3. Instituto Licenciado por
CAPACIDADES
▪ Identifica y opera con los tipos de conjuntos, para resolver situaciones problemáticas.
▪ Reconoce los conjuntos numéricos en la recta real.
▪ Reconoce las razones y proporciones en la solución de problemas.
▪ Reconoce los conceptos de magnitudes directa e inversamente proporcionales en la solución de
problemas.
▪ Reconoce los tipos de ecuaciones en la solución de problemas.
▪ Reconoce los tipos de inecuaciones.
▪ Reconoce las funciones a partir de las relaciones.
▪ Identificar y deducir porcentajes.
▪ Identificar y deducir los sistemas de numeración.
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LOGROS
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CURSO
LOGROS DEL CURSO
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Es un valor que equilibra y sintetiza el valor de cada uno de los términos de un conjunto solución, y
además puede o no pertenecer a dicho conjunto inicial (la sucesión de números). También se le
conoce como “Media”.
Notación: X1; X2; X3; … ; Xn = {Xn} valor de la sucesión.
Los promedios más utilizados son:
1. Promedio o Media Aritmética.
2. Promedio o Media Geométrica.
3. Promedio o Media Armónica.
4. Promedio Ponderado.
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PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA
(PA – MA)
El promedio aritmético de varias cantidades viene a ser la suma de todas las
cantidades, este resultado dividido entre el total de cantidades.
Para “n” cantidades se cumple:
𝑴𝑨 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒏
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PROMEDIO O MEDIA GEOMÉTRICA (PG – MG)
El promedio geométrico de varias cantidades es la raíz “ n ” – ésima del producto de
estas cantidades.
Para varias “n” cantidades se cumple:
𝑷𝑮 = 𝒏
𝒙𝟏 × 𝒙𝟐 × ⋯ × 𝒙𝒏
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PROMEDIO O MEDIA ARMÓNICA (PH – MH)
El promedio armónico de varias cantidades es la inversa del promedio aritmético de
las inversas de las cantidades.
Para “ n” cantidades se cumple:
𝑀𝐻 =
𝑛
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+ ⋯ +
1
𝑥𝑛
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PROMEDIO PONDERADO
Es el promedio originado por una sucesión donde cada uno de sus términos (o por lo menos
uno de ellos) se repiten un número entero de veces mayor de uno.
𝐏𝐏𝐀 =
𝐱𝟏𝐏𝟏 + 𝐱𝟐𝐏𝟐 + ⋯ + 𝐱𝐧𝐏𝐧
𝐏𝟏 + 𝐏𝟐 + ⋯ 𝐏𝐧
𝑷𝑷𝑮 =
𝑷𝟏+𝑷𝟐+⋯+𝑷𝒏
𝒙𝟏
𝑷𝟏
× 𝒙𝟐
𝑷𝟐
× ⋯ × 𝒙𝒏
𝑷𝒏
𝑷𝑷𝑯 =
𝑷𝟏 + 𝑷𝟐 + ⋯ + 𝑷𝒏
𝟏
𝒙𝟏
𝑷𝟏 +
𝟏
𝒙𝟐
𝑷𝟐 + ⋯ +
𝟏
𝒙𝒏
𝑷𝒏
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1. El mayor de los promedios aritmético, geométrico y armónico para dos o más cantidades
diferentes es el promedio aritmético y el menor de ellos es el promedio armónico.
𝑴𝑨 > 𝑴𝑮 > 𝑴𝑯
2. Sólo para dos números, el producto de su media aritmética por su media armónica es la media
geométrica al cuadrado.
𝑴𝑨 × 𝑴𝑯 = 𝑴𝑮𝟐
3. La diferencia de cuadrados entre la media aritmética y la media geométrica resulta igual al
cociente del cuadrado de la diferencia de las dos cantidades entre cuatro.
𝑴𝑨𝟐 − 𝑴𝑮𝟐 =
𝒂 − 𝒃 𝟐
𝟒
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4. El promedio armónico de dos número a y b, se cumple:
𝑴𝑯 =
𝟐𝒂𝒃
𝒂 + 𝒃
5. El promedio aritmético de una sucesión aritmética es igual al promedio aritmético del primer y
último término.
𝑷𝑨 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝒏
𝟐
6. El promedio geométrico de una sucesión geométrica es igual al promedio geométrico del
primer y último término.
𝑷𝑮 = 𝒙𝟏 × 𝒙𝒏
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EJERCICIO N° 01:
La media aritmética de 53 números impares consecutivos es 65. Hallar la media geométrica
entre el menor y el mayor de dichos números.
Solución:
Sea “x” el menor de los 53 números impares consecutivos, luego la media aritmética será:
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Como forman una progresión aritmética de razón 2, entonces aplicando la propiedad (1)
del problema, tenemos:
Menor: x = 13
Mayor: x + 104 = 117
La media geométrica pedida será:
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EJERCICIO N° 02:
Hallar dos números sabiendo que su mayor promedio es 8 y su menor promedio es 63/8. Dar
como respuesta la diferencia de dichos números.
Solución:
Mayor promedio:
El mayor promedio esta determinado por el promedio aritmético, así tenemos:
De donde obtenemos:
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Menor promedio:
El menor promedio esta determinado por el promedio armónico, así tenemos:
Reemplazamos el valor que tenemos (A + B):
Resolviendo: (I) y (II) se tiene:
A = 9 Nos piden hallar:
B = 7
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Hasta la próxima clase
¡GRACIAS!
“El hombre no hubiera alcanzado lo
posible a menos que, una y otra vez
no hubiera intentado lo imposible”
Henry Fayol
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