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Interés simple

Introducción

En el presente cuaderno de trabajo se le proporcionan los elementos
representativos del interés simple, así como una serie de problemas propuestos
para refuerzo de su aprendizaje. Es importante que los resuelva de acuerdo a los
métodos establecidos con la revisión de materiales y lo visto en cada parte de la
unidad de aprendizaje.

La finalidad del cuaderno de trabajo es que usted por un lado identifique los
elementos del interés simple y por otro practique al respecto de este concepto básico
en las matemáticas financieras, para ello deberá hacer un buen uso de las fórmulas
establecidas para que a su vez practique en la solución de diversas situaciones las
cuales en algún momento usted enfrentará.

Se sugiere que verifique los resultados con sus compañeros en el salón de clase o
a través del correo electrónico, según sea el caso.

A lo largo de esta unidad y en todo el curso se le solicitará que resuelva algunos
ejercicios utilizando la calculadora financiera, la hoja de cálculo o ambas
herramientas, éstos servirán para que practique a partir de la explicación que se
encuentre en algunas de las notas o en el cuaderno de trabajo. Para conocer el
funcionamiento de la calculadora, descargue de las actividades de la unidad 1 el
documento instructivocalculadora.pdf, el cual contiene una explicación sobre cómo
utilizar algunos tipos de calculadora financiera.

Para que desarrolle de manera óptima los ejercicios, este cuaderno de trabajo se
encuentra dividido en dos momentos que deberá responder de acuerdo a lo
establecido en su guía de estudio y a las indicaciones que el docente o asesor
haga.

“Cálculos básicos de porcentajes y deducción del modelo de interés simple” y
“Cálculos de interés simple utilizando la calculadora financiera”.



Una vez que leyó las páginas 94 a 112 del Libro Matemáticas Financieras realice la primera
parte de este cuaderno de trabajo denominado “Deducción del modelo de interés simple”. No
lo envíe consérvelo en su equipo hasta que complete la segunda parte sobre Cálculos de
interés simple utilizando la calculadora financiera y la hoja de cálculo.

Deducción del modelo de interés simple

Complete los cuadros vacíos para que comprenda la deducción de las fórmulas
financieras con las que se determina el interés (I) y la cantidad (M) conocida como
monto y compárelas con las ecuaciones respectivas indicadas en la sección de
Notas 1 en el glosario de términos y fórmulas del “interés simple”.

Si consideramos una situación real en la que se presta a una persona una
determinada cantidad de capital, piense en $100.00 mexicanos, durante un año y se
le aplica una tasa del 10% anual, se sabe que eso significa que aparte de pagar el
capital, se debe pagar el costo de haber recibido ese dinero de una fuente
financiera determinada, y que dicho pago representa la ganancia de haber sido
utilizado ese capital por otra persona diferente a su dueño. Es así que podemos
deducir lo siguiente:

El pago o interés a pagar por el uso de ese capital durante un año será:

Pago adicional al capital de $100.00 = ($100.00)(0.10 $/año) (1 año) = $10.00

Considerando esto: si llamamos a ese pago adicional (I) y usamos las literales de
las definiciones previas (C), (i) y (t) de la expresión anterior, en las siguientes cajas
coloque la literal que corresponda de acuerdo a la operación de cálculo realizada
anteriormente:

=

Donde:
I = interés
C = capital
t = tiempo
i = tasa de interés (expresada en decimales)



Y finalmente si quisiera expresar la totalidad de la cantidad que hubimos pedido
prestada se estaría determinando la cantidad financiera denominada como monto
(M) quedando expresada como:
M=C+I

Para el cálculo del monto a partir de las variables de las que depende el interés
simple (C), (i) y (t) quedará como sigue: (Anote su respuesta)

M = ( 1 + )

De esta manera dedujo la expresión matemática del monto consecuencia del interés
simple:

Donde:
M = monto
I = interés
C = capital
T = tiempo
i = tasa de interés (expresada en decimales)

Aplicación del modelo de interés simple

Después de deducir el modelo de interés simple, toca el turno de aplicarlo al
siguiente caso:

Una empresa tiene la necesidad de solicitar un préstamo a una institución
financiera para completar la inversión de capital que se deberá aplicar para la
realización de un proyecto de expansión de ésta, y se solicita a esta institución
financiera un capital de $30,000.00 a una tasa de interés anual del 25%.

Sin embargo, para la procedencia de dicha transacción financiera entre la empresa
y la institución de crédito, el área de finanzas de la empresa solicita conocer el



monto que habrá que solventar en un año para saldar dicho adeudo y autorizarlo.
Para ello, la coordinación del proyecto presentará al área de finanzas la información
necesaria para su autorización y procedencia, incluyendo principalmente el interés
a pagar y el monto a saldar durante el plazo de 1 año.

1. Realice las operaciones necesarias para conocer estas canti dades para el
área de finanzas.

2. Elabore un diagrama de tiempo como se retoma en su libro de texto que le
facilitará los cálculos a realizar.

Datos
Capital solicitado (C) $30,000.00
Tiempo del préstamo (t) 1 año
Tasa de interés (i) 25%



Una vez que estudió las Notas. Uso de la calculadora financiera para cálculos de interés simple,
realice la siguiente parte del este cuaderno de trabajo. Al concluirlo envíelo siguiendo las
instrucciones descritas en enviar trabajo.

Cálculos de interés simple utilizando
la calculadora financiera y la hoja de cálculo

Instrucciones: Realice los cálculos necesarios para responder a los siguientes
ejercicios utilizando la calculadora financiera y la hoja de cálculo.
Anote el procedimiento y una copia de la hoja de cálculo en donde
realizó las operaciones. Utilice su calculadora financiera y la hoja
de cálculo.

1. Calcule el capital que originaría un interés de $100,000.00 en 11 meses a una
tasa de interés simple mensual del 2.8%.

Con base en los datos del problema identifique el interés, la tasa y el tiempo, colóquelos en los
cuadros:

Interés:
Tasa:
Tiempo:

Dado los datos el resultado es:

La manera de confirmar la respuesta es por medio de una sustitución…

Si I = C*i*t entonces la comprobación de tu respuesta es…

= * *

¿Es correcta la igualación?



2. Si colocamos a una tasa de interés del 2.4% simple mensual durante 250 días un
capital, y que reditúe en la generación de un interés de $124,000.00. ¿Cuál sería
la magnitud del capital a invertir?

Con base en los datos del problema identifique el interés, la tasa y el tiempo, colóquelos
en los cuadros:

Interés:
Tasa:
Tiempo:

Dado los datos el resultado es:

La manera de confirmar la respuesta es por medio de una
sustitución…

Si I = C*i*t entonces la comprobación de tu respuesta es…

= * *

¿Es correcta la igualación?



3. Una deuda será liquidada al cabo de 4 meses pagando una suma de
$250,000.00, contratada a una tasa de interés del 18% de interés simple anual.
Calcule el valor presente de dicha deuda.

Identifique y sustituya en la fórmula

M=
C=
i=
t=

El resultado fue:

a) $235,849.06 b) 335,849 c) 435,849

Realice la comprobación antes de marcar el resultado:

4. Si se pacta una inversión a una tasa de interés del 16% simple semestral, para
que produzca un monto al vencimiento de $48,000.00. Si se partió de una



inversión inicial de $30,000.00, ¿cuál es el periodo correspondiente para
producir tal monto al vencimiento?

Identifique y sustituya en la fórmula

M=
C=
i= Cuidado: Debe despejar la variable t
t=

Su resultado fue:

a) 3.75 semestres b)5 años c)1025 días

Realice la comprobación antes de marcar el resultado:

Valor del dinero, descuento y valuación de documentos

Una vez que estudió las Notas. Problemas de aplicación del interés simple sobre el valor actual
y futuro del dinero, realice la parte 1 de este cuaderno de trabajo. No lo envíe consérvelo en su
equipo hasta que complete la segunda parte.

Parte 1. Valor actual y futuro del dinero

Instrucciones: Resuelva lo que se solicita e indique la respuesta correcta en cada
uno de los siguientes planteamientos:

1. Calcule el interés que generan $500,000 pesos durante 4 meses a un tipo de
interés anual del 10%.
a. $200,000
b. $16,666.66
c. $ 555.55



d. $12,500

2. Calcule el monto final que tendríamos si invertimos $1, 000,000.00 pesos,
durante 6 meses al 12%.
a. $1’060,000.00
b. $1’720,000.00
c. $ 1’002,000.00
d. $ 1,060,000.00

3. Recibimos $500,000.00 dentro de 6 meses y $800,000.00 dentro de 9 meses, y
ambas cantidades las invertimos a un tasa del 15%. Calcule el importe que se
tendría dentro de un año.
a. $ 1’427,500
b. $1, 367 500
c. $ 2’830,000
d. $2’110,000
4. Determine los intereses a recibir por $500,000.00 dentro de 3 meses, $400,000.00
dentro de 6 meses, o $600;000.00 dentro de 1 año, si estos capitales se pueden
invertir al 12%?
a. 111,000

b. 540,000
c. 22,500
d. 1’511,000

5. Calcule las tasas de interés anuales equivalentes al:
a. 4% semestral
b. 3% cuatrimestral
c. 5% trimestral
d. 1.5% mensual



Una vez que leyó las páginas 112 a 123 del Libro Matemáticas Financieras, realice la parte 2 de
este cuaderno de trabajo. Al concluirlo envíelo siguiendo las instrucciones descritas en enviar
trabajo.

Parte 2. Descuento simple, exacto y comercial, valuación de documentos bursátiles
y esquemas de deuda sobre saldos insolutos

Los valores del monto del descuento, al igual que el del interés, dependen del
tiempo faltante para el vencimiento del documento (t), así la tasa de interés es en
realidad una tasa de descuento (d). De esta manera, el descuento comercial es un
interés que se deja de pagar y cuyo monto (D) será igual a:

Descuento comercial: D = Vndt
Descuento simple exacto: D = (Vn - Cit) dt

Con base en la información anterior y con el apoyo de su calculadora financiera,
realice los siguientes ejercicios de aplicación del descuento:

1. Una institución bancaria descuenta un pagaré con valor nominal de $ 35,000
que vence dentro de un año; si la tasa de descuento pactada por el banco es de
25% anual, ¿De cuánto será el descuento, si el banco hace efectivo el documento al
día de hoy?
a. $ 875,000
b. $ 105,000
c. $ 8,750
d. $ 140,000

2. ¿Cuál es el valor líquido de un pagaré, cuyo valor comercial es de $50,000 si se
descuenta 28 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 30%
anual?
a. $ 1,166.66
b. $ 13,833
c. $ 36,167



d. $ 63,833
3. ¿Cuál es el valor de la tasa de descuento anual que fue aplicada a un pagaré
con valor nominal de $25,000 que se descontó 4 meses antes de su fecha de
vencimiento, si el banco pago $22,350 por el documento?
a. 1.34%
b. 1.68%
c. 0.3725%
d. 2.682%

4. ¿Cuál es el valor nominal de una letra, por la cual se descontaron $20,000, en un
banco, si la tasa de descuento fue de 32% anual y se pagó 90 días antes de su
vencimiento?
a. $ 694.44
b. $ 2500.00
c. $ 250,000.00
d. $ 200,000.00

5. Se firmó un documento bancario con un valor nominal de $53,000.00 y fue
descontado 6 meses antes de su vencimiento a una tasa de descuento pactada
en la firma del mismo. Si se sabe que el dueño del título pago $50,100.00 por el
documento. Determine la tasa de descuento anual aplicada en la firma del
pagaré.
a. 10.94%
b. 9.14%
c. 36.55%
d. 2.73%

6. Una letra vence dentro de 180 días, con una tasa de descuento de 12% mensual
y un valor nominal de $50,250.00. Calcule el valor líquido el día de hoy.
a. $ 14,070
b. $ 1’085,400
c. $ 69, 444.44
d. $86,430



7. Determine el número de años de anticipación con los cuales se pagó una letra
de cambio, si se pagaron $10,500.00 de descuento con una tasa del 25% anual, y
teniendo la letra a un valor nominal de $200,000.00.
a. 0.021
b. 7.619
c. 0.21
d. 0.47

Instrucciones: Dé respuesta a los siguientes problemas considerando la información
que se proporciona.

1. Calcule cuánto debe pagar por un cete a 182 días si tiene una tasa de descuento del
12% anual. Además, determine el rendimiento en pesos en 182 días.
2. Un inversionista compró papel comercial a un plazo de 360 días a una tasa de
rendimiento del 11.85%. Calcule el precio de compra de cada título y su rendimiento
en pesos.
3. Una empresa cuenta con efectivo temporalmente ocioso por $ 200,000.00; el tesorero
decide invertir en aceptaciones bancarias a una tasa de descuento del 9.5% a un
plazo de 30 días.

Calcule:
a. Precio de compra de cada título
b. Número de títulos que puede comprar
c. Rendimiento de cada título a 30 días
d. Rendimiento total
e. Tasa anual de rendimiento

4. Se tiene un disponible de $ 85,000.00 para invertirse en cetes a 7 días.
La tasa de descuento es del 7% anual.
Calcule:
a. Precio de compra de cada cete
b. Número de cetes que se pueden comprar
c. Tasa de rendimiento anual
d. Rendimiento total al vencimiento



5. Se adquiere papel comercial con vencimiento a 180 días con una tasa de descuento
del 7.5% anual, calcule el precio de compra de dicho título.
6. Calcular cuánto debemos pagar por un cete a 182 días si tiene una tasa de
descuento del 8% anual. Además, determine el rendimiento en pesos en 182 días.
7. Calcular el número de cetes que podemos comparar con un capital de $120,000.00
si la inversión se va a efectuar con cetes a 91 días. También determine el rendimiento
total de la inversión.
Busque la tasa de rendimiento actual en el periódico.

Tomando en consideración la información sobre la tasa de interés simple, la tasa
global y el esquema de amortización convencional de una deuda, resolver los
siguientes ejercicios utilizando la calculadora financiera.

Recuerda la fórmula para calcular los intereses totales en intereses sobre saldos
insolutos es:

I = [ct+ (n+1)] /2

1. ¿Cuál es el monto de un crédito que se amortiza con 8 pagos mensuales de
$3,500, con una tasa global total del 9%?
2. Calcular el monto por concepto de intereses de un crédito por $50,000 que se
amortiza con 15 pagos quincenales decrecientes, considerando que se cargan
intereses del 0.5% quincenal sobre saldos insolutos.
3. ¿Con cuántos pagos mensuales se amortiza una deuda de $35,000
considerando intereses del 10% simple anual sobre saldos insolutos y pagando
un total de $2,187.50 de intereses?

Interés compuesto

En el presente material se proporcionan algunos elementos representativos del
interés compuesto, así como una serie de problemas propuestos para el refuerzo de
su aprendizaje. Es importante que aplique los métodos estudiados durante la
unidad.



El cuaderno se divide en dos partes que deberá resolver de acuerdo con las
indicaciones del docente/asesor según sé el caso y de acuerdo con las actividades
que se establecen en su guía de estudio.

Las partes en las que se divide el cuaderno son las siguientes:

Parte 1: “Aplicación del interés compuesto en operaciones de créditos e
inversiones”.

Parte 2: “Tasas equivalentes, efectiva y nominal”.

Antes de iniciar con la resolución de la primera parte del cuaderno de trabajo es
necesario considerar algunos los siguientes elementos que serán importantes al
momento de resolver los ejercicios.

Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior, se llaman Leyes de Capitalización, mientras que aquellas que
nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se
denominan Leyes de Descuento.

Estas leyes financieras nos permiten también sumar o restar capitales en distintos
momentos. Por ejemplo: Si vamos a recibir 1 millón de pesos dentro de 6 meses y 2
millones dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que
tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual,
dentro de 6 meses, 9 meses, etc.) y entonces si se podrán sumar.

Las formulas de interés simple y compuesto que nos permiten calcular los
intereses, son las siguientes:



Interés simple I = C. i. t
t
Interés compuesto I = C((( 1 + i ) ) - 1 )

Donde:
I = intereses que se generan
C = capital inicial (en el momento t=0)
i = tasa de interés que se aplica
t = tiempo que dura la inversión

En la aplicación de ambas leyes de capitalización podemos observar que se
obtienen resultados diferentes. Para analizar en qué medida el uso de una u otra ley
en el cálculo de los intereses, da resultados mayores o menores, es necesario
distinguir tres periodos:

a. Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este
supuesto, los intereses calculados con la ley de interés simple son mayores que
los calculados con la ley del interés compuesto.

Por ejemplo, calcular los intereses devengados por un capital de 4 millones de
pesos, durante 3 meses, a una tasa de interés del 12%:

a.1) Interés simple
I = C. i. t
I = (4,000,000).(0.12).(0.25) (tasa y plazo en base anual)
I = $120,000

a.2) Interés compuesto
I = C.((( 1 + i ) t ) - 1 )
I = 4,000,000 (((1 + 0.12) 0,25) - 1)
I = 4.000.000 .(1.028737345 -1)
I = $114,949.38



Se comprueba, por tanto, cómo el interés calculado con la formula de la interés
simple, es superior al calculado con la formula de interés compuesto.

b. Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados
idénticos.

Por ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 2 millones de
pesos, durante 1 año, a una tasa de interés del 15%:
b.1) Interés simple
I = C. i. t
I = 2,000,000.( 0.15 )(1) (tasa y plazo en base anual)
I = $300,000

b.2) Interés compuesto
I = C.((( 1 + i ) t ) - 1 )
I = 2,000,000.(((1 + 0.15)1) - 1)
I = 2,000,000 .(1.15 - 1)
I = $300,000

Se comprueba, por tanto, cómo los intereses calculados con ambas fórmulas son
iguales.

c. Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la
fórmula de interés compuesto son superiores a los calculados con la fórmula de
interés simple. Por ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de
5 millones de pesos, durante 2 años, a una tasa de interés del 10%:

c.1) Interés simple
I = C. i. t
I = 5,000,000 .(0.10)(2) (tasa y plazo en base anual)
I = $1,000,000

c.2) Interés compuesto



I = C.((( 1 + i ) t ) - 1 )
I = 5,000,000.(((1 + 0.1) 2) - 1)
I = 5,000,000 * (1.21 - 1)
I = $1,050,000

Se puede comprobar, por tanto, cómo en este caso el interés calculado con la
fórmula de interés compuesto es más elevado.

Con base en el análisis anterior, la fórmula de interés simple sólo se utiliza con
operaciones de corto plazo (menos de 1 año), mientras que la de interés compuesto
se puede utilizar en el corto y en el largo plazo.
Y es así, que hemos manifestado el origen y consecuencia del concepto del “interés
compuesto” que aplicaremos en el desarrollo de esta segunda unidad,
puntualizando que:

El interés compuesto a diferencia del interés simple significa el incremento
continuo del capital base (C) a medida que se realiza una operación financiera y de
la capitalización establecida con la tasa de interés pactada, ya sea en operaciones
de inversión como de crédito a cualquier plazo.

Parte 1. “Aplicación del interés compuesto
en operaciones en créditos e inversiones”

Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo con los datos que se
le proporcionan, utilizando la calculadora financiera o cualquier
hoja de cálculo. Recuerde que puede descargar de las actividades de
la unidad 1 el archivo instructivocalculadora.pdf el cual le
proporcionara información sobre el uso de la calculadora financiera
para esta materia.



1. Calcule el interés de un capital de $5’000.000 pesos, invertidos durante un año y
medio al 16% para que un grupo de estudiantes de administración hotelera y
turística, lo puedan utilizar para el desarrollo de prácticas de campo. Aplique el
interés simple y compuesto.

Procedimiento y resultados

2. El área de finanzas de una empresa invertirá en una institución Bancaria un
capital de 1 millón de pesos en 6 meses a plazo de un año, asimismo invertirá
otro capital de medio millón de pesos dentro de 9 meses al mismo plazo. Ambos
se invierten al 12% anual. Determine la cantidad de capital que se tendrá dentro
de 1 año, aplicando el interés compuesto.


3. ¿Qué intereses serían mayores, los de un capital de 600,000.00 pesos invertidos
durante 6 meses al 15% anual, aplicando interés simple, o los de un capital de
500,000.00 pesos, invertidos mensualmente durante 8 meses a una tasa del 16%
de interés compuesto?




4. Un capital de 1 millón de pesos genera intereses durante 6 meses de 150,000.00
pesos, determine la tasa de interés mensual que se estaría aplicando si se
estuviera utilizando el interés simple y compuesto.




5. Calcule la cantidad que se debe invertir hoy si se requiere disponer dentro de 2
años de 1.5 millones de pesos para la compra de equipo y mobiliario de oficina
para la instalación del área administrativa de una empresa hotelera, si se ha
concertado con una institución bancaria que manejará esta inversión, la cual ha
ofrecido para la inversión un 6% de interés anual compuesto para ese plazo lo
cual ha resultado atractivo para la empresa.




Una vez que estudió las Notas. Cálculo de las tasas equivalente, efectiva y nominal,
realice la parte 2 de este cuaderno de trabajo. Al concluirlo envíelo siguiendo las
instrucciones descritas en enviar trabajo.

Parte 2. “Tasas equivalentes, efectiva y nominal”

Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo a los datos que se le
proporcionan, utilice la calculadora financiera o la hoja de cálculo
Excel. Ponga especial interés en la fijación del número de decimales y
redondeos adecuados a las cifras resultantes en los cálculos de las
tasas de interés.

1. Determine la tasa equivalente mensual del 16% anual aplicando el modelo de
interés compuesto, si se requiere que tengan la siguiente capitalización:

a. .1333333
b. .172222
c. .11112

2. Con los datos anteriores ¿Cuál será la tasa equivalente cuatrimestral?

a. 0.1686
b. 0.5333
c. 0.1223

3. Con los datos anteriores ¿Cuál será la tasa equivalente semestral?

a. 0.1664
b. 0.0800
c. 0.1223

4. Determine el monto resultante de invertir 1 millón de pesos durante 1 año a una
tasa del 12% efectiva anual, y que debe ser convertida en una tasa equivalente
con capitalización:



 Anual
a. 1,115,000
b. 1,120,000
c. 1,125,000

 Semestral.
a. 1,111,000
b. 1,120,000
c. 1,123,600

 Trimestral.
a. 1,123,600
b. 1,125,509
c. 1,123,600


5. Tenemos un monto de $100,000.00 invertido durante 18 meses, al 10% anual
(nominal) ¿qué capital se invirtió? Considerando lo que se capitaliza:
a. Capitalización mensual de intereses.
b. Capitalización semestral de intereses.
c. Capitalización trimestral de intereses.




Diagramas de tiempo, ecuaciones de valor y plazos

En el presente material se proporcionan algunos elementos representativos del
interés compuesto, así como una serie de problemas propuestos para el refuerzo de
su aprendizaje. Es importante que aplique los métodos estudiados durante la
unidad.

El cuaderno se divide en dos partes que deberá resolver de acuerdo con las
indicaciones del docente/asesor según sea el caso y de acuerdo con las actividades
que se establecen en su guía didáctica.

Las partes en las que se divide el cuaderno son las siguientes:

Parte 1: “Diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor”.
Parte 2: “Plazos medios, saldos de operación y pagos únicos”.

A continuación mencionaremos una serie de conceptos de uso común en la
aplicación de las matemáticas financieras basados también en el valor del dinero en
el tiempo, que ya hemos explicado y aplicado. El término de “pago único” lo
utilizaremos en el amplio sentido de la palabra ya sea para anticipar o diferir con
base a una fecha de vencimiento el (los) adeudo(s) ya sea hacia delante para
disminuir intereses o bien optar por un espacio adicional de tiempo que llevarían a
un aumento de éstos. Se debe considerar para ello el uso del factor de acumulación
(1+i)n, se si trata del aumento (diferir) y del factor de descuento (1+i)-n para el caso



de reducirlos, de acuerdo a la decisión que se tome. Se debe tomar en cuenta el
valor de “n” como la diferencia entre la fecha de vencimiento de la obligación y la
nueva fecha (“-n” anticipo y “n” la diferida). El papel que el cálculo del pago único
juega es el término adecuado a los procesos de sustitución de adeudos en el
tiempo. Por ejemplo, supongamos que tenemos un par de adeudos:

 $400.00 a dos meses y,
 $300.00 a nueve meses al vencimiento a una tasa mensual de interés efectiva
del 2%. Si quisiéramos establecer el monto a pagar al día de hoy por
determinada circunstancia de conveniencia, estaríamos haciendo un adelanto
del pago como “pago único adelantado” y este sería:

 400 (1+0.02)(0-2) = $384.48 y
 300 (1+0.02)(0-9) = $251.03

Resultando en un total de $635.51, que representa el valor del adeudo al “día de
hoy”.

Otra situación que se maneja en cualquier esquema de deuda es la correspondiente
a la determinación de la fecha del pago único en la cual se extinguen todas las
obligaciones en una sola exhibición ya sea de un monto disponible de un fondo de
amortización o producto de una nueva renegociación, en donde estaríamos
calculando el valor de “n” adecuado.
Asimismo, otro uso común en el manejo de las carteras de obligaciones muy
relacionado al cálculo citado en el párrafo anterior, es el cálculo del “plazo medio” que
representa la fecha de vencimiento en la cual los intereses que se acumulan o se
descuentan, según sea el caso, llegan a ser del mismo valor. Para entender esta
situación, veamos el siguiente ejemplo:

Considérese la siguiente cartera de obligaciones a una tasa de operación del 12.6%
anual convertible bimestralmente.

 $10,000.00 a 8 meses
 $17,000.00 a 12 meses y,



 $33,000.00 a 18 meses.

Con base a los datos anteriores, la tasa efectiva bimestral será de: (12.6/6 = 2.1%
bimestral).

Calculo del valor actual:
 $10,000.00 (1.021)-4 = $ 9,202.31
 $17,000.00 (1.021)-6 = $15,997.02
 $33,000.00 (1.021)-9 = $27,370.47
 Total = $52,569.80

Considerando a “S” como el monto de la suma de los valores nominales de los adeudos
contratados y a “P” como el monto del pago obligado actualizado de la cartera, el valor
de “n” será:

n = log(S/P) / log(1+i)

Sustituyendo, obtenemos:

n = log (60,000/52,569.80) / log ( 1.021) = 0.057415/0.0090 = 6.36

6 bimestres, 0 meses, 22 días

Otro cálculo financiero común es la determinación de los saldos de operación, lo
cual se refiere a la estimación de la diferencia entre el monto de una deuda y el
pago a cuenta de la misma. Asociado al cálculo de este valor de operación
financiero, se evalúa comúnmente aparte del saldo, la fecha de vencimiento del
mismo y la tasa aplicable correspondiente. Para ello ejemplificaremos una
operación, en la que se maneja el concepto de “saldo de operación”.

Consideremos que se pretende liquidar una cartera de deuda en dos pagos; el
primero
de $5,000.00 a 30 días y un segundo adeudo a 60 días. Se requiere conocer el monto
del pago del segundo adeudo para cumplir con las obligaciones contratadas. La tasa



de interés de la cartera es del 2% mensual y los documentos actualizados los
descuentan a una tasa del 1.5% mensual.

La cartera es:
 $2,000.00 a 3 meses
 $1,500.00 a 5 meses
 $4,000.00 a 8 meses

La actualización de la cartera al día de hoy será:
 $2,000.00 (1.015)-3 = 1,912.63
 $1,500.00 (1.015)-5 = 1,392.39
 $4,000.00 (1.015)-8 = $3,550.84
Con un monto total de: $6,855.86 de valor actual

El primer pago se plantea ejercerlo de 30 días (un mes), así que el monto
actualizado llevado a 1 mes será:

6,855.86 (1.02)1 = $6,992.98 (adeudo a 30 días)
- $5,000.00 pago parcial
$1,992.98 saldo a 30 días

Por lo tanto debemos trasladar este saldo al segundo vencimiento de 60 días:

$1,992.98 (1.02)2 = $2,073.5 adeudo a 60 días
A continuación considere las siguientes observaciones:

 Los documentos no se ajustan directamente a la fecha del primer pago, ya que
se especificó que se aplica una tasa de descuento (1.5%) y una tasa de recargo
(2%).

 En balance, la operación realizada para el deudor se traduce en un ajuste a valor
actual más alto y para el acreedor en un mayor beneficio, por lo que en forma
neta todo el proceso se reduce a una operación de penalización.



 Si las tasa de descuento y de actualización fueran las mismas, el cálculo del
adeudo se hubiera podido ajustar a cualquier fecha. En este caso hubo que
considerar sus respectivas fechas.

Una vez que leyó las páginas 196 a 204 del Libro Matemáticas Financieras, realice la parte 1
de este cuaderno de trabajo. No lo envíe consérvelo en su equipo hasta que complete la
segunda parte.

Parte 1. “Diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor”

Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo a los datos que se le
Excel. Recuerde que puede descargar de las actividades de la unidad 1
el archivo instructivocalculadora.pdf el cual le proporcionará
información sobre el uso de la calculadora financiera para esta materia.
Cualquier método (calculadora o Excel) que uses, deberás colocar los
procedimientos, resultados y comprobación.

Nota: Es muy importante que respondas el tercer cuadro de comprobación, forma parte
de su calificación y mejorará su aprendizaje.

1. Calcule el capital que se debe disponer para la compra de mobiliario de oficina
si se liquida la operación en 15 meses con un monto de $8,000,000.00 a una tasa
de 14.6% capitalizable trimestralmente.



Datos


Comprobación

2. Determine el valor futuro (monto) de un pagaré de $35,000.00 que vence dentro
de un año y medio, si la tasa de interés es del 13% anual compuesto
trimestralmente.

Datos




Comprobación

3. La Cia. Metales Industriales S.A. de C.V. adquirió una deuda de $7’000,000.00 al
5% capitalizable mensualmente, los cuales debe de pagar dentro de 8 meses,
asimismo adquirió otra deuda de $2’000,000.00 al 12% capitalizable
bimestralmente, a pagar en tres años y medio. El departamento de finanzas
desea realizar un pago único en la fecha de vencimiento de la primera deuda; a
una tasa del 13% anual capitalizable trimestralmente. Calcule el monto del pago
para la renegociación de la deuda y compare contra las condiciones originales
de las deudas.

Datos

Realice las operaciones necesarias para encontrar el resultado.




Comprobación

4. Una empresa adquirió dos deudas. La primera, en la que tiene que pagar
$320,000 dentro de 9 meses, contratada a un año y medio al 16% de interés
anual capitalizable trimestralmente. La segunda deuda es de $220,000 a pagar
dentro de 5 meses, convenida a dos años al 18% de interés anual capitalizable
mensualmente. Determina el valor de cada una de estas dos deudas al momento
de su contratación.

Datos





Comprobación

5. La tesorería de una empresa, desea realizar un pago único por concepto de una
deuda. La deuda original fue de $140,000, la cual debe de cubrirse dentro de 24
meses a una tasa de 5% capitalizable mensualmente y $100,000 a pagar dentro
de cuatro años a una tasa de 6% capitalizable bimestralmente. Si reestructuras
esta deuda cual será el monto del pago si este se efectúa dentro de un año,
acordando una tasa de interés del 25% anual convertible semestralmente. ¿Cuál
valuación resulta más alta a la fecha del pago único, entre las premisas
pactadas al momento de la contratación o las del pago único?

Datos





Comprobación



Una vez que estudió la Lectura. Plazo medio, realice la parte 2 de este cuaderno de trabajo. Al
concluirlo envíelo siguiendo las instrucciones descritas en enviar trabajo.

Parte 2. “Plazos medios, saldos de operación y pagos únicos”

Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios utilizando los datos que se le
Excel. Recuerde que puede descargar de las actividades de la unidad
1el archvio instructivocalculadora.pdf el cual le proporcionara
información sobre el uso de la calculadora financiera para esta
materia. Cualquier método (calculadora o Excel que uses, debes
colocar los procedimientos, resultados y comprobación.

1. Calcule el pago único de un conjunto de adeudos al día de hoy y el
correspondiente al pago único dentro de tres meses. Primer adeudo, $1,200.00 a
3 meses; un segundo adeudo de $5,000.00 a 7 meses y un tercero de $4,000.00 a
10 meses. La cartera de las obligaciones anteriores se estableció a una tasa
mensual efectiva de 1.75%. Realice las operaciones necesarias para calcular el
pago único al día de hoy y el equivalente para realizar el pago único dentro de 3
meses. Realiza la comprobación por el método indirecto.

Datos




Comprobación

2. Calcule la fecha de pago correspondiente al plazo medio de la siguiente cartera
de deuda, la cual fue contratada a una tasa del 16% anual capitalizable
trimestralmente.

Considérese la siguiente cartera de obligaciones,
$5,000.00 vence en 12 meses

Datos



PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS

Comprobación

3. Calcular la fecha de vencimiento de una operación, si se contrató la siguiente
cartera de deuda, a una tasa de interés nominal del 14% convertible
bimestralmente:




Se tiene planeado aportar un pago parcial al día de hoy, por un monto de
$50,000.00 y dejar como saldo de la operación $55,000.00.

Anualidades vencidas u ordinarias

En el presente material analizaremos las diferentes modalidades de cálculo de las
anualidades vencidas. Recuerde que son aquellas en las que los pagos se realizan
al finalizar el periodo, de acuerdo a lo mencionado en el material de estudio de las
Notas de esta unidad. Tal proceso es común representarlo en tablas, que bien
pueden ser creadas y editadas en Excel. Asimismo, puede ser utilizada para el
cálculo de la información que será utilizada en la tabla o tablas respectivas.

El cuaderno de trabajo se divide en tres momentos:

Parte 1. “Valor actual y monto de anualidades vencidas u ordinarias”
Parte 2. “Anualidades vencidas en operaciones financieras que se presentan en
créditos e inversiones y el cálculo del valor actual y el monto de distintos créditos e
inversiones”
Parte 3. “Amortización de deudas y acumulación de intereses”

Recuerde el uso de la calculadora financiera y la hoja de cálculo.



Una vez que estudió las Notas 3. Cálculo de anualidades vencidas u ordinarias, realice la parte
1 de este cuaderno de trabajo. No lo envíe consérvelo en su equipo hasta que complete la
segunda parte.

Parte 1. “Valor actual y monto de anualidades vencidas u ordinarias”

Ejercicio 1. Considerando un plazo total de tres años para una operación financiera,
calcule el valor futuro si se depositan $1,000.00 al final de cada mes en una cuenta
donde se conviene una tasa de interés del 35% anual capitalizable mensualmente.
Realice los cálculos necesarios utilizando su calculadora financiera:

Datos y fórmula(s)




Ejercicio 2. Una firma de asesores en mercadotecnia y administración ha planeado
adquirir un equipo de cómputo dentro de 16 meses. Si éste tendrá un costo de
$50,000.00 y la firma puede disponer solamente de un fondo mensual de $4,000.00,
los cuales se depositarán en una cuenta de banco que ofrece una tasa de interés
del 20% anual convertible mensualmente, calcule utilizando su calculadora
financiera:

a. Si con el monto a acumular será posible hacer esa operación de compra.
b. El total de intereses que se ganaron.

Datos y fórmula(s)




Ejercicio 3. En un proceso de deuda en el cual se realizan pagos mensuales de
$50,000.00, para un total de 13 pagos y la amortización de un adeudo de
$500,000.00, se desea conocer la tasa de operación a aplicar y su valor anual, para
así tomar acciones de ajuste del proceso de amortización con anualidades al
vencimiento.

Datos y fórmula(s)


Regresar



Ejercicio 4. Se quiere firmar un contrato de adeudo por $1’600,000.00 por parte de
una compañía que desea realizar una serie de remodelaciones en sus instalaciones.
El documento estipula el pago de 15 anualidades vencidas de $120,000.00. Los
contratantes del préstamo desean conocer la tasa de la operación aplicada a este
crédito, para verificar la competitividad del mismo. También les interesa estimar el
monto de los intereses a cubrir de este contrato de deuda y la tasa anual.

Datos y fórmula(s)




Una vez que estudió las Notas. Amortización de deudas y acumulación de intereses, realice la
parte 2 y 3 de este cuaderno de trabajo. Al concluirlas envíe siguiendo las instrucciones
descritas en enviar trabajo.

Parte 2. “Anualidades vencidas en operaciones financieras
que se presentan en créditos e inversiones y el cálculo del valor actual
y el monto de distintos créditos e inversiones”

En esta etapa realizaremos una serie de ejercicios en los que ejemplificaremos el
uso de las anualidades en las diferentes operaciones financieras, como créditos e
inversiones utilizadas para el pago de pasivos a futuro.

Ejercicio 1. Determine el valor de cada uno de los pagos bimestrales vencidos
iguales que deberán realizarse para cubrir una deuda de $50,000.00, que
corresponde al costo del mobiliario adquirido a un proveedor, con el cual se
establecieron 10 bimestres de plazo con tasa de interés del 28% anual, convertible
bimestralmente.

Datos y fórmula(s)




A continuación ejemplificaremos y pondremos en práctica el concepto de
anualidades vencidas desde el punto de vista del ahorro y su acumulación, utilizado
para la cancelación de pasivos.

Ejercicio 2. Calcular el monto de la renta mensual vencida de $3,500.00 depositados
durante tres años en un banco que otorga una tasa de interés del 26% anual
capitalizable en forma mensual.

Datos y fórmula(s)




Ejercicio 3. Encuentre el valor del pago trimestral vencido para cancelar una deuda
de $35,000.00, que es el costo de una máquina adquirida a un proveedor, con el cual
se acordó pagarla en 7 trimestres de plazo con una tasa de interés del 36% anual
convertible trimestralmente.

Datos y fórmula(s)




Ejercicio 4. Calcule el precio de contado de un equipo de cómputo comprado con
mensualidades vencidas de $1,500.00 cada una durante 12 meses, en los cuales se
cargó 11% de interés anual convertible mensualmente.

Datos y fórmula(s)




Ejercicio 5. Calcular el número de pagos trimestrales vencidos de $20,000.00,
necesarios para cancelar una hipoteca de $150,000.00, con una tasa de interés de
12.5% anual capitalizable trimestralmente.

Datos y fórmula(s)




Parte 3. “Amortización de deudas y acumulación de intereses”

Ejemplo 1. ¿Con cuántos depósitos trimestrales de $2,500.00 se podrán ahorrar en
un banco $25,000.00, considerando una tasa del 23% anual capitalizable
trimestralmente?

Datos y fórmula(s)




Ejemplo 2. Calcular el número de pagos mensuales de $260.00 que deberá realizar
un productor de carretes de acero a su proveedor para cubrirle un crédito de
$4,520.00, si acuerda pagarle un interés del 26% anual capitalizable mensualmente.

Datos y fórmula(s)


Ejemplo 3. Calcule el número de depósitos que tendrá que realizar una persona para
acumular $500,000.00 mediante depósitos bimestrales vencidos por $30,000.00 en
una cuenta que otorga 30% de interés anual convertible bimestralmente.



Datos y fórmula(s)


Ejemplo 4. El Sr. Lamma Yazbeck debe cubrir dentro de 8 meses $600,000.00 por la
compra de dos camionetas. Para tener este capital en la fecha de liquidación,
decide hacer depósitos mensuales en una cuenta que le generan un 13% anual de
intereses convertibles mensualmente. ¿De cuánto deben ser los depósitos en la
cuenta de inversión? Construir un cuadro en Excel que muestre la forma en que se
acumula el fondo.



Datos y fórmula(s)




Ejemplo 5. La panadería El Triunfo adquirió una batidora digital para masa con un
precio de lista de $100,000.00, que debe amortizar mediante seis pagos bimestrales
vencidos. Los primeros tres pagos son de $20,000.00 cada uno; el cuarto y el
quinto, de $10,000.00. Utilizando el cuadro de amortización, encontrar el último de
los pagos si la tasa pactada es de 4.5% capitalizable bimestralmente.

Anualidades anticipadas y diferidas

En el presente material sugerimos la realización de los diferentes problemas
enunciados a continuación, considerando para su solución, la información de las
Notas. Diferentes tipos de anualidades anticipadas y diferidas, y las Notas.
Anualidades anticipadas y diferidas amortizando deudas o acumulación de
intereses, como guías para la solución de los mismos.

“Anualidades anticipadas y diferidas”

Problemas sobre anualidades “anticipadas”:

Problema 1. En una de las cuentas de ahorro de una empresa, se deposita al
principio de cada mes una cantidad de $35,000.00, la cual paga una tasa de interés
del 35% anual capitalizable mensualmente. Determine el saldo de la compañía
después del primer año que ha estado ahorrando.

Problema 2. En una empresa se desea conocer el valor de contado de una compra
que determinado proveedor ofrece con pagos anticipados de $25,000.00
trimestrales, durante dos años y medio. La tasa de interés de ese financiamiento
durante la opción de crédito es del 20% anual compuesta en forma trimestral.

Problema 3. Una empresa de panaderías, decide adquirir para su negocio, un horno
cuyo precio es de $50,000.00. Si el distribuidor del horno le otorga un plan para
pagarlo a 18 mensualidades anticipadas, y acuerdan una tasa de interés del 20%
anual convertible mensualmente. Calcule de cuánto serían los pagos mensuales
que se deben realizar para saldar la compra del equipo.



Problema 4. Un distribuidor de autos seminuevos ofrece un vehículo a un precio de
$200,000.00, el cual se puede pagar mediante pagos mensuales de $25,000.00,
aplicando una tasa de interés del 20% anual compuesta mensualmente. Determine
el número de pagos que habrán de efectuarse para liquidar el precio del vehículo. El
primer pago se realiza de inmediato.

Problema 5. El señor Ramírez recibe una propuesta para la adquisición de un
automóvil, y le ofrecen pagarlo con $2,780 mensuales anticipados durante tres
años, costando el automóvil de contado $72,276.16. Él requiere saber cuál es la tasa
de operación mensual que se estaría aplicando en esta propuesta de
autofinanciamiento ya que desea comparar las tasa de otras ofertas del mercado
para tomar la decisión definitiva. (Nota: utilice el método iterativo propuesto en las
Notas. Aplicación de los tipos de anualidades anticipadas y diferidas, apartado 3).

Problema 6. Con que tasa de interés capitalizable mensualmente deben de realizarse
depósitos a principios de cada mes de $6,129.67 para tener al cabo de 3 años un
monto de $280,000.00. (Nota: utilice el método iterativo propuesto en las Notas.
Aplicación de los tipos de anualidades anticipadas y diferidas, apartado 3).

Problemas sobre anualidades “diferidas”

Problema 1. Una tienda de equipo para oficinas anunció su plan de ventas llamado
“compre hoy y empiece a pagar dentro de tres meses”. El departamento de
administración de una empresa desea adquirir varios lotes de equipo para oficina,
el cual le entregaron rápidamente. Se acordó pagar mediante 6 mensualidades de
$3,000.00 cada una, con un cargo del 25% de interés anual convertible en forma
mensual. Determine el precio de contado.

Problema 2. Un laboratorio industrial adquirió un equipo en 14 pagos bimestrales de
$4,520.00, cubriendo el primer pago 6 bimestres después de la compra. Si la tasa
convenida fue del 25% anual convertible en forma bimestral. Determine el precio de
contado de dicho equipo.



Problema 3. Se adquiere un terreno con un valor de $500,000.00, para el cual se dan
facilidades de pago que constan de 10 pagos trimestrales, comenzando a pagar
dentro de 3 trimestres, si la tasa de interés acordada es del 18% anual convertible
trimestralmente. Determine el pago trimestral bajo estas características que se tiene
que hacer.

Problema 4. Cual será la tasa de interés capitalizable mensualmente, aplicando 7
pagos, por la cantidad de $1,250, haciendo el primer pago tres meses después de
firmado un convenio que permitirá cubrir un monto de deuda de $7,738.32. (Nota:
utilice el método iterativo propuesto en las Notas. Aplicación de los tipos de
anualidades anticipadas y diferidas, apartado 3).

Problema 5. Se compró un auto a 24 meses con una renta mensual de $20,000 y el
valor total es de $300,000. El primer pago se efectuó 6 meses después de la firma
del contrato. (Nota: utilice el método iterativo propuesto en las Notas. Aplicación de
los tipos de anualidades anticipadas y diferidas, apartado 3).



Resuelva el siguiente caso, para lo cual deberá tomar en cuenta todos los
conocimientos aprendidos durante la materia y sus habilidades con el uso de las
herramientas de trabajo que ha desarrollado, su calculadora financiera y la hoja de
cálculo, especialmente en el uso de las librerías de las funciones financieras
disponibles. Es recomendable analizar con detenimiento las situaciones que describe
el caso, para que tome los valores y parámetros adecuados que le permitan llegar a
la respuesta correcta, además de establecer los comentarios consecuentes de los
resultados que permitan discutir acerca de ellos en torno a la conveniencia de su
uso en la toma de decisiones basadas en resultados financieros. Recuerde que
puede descargar de las actividades de la unidad 1 el archivo el archivo
instructivocalculadora.pdf el cual le proporcionara información sobre el uso de la
calculadora financiera para esta materia.

Planteamiento del caso: Un grupo empresarial está por adquirir un equipo cuyo
precio de lista es de $150,000.00. La compra al contado obtiene el 15% de
descuento, si la adquiriera a través de un crédito deberá pagar una cuota inicial
equivalente al 25% del precio de lista y el saldo en seis cuotas constantes, con
periodo de gracia sin desembolso de intereses y con el 3.8% de interés mensual.
Construya el calendario de pagos y determine el costo de la deuda. Considere un
reajuste en la tasa de interés que subirá al 4.5% después del pago de la tercera
cuota.

a. Construya una cédula de concentración de la información técnica y notas
específicas.
b. Determine el precio de contado del equipo.
c. Evalúe el pago inicial por la opción del crédito, y determine el valor actual de la
deuda.
d. Calcule el saldo a partir del cual se deberán evaluar las cuotas para los años
establecidos de amortización, considerando que el préstamo tiene un mes de
gracia sin desembolso de intereses.
e. Construya la tabla de amortización correspondiente al caso.
f. Presente en la misma tabla el ajuste de la tasa citado en el enunciado del caso,
para determinar el esquema de amortización real.



g. Determine el costo de la deuda total utilizando su tabla de amortización real, así
como la tasa de interés global de la amortización.
h. Determine la tasa efectiva anual del préstamo para la adquisición del equipo.
i. Realice una comparación del resultado confrontando éste con las tasas
disponibles en el mercado financiero y establezca sus conclusiones.


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