Leyes de escala

1. BIOFÍSICA
(Física biomédica)
Prof. Dr. Jorge Rodrigo Rodríguez
Tema 2:
Leyes de escala: Análisis dimensional.
Estructura fractálica del cuerpo humano.
BLOQUE 1: GENERALIDADES

2. Un cabello humano tiene un grosor de unas 17 µm (micras) y
puede considerarse como el límite inferior de lo observable y de
la escala humana.
El ser humano se ha desenvuelto entre los límites de un pelo y
unas cuantas decenas de kilómetros (podía recorrer a pie o
contemplar a lo lejos desde una atalaya). Nos hemos movido en
apenas 10 órdenes de magnitud, que van de unas pocas
decenas de micras (10-5 metros) y un centenar de kilómetros
(105 metros).
Leyes de escala: Análisis dimensional.

3. Leyes de escala: Análisis dimensional.
Este ha sido nuestro limitado radio de acción hasta que se ha
podido observar el micromundo (con microscopios cada vez más
potentes y llegar al mundo subatómico) y las tecnologías
espaciales han permitido llegar a la Luna y observar el Universo.
La ciencia ha incrementando los órdenes de magnitud del mundo
cognoscible hasta escalas de proporciones inhumanas.

4. Leyes de escala:
Análisis dimensional.

5. Leyes de escala: Análisis dimensional.
La interpretación de algunas situaciones cotidianas se
encuentra en las Leyes de escala: relacionan magnitudes
físicas o biológicas (tamaño, peso, volumen, fuerza muscular,
resistencia al aire, velocidad, fragilidad, pérdida o absorción de
calor, etc.) del cuerpo o ser vivo que consideremos.
Leyes alométricas: relación potencial entre dos variables:
Y= A0 Xb
con X como variable independiente e Y como variable
dependiente, y A0 y b como dos parámetros del sistema en
estudio.

6. Leyes de escala: Análisis dimensional.
Gran número de fenómenos físicos depende de la relación
superficie/volumen. Por ejemplo: el tamaño.
Ej: cubo de lado L: el volumen es V = L3 y el área de su
superficie externa, S = 6L2 Es decir, el área por unidad de
volumen del cubo, S/V = 6/L, está en razón inversa con la arista
del cubo.
Ej: esfera de radio R: su superficie externa es S = 4πR2 y su
volumen V = (4/3)πR 3; por tanto, S/V = 3/R, es decir, en razón
inverso con su radio.
Similares resultados se obtiene con un sólido cilíndrico y
en general, se cumple siempre que S/V = 1/T, siendo T el
tamaño del sólido.

7. Una célula cúbica difunde 1 gr de
oxígeno/día a su interior para cumplir con
sus necesidades metabólicas; si duplica la
longitud de su lado, calcular:
• Incremento de volumen en % (tanto por ciento
aproximado) respecto del volumen original.
• Incremento de consumo de oxígeno en valor
absoluto (en gramos).
• Incremento de superficie de intercambio para
captar ese oxígeno en % (tanto por ciento ).

8. Leyes de escala: Análisis dimensional.
-Las hormigas pueden transportar cargas de tres o cuatro veces
su propio peso.
- Las pulgas, con dimensiones de 1 mm, dan saltos de 20 cm
(es decir, 200 veces su propia altura).
- Un ratón cae de 2º segundo piso, se levanta y sale corriendo.
Un atleta de 100 kg de peso no puede
levantar 200 kg, ni puede dar saltos de
200 veces su propia altura, y si cae de
un segundo piso, lo probable es que
sufra fractura de sus huesos.

9. Leyes de escala: Análisis dimensional.
Los animales grandes tienen dificultad en disipar el calor
generado en su interior (por metabolismo) y los animales
pequeños tienen dificultad en retenerlo y se enfrían con rapidez.
El calor emitido por un animal de sangre caliente es proporcional
a su superficie externa (se emite a través de la piel).
El calor generado es proporcional a su volumen, (metabolismo
celular).

10. Leyes de escala: Análisis dimensional.
Los elefantes pasan tiempo en charcas de agua, tienen grandes
orejas, etc…
Los animales pequeños (pájaros, roedores, etc.) deben comer
constantemente (hasta diez veces su peso en un solo día) para
compensar el calor que emiten a través de su piel en función de
la relación (1).
Así pasa con los bebés humanos que deben abrigarse más que
los adultos y toman alimentos con mas frecuencia día y noche,
para resarcirse de su elevada pérdida de calor.

11. Leyes de escala: Análisis dimensional.
La resistencia de un hueso es proporcional al área de la
sección transversal del mismo, mientras que su peso es
proporcional a su volumen. Es decir, de nuevo tenemos:
Cuanto más pequeño es un hueso, mayor es su resistencia por
unidad de peso y por ello resiste mejor los golpes. En cambio,
en los huesos grandes (ej. adultos), debido a su gran tamaño, la
resistencia a la fractura por unidad de peso es muy pequeña.

12. Leyes isométricas (igual forma): relación forma/tamaño.
3
3
1
2
1
2
3
1
3
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
L
V
L
L
V
V
k
V
k
V
Volúmenes
L
S
L
L
S
S
k
S
k
S
s
Superficie
L
L
k
kL
L
Longitudes


























Leyes de escala: Análisis dimensional.

13. Cambio de proporción en los huesos de sustentación: Al
aumentar la longitud, la sección transversal aumenta en mayor
medida
Leyes de escala: Análisis dimensional.

14. Tenemos un hueso largo de radio 4 cm
(diámetro de 8cm), de 70 cm de longitud y
una masa de 1 kg. Manteniendo las
mismas proporciones tenemos otro hueso
que en vez de pesar 1kg pesa 2kg.
Averiguar sabiendo que tiene las mismas
proporciones su diámetro y longitud del
segundo hueso.

18. Mosca, perro y elefante representados como si tuvieran el
mismo tamaño. Nótese la diferencia en el grosor relativo de las
extremidades.
Leyes de escala: Análisis dimensional.

19. Fuerza relativa de dos animales con el mismo tamaño (el de
una hormiga) pero con formas distintas (de elefante y de
hormiga)
Leyes de escala: Análisis dimensional.

20. Estructura fractálica del cuerpo humano.
Todos los animales dependen de la integración de varias
subunidades: moléculas, células, tejidos y órganos.
Estas subunidades deben permitir la llegada de
nutrientes/energía/información/remoción de residuos en forma
eficiente.
Redes que abarcan todo el cuerpo: sistemas
circulatorio/respiratorio/neuronal/renal, etc.
con estructura Fractal.
Las redes tienen terminales idénticas para todos los seres vivos
(capilares) y que abarcan toda su masa.

21. Estructura fractálica del cuerpo humano.
Estructura fractálica:
optimiza estructuras para minimizar la energía necesaria para
distribuir nutrientes etc… a todo el organismo.
La estructura fractal es prevalente en la naturaleza y se
caracteriza por la semejanza entre una pequeña parte del sistema
y el todo, es decir que presenta auto-semejanza para todas las
escalas.
Características
-autosimilar
-dimensión fraccionaria
-irrepresentable por
geometría clásica

22. Estructura fractálica del cuerpo humano.
Este tipo de estructura se pueden observar en un árbol,
un helecho, el sistema circulatorio o renal, en frutos y plantas
como el brócoli y coliflor, etc.
La investigación de sistemas
biológicos que presentan este tipo de estructura, revela
relaciones alométricas muy particulares que
son características de estos sistemas.

23. Estructura fractálica del cuerpo humano.
Alometría:
Cambios de dimensión relativa (de las partes corporales)
correlacionados con los cambios en el tamaño total.
- alometría ontogenética: crecimiento relativo en los individuos.
- alometría filogenética: tasas de crecimiento diferencial en
los linajes.
- alometría intraespecífica: individuos adultos de una especie
o una población local;
- alometría interespecífica: mismo fenómeno entre especies
relacionadas.
Fórmula matemática para las relaciones alométricas.

24. Estructura fractálica del cuerpo humano.

25. Los fractales aportan muchas ventajas a los seres vivos.
En el cuerpo humano existen muchas estructuras con geometría
fractal, como son la red vascular, el árbol bronquial, la red de
neuronas, la mucosa intestinal, la disposición de las glándulas,
etc.
Estructura fractálica del cuerpo humano.

26. Los verdaderos fractales son autosimilares hasta el infinito
Por supuesto, esto no puede ocurrir en los seres vivos, ya
que existe un límite. Por eso, no se dice que sean fractales,
sino de tipo fractal.

27. Forma matemática
‘b’ constante relacionada con el tipo de
autosimilitud del sistema
constante relacionada con los límites
fundamentales de dicho sistema
0
y
b
x
y
y 0

Estructura fractálica del cuerpo humano.

28. Teoría del ‘un cuarto’
Existen multitud de relaciones biológicas
donde el exponente ‘b’ es ¼
Procesos que relacionan tiempo y masa
Procesos internos:
-tasa de metabolismo
-contracción nerviosa
Estructura fractálica del cuerpo humano.

29. Estructura fractálica del cuerpo humano.
La importancia de la
geometría fractal en el
organismo es que permite
optimizar la función de los
sistemas ya que tienen una
gran superficie sin ser
órganos demasiado
voluminosos
Los pulmones, p. ej. para un área de intercambio de aprox.
100 metros cuadrados (una cancha de baloncesto), tienen un
volumen de unos 7 litros.

30. Fractales en Medicina - Neurociencias
Simulación de una imágen del Cerebro
Humano
Iteración de la fórmula: Zn+1 = Z0 + C
Diferencia con el Conjunto de Mandelbrot, se colorean
TODOS los puntos y no solo los convergentes.
Modelo de Neurona con el que trabaja la
Medicina Actual
Primeros pasos para desarrollar un
modelo Neuronal Fractal.
Se elige un generador (A), se propone un
algoritmo (B) se comienza a desarrollar
el fractal (C y D).
Se puede llegar a diferentes modelos
dependiendo el generador y algoritmo
elegido.

31. Más Fractales en Medicina
Fractales, Estadística y
Medicina
El análisis de autosimilitud y
patrones, no necesariamente tiene
que estudiarse desde imagenes,
puede hacerse tambien desde
ecuaciones o curvas como en este
caso de EEG o Series de Tiempo

32. Cardiología Fractal
ECG visto como una serie de tiempo.
Se realiza un análisis Fractal para determinar la DF de ECG de pacientes sanos y de
pacientes con determinadas patologías.
Problema:
Diversos estudios de ECG mostraban una inconsistencia entre el tamaño de la
arteria izquierda en relación con la fibrilación arterial.
Hipótesis:
Mediante un Análisis de la Dimensión Fractal de una fibrilación arterial
proveniente de un ECG se puede predecir el tamaño de la arteria izquierda.
Método:
Se estudian 53 pacientes con fibrilación arterial.
Resultados:
Si la DF es mayor a 1.14, el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los
pacientes, es de 4,6 cm. o mayor.
Si la DF es menor que 1.09 , el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los
pacientes, es menor a 4,6 cm.
Si la DF se encuentra entre 1.09 y 1.14, no presenta una correlación con el
tamaño de la arteria izquierda.

33. Estructura fractálica del cuerpo humano.
Si se desea saber cuál es la superficie de absorción del
intestino, la medida cambiará según la resolución que utilice
para hacerlo, debido a que el intestino presenta pliegues
desde el nivel macroscópico hasta el microscópico.
La geometría clásica tiene
limitaciones cuando se
pretenden medir estructuras
naturales.

34. Estructura fractálica del cuerpo humano.
Muchas cosas en la naturaleza (como las estructuras porosas,
interfases o límites entre estructuras, superficies rugosas,
objetos que se ramifican, etc.) tienen características fractales.
(H.P. Koch, 1993).
De esta manera, la dimensión fractal es un índice que permite
cuantificar mejor las características geométricas de los objetos
que tienen geometría fractal (P.Grassberger, 1983)

35. MANO FRACTÁLICA…