Trigonometria

1. Resuelve la siguiente ecuación en )[ π2,0
1cos =+ ααsen
En realidad esta ecuación tiene dos incógnitas (seno y coseno), pero recordemos que para
cualquier ángulo se verifica que: . (Aquí está la otra ecuación)1cos22
=+ ααsen
Despejando uno cualquiera de ellos tenemos que: αα 2
cos1−±=sen , y ahora
sustituimos en la ecuación que nos han dado:
1coscos1 2
=+−± αα
Para resolver esta ecuación, dejaremos sola la raíz y pasaremos el resto de sumandos al
segundo miembro:
αα cos1cos1 2
−=−±
Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad: (observa que el ± desaparece al
elevar al cuadrado)
ααααα cos2cos1cos1)cos1(cos1 2222
−+=−⇔−=−
0coscos0cos2cos2 22
=−⇔=− αααα
Esta ecuación podemos resolverla aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado en
coseno o bien sacando factor común el cos α, así:
0)1(coscos0coscos2
=−⇔=− αααα , de donde se deduce que
O bien 0cos =α o bien 01cos =−α . Analizamos los dos casos en el intervalo )[ π2,0
2
3
2
0cos
π
α
π
αα ==⇔= o
01cos01cos =⇔=⇔=− ααα
Comprobamos las soluciones:
1100cos0;0 =+=+= senα
101
2
cos
2
;
2
=+=+=
πππ
α sen
1101
2
3
cos
2
3
;
2
3
≠−=+−=+=
πππ
α sen Esta solución no es válida.
Inicio del problema
L.Roche Ramón, 2006 Pág. 1 de 1