Este documento explica las progresiones geométricas, donde el cociente entre términos sucesivos es constante. Presenta la fórmula para calcular cualquier término como an = a1(r)n-1, donde an es el término, a1 es el primer término, r es la razón común, y n es el número de términos. También muestra cómo calcular la suma total de los términos usando la fórmula Sn = an(r) - a1/(r-1). El documento resuelve ejemplos para encontrar términos

1. SERIES Y SUCESIONES GEOMÉTRICAS
Actividad de inicio:
Resuelvan las siguientes sucesiones y encuentra los tres valores que
la continúan.
a) 4, 8, 12, 16, ____, ____, ____.
b) 5, 30, 180, 1080, ____, ____, ____.
c) 42, 34, 26, 18,____, ____, ____.
d) 1600, 800, 400, 200, 100, ____, ____, ____.

2. Progresiones geométricas
En la práctica anterior hubo dos ejercicios que eran parte de una
progresión aritmética, ya que sumaste o restaste un valor para obtener los
siguientes.
Sin embargo, en los otros dos ejercicios multiplicaste o dividiste un valor
constante. Ese par de sucesiones se conoce como progresiones
geométricas.
Una progresión geométrica es una sucesión de números donde el
cociente entre dos términos sucesivos es constante y se llama razón
común. Esta se representa como “r”.
Los elementos de una serie geométrica prácticamente son los mismos que
los de las progresiones aritméticas, la progresión geométrica es diferente
porque el valor entre términos sucesivos es una razón en vez de la
diferencia común.

3. La fórmula es:
an = a1 (r)n-1
Donde:
an = término cualquiera
n = número de términos que se pide encontrar
r = razón común entre término y término.
a1= primer término de la sucesión.

4. Fórmulas despejadas:
a1 = an / (r)n-1
r = √ an / a1
n = log an – log a1 + 1
log r

5. Ejemplos:
1) Encuentra el sexto término de la progresión geométrica 3, 6, 12,….
Primero determinaremos la razón común
r = 12/6 = 2
12/3= 2
a1 = 3
an = ?
n= 6
an = 3(2)6-1 = 96

6. 2) Encuentra el octavo término de la progresión geométrica 64, 32, 16,….
Primero determinaremos la razón común
r = 16/32 = 0.5
32/64= 0.5
a1 = 64
an = ?
n= 8
an = 64(0.5)8-1 = 0.5

7. 3) Ahora supongamos que 4 es el primer término de una progresión
geométrica formado por 5 términos y que el último es 324. ¿Cuál es el
valor de la razón?
r = 5-1 √ 324 / 4
r= 3

8. Ejercicios:
Encuentra el término que se indica , an, en cada serie geométrica:
a) 2, 6, 18… el 6ᵒ término
b) 81, 27, 9, ….. el 5ᵒ término
c) 64, -96, 144, ….. el 5ᵒ término
d) -8, 4, -2, ….. el 7ᵒ término
e) 100, 60, 36, ….. el 8ᵒ término
f) 44, 110, 275, ….. El 9ᵒ término
g) 3/8, 3/28, 3/98, ….. el 10ᵒ término
h) -4/7, 20/21, -100/63, ….. el 6ᵒ término
i) 3/8, 15/56, 75/392, ….. El 11ᵒ término
j) -8, 8, -8, ….. El 20ᵒ término

9. Series geométricas
Para encontrar el valor de una serie geométrica, se aplica la
fórmula:
Sn = an (r) - a1
r-1
Ejemplo:
Encuentra el valor de la suma de los primeros ocho términos de la progresión
geométrica 3, 9, 27,….
a1= 3 an = 3(3)8-1 = 6561
r=27/9= 3 Sn = 6561 (3) - 3 / (3-1) = 9840
n= 8

10. Ejercicios:
Encuentra la suma de las siguientes progresiones geométricas:
1. De los primeros ocho términos de 5, -10, 20……
2. De los primeros doce términos de 5, 20, 80…..
3. De los primeros cinco términos de 3, -27, 243…..
4. De los primeros nueve términos de 100, 50, 25…..
5. De los primeros seis términos de 18, 12, 8…..
6. De los primeros diez términos de -1, 1/2, -1/4…..
7. De los primeros catorce términos de -64, -96, -144…..
8. De los primeros once términos de 200, -150, 225/2…..
9. De los primeros diez términos de -5, 100, -2000…..
10. De los primeros nueve términos de -2, 10, -50…..

11. Bibliografía
Plataforma digital: www.colegiomiranda.com