = 0 Despejando llegamos a una ecuación diferencial de variables separables. 𝑥2 𝑥3 𝑑𝑥 = − (1 − 𝑢) (1 + 𝑢) 𝑑𝑢 Procedemos a resolver integrando ∫ 𝑑𝑥 𝑥 = − ∫ (1 − 𝑢) (1 + 𝑢) 𝑑𝑢 ln(𝑥) = − ∫ 𝑑𝑢 1 + 𝑢 + ∫ 𝑢 1 + 𝑢 𝑑𝑢
- 12. Matemática Aplicada PNF SCA ln(𝑥) = − ∫ 𝑑𝑢 1 + 𝑢 + ∫ (−1 + 1 𝑢 + 1 ) 𝑑𝑢 ln(𝑥) = − ln(1 + 𝑢) − 𝑢 + ln(1 + 𝑢) + 𝑐 ln(𝑥) = −𝑢 + 𝑐 Pero 𝑦 = 𝑢𝑥 entonces 𝑢 = 𝑦 𝑥 ln(𝑥) = − 𝑦 𝑥 + 𝑐 Por lo tanto la solución es 𝑦 = 𝑥𝑐 − 𝑥𝑙𝑛(𝑥)
- 13. Matemática Aplicada PNF SCA Ejercicios propuestos 1.2.1: Verifique si la ecuación diferencial es exacta, separable, homogénea o lineal y hallar la solución. 1) dy dx = xy+3x−y−3 xy−2x+4y−8 2) (𝑥2 𝑦3 − 1 1+9𝑥2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥3 𝑦2 = 0 3) 𝑦′ = 2𝑦 + 𝑥2 + 5 4) ( 1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑦2)𝑑𝑦 = 𝑦2 𝑑𝑥 5) ( 1 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑦 𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑥 + (𝑦𝑒 𝑦 + 𝑦 𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑦 = 0 6) 𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦3 − 𝑥3 7)(𝑒 𝑦 + 1)2 𝑒−𝑦 𝑑𝑥 + (𝑒 𝑥 + 1)3 𝑒−𝑥 𝑑𝑦 = 0 8) (𝑦2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 9) (𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 + 2)𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥 10) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(𝑒−𝑦 + 1)𝑑𝑥 = (1 + cos(𝑥))𝑑𝑦 11) (𝑦3 − 𝑦2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥 )𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦2 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑑𝑦 = 0 12) 𝑒 𝑦 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 + cos(𝑥) (𝑒2𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 13) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − (𝑥3+𝑦3) 3𝑥𝑦2 14) (1 + 𝑥2)𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥 = 0 15) (𝑥2 + 2𝑦2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 16) (𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝑥 + (cos(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦) − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 17) (𝑥 + 𝑥2)𝑑𝑦 = (3𝑦𝑥 + 3𝑦 + 𝑥2)𝑑𝑥 18) 𝑒 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑦 𝑒−2𝑥−𝑦 19) 𝑥2 𝑦′ + 𝑥𝑦(𝑥 + 2) = 𝑒 𝑥 20) (𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑦 + 2𝑦𝑑𝑥 = 0 21) (𝑦𝑙𝑛(𝑦)𝑒−𝑥𝑦)𝑑𝑥 + ( 1 𝑦 + 𝑥𝑙𝑛(𝑦)) 𝑑𝑦 = 0 22) 𝑦𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ( 𝑦+1 𝑥 ) 2 23) cos(𝑥)2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑦 + (𝑦 cos(𝑥)3 − 1)𝑑𝑥 = 0 24) ( 4𝑦 + 𝑦𝑥2)𝑑𝑦 − ( 2𝑥 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 = 0 25) (2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) − 𝑦 + 2𝑦2 𝑒 𝑥 𝑦2 )𝑑𝑥 = (𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 − 4𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦2 )𝑑𝑦 26) 𝑥𝑦′ + (1 + 𝑥)𝑦 = 𝑒−𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 27) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥+3𝑦 3𝑥+𝑦 28) (𝑥2 − 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 = (𝑥 + 1)2 29) 𝑥𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 2𝑦 − 2𝑒−𝑥)𝑑𝑥 = 0 30)(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 31) 𝑒 𝑦 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 + cos(𝑥)(𝑒2𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 32) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 1−𝑒−2𝑥 𝑒 𝑥+𝑒−𝑥 33)(𝑥 + 𝑦𝑒 𝑦 𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑒 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = 0 34) sec (𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) 35)𝑦𝑑𝑥 + 𝑥(ln(𝑥) − ln(𝑦) − 1)𝑑𝑦 = 0 36) (2𝑦 − 1 𝑥 + cos(3𝑥)) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 4𝑥3 + 3𝑦𝑠𝑒𝑛(3𝑥) = 0 37)−𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 + √ 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
- 14. Matemática Aplicada PNF SCA Respuesta Problemario 1.2 1) Separable 2) Exacta 3) Lineal 4) Separable 5) Exacta 6) Homogénea 7) Separable 8) Homogénea 9) Lineal 10) Separable 11) Exacta 12) Separable 13) Exacta 14) Lineal 15) Homogénea 16) Exacta 17) Lineal 18) Separable 19) Lineal 20) Lineal 21) Exacta 22) Separable 23) Lineal 24) Separable 25) Exacta 26) Lineal 27) Homogénea 28) Lineal 29) Homogénea 30) Homogénea 31) Separable 32) Lineal 33) Homogénea 34) Separable 35) Homogénea 36) Exacta 37) Homogénea 38) Homogénea Bibliografía Dennis G. Zill. “Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado” Richard Bronson. “Ecuaciones Diferenciales Modernas” Jorge Sáenz. “Calculo Integral con Funciones Trascendetes Tempranas”