Funciones exponenciales

© L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Funciones
Exponenciales y Logarítmicas
Función Exponencial
1

Reconocer una función exponencial con cualquier base.
Evaluar una función exponencial con cualquier base.
Describir las características de la función exponencial.
Dibujar la gráfica de una función exponencial.
Hallar la solución de ecuaciones exponenciales.
Objetivos
2

La Función exponencial de base “ ”, a ≠ 1, es la
aplicación de en los reales estrictamente positivos
que hace corresponder a cada “ ” real una imagen
real positiva.
3
Sea ∈ , 0 y 1
Para cualquier “ ” se cumple que
y

Práctica
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 1
4

Clasifique como función exponencial o no-exponencial, de ser
exponencial identifique su base e indique en cuál de los intervalos, 0
1 ó 1 queda contenida su base.
Práctica:
a) E / NE
b) 2 5 E / NE
c) E / NE
d) 2 E / NE
e) 1 ! E / NE
f) E / NE
5

Veamos la gráfica de " #

Para dibujar la gráfica se evalúan
algunos valores de para hallar sus
respectivos valores de $. Luego se
localizan los puntos % , $& . Por
último se dibuja la gráfica.
$ 2 2' ( (
)
$ 2 2' (
*
(
+
$ 2 2'( ( (
$ 2 2,
1
$ 2 2(
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
$ (
)
(
+
( 1 2 4 8
1
0
2
3
4
1 2-1-2 3
$
-3
" #
Gráfica, Función Exponencial
6

La gráfica de " % &

donde 0 $ 1.
"
1
0 1 2-1-2 3
$
-3
Propiedades de la función exponencial.
• Dominio: ∞, ∞
• Alcance: 0, ∞
• Si 1 entonces su gráfica tiene
comportamiento creciente en todo su
dominio.
• Pasa por el punto 0, 1 , intercepto en el
eje de $, no hay intersecciones en el eje
de .
• lim
→'2
0 ⟹ $ 0 es una asíntota
horizontal por la izquierda.
Modelo de la función creciente
7

Veamos la gráfica de $ *
1
0
2
3
4
1 2-1-2 3
$
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
$ 8 4 2 1 ( (
+
(
)
Para dibujar la gráfica se evalúan
algunos valores de para hallar sus
respectivos valores de $. Luego se
localizan los puntos ( , $& y después
se dibuja la gráfica.
$ ( ( '
2 8
$ ( ( '
2 4
$ ( ( ,
1
$ ( ( ( (
$ (
8

La gráfica de " % &

donde 0 $ 1.
Propiedades de la función exponencial.
• Alcance: 0, ∞
• Si 0 1 entonces su gráfica tiene
comportamiento decreciente en todo su
dominio.
• Pasa por el punto 0, 1 , intercepto en el
eje de $, no hay intersecciones en el eje
de .
• lim
→62
horizontal por la derecha.
1
0 1 2-1-2 3
$
-3
Modelo de la función decreciente
"
9

Ejemplo:
Bosqueje la gráfica de % & 2 1
Solución:
• Alcance: 1, ∞
• Como 2 1, por lo tanto la
gráfica de la función es creciente
en todo su dominio.
• Pasa por el punto 0, 2 , que es el
intercepto en el eje de $, no hay
intersecciones en el eje de .
• lim
→'2
% 2 1& 1 ⟹ $ 1 es una
asíntota horizontal por la
izquierda.
" #
1
0
2
3
4
1 2-1-2 3
$
-3
Dibujar la asíntota y el intercepto en el
eje de $. Luego trazar la gráfica creciendo.
10

Solución:
• Alcance: ∞, 1
• Como 2 1, la gráfica de la
función seria creciente pero el reflejo
hace que decrezca en todo su dominio.
• Pasa por el punto 0, *
, que es el
intercepto en el eje de $ y 1, 0 , que
es el intercepto en el eje de .
• lim
→'2
% 2 '(
1& 1 ⟹ $ 1 es una
asíntota horizontal por la izquierda. " # '
1
0
2
3
-1
1 2-1-2 3
$
-3
-2
Dibujar la asíntota, las intersecciones en
los ejes y dibujar la gráfica decreciendo.
11
Ejemplo:
Bosqueje la gráfica de % & 2 '(
1

Práctica

Práctica:
Bosqueje la gráfica de
13

Práctica:
Bosqueje la gráfica de
Solución:
• Alcance: 0, ∞
• Como 0 1, la gráfica de la
función es decreciente en todo su
dominio.
intercepto en el eje de $ y 1,
+
7
, no hay
intercepto en el eje de .
• lim
→2
horizontal por la derecha.
"
2
3
#
1
0
2
3
-1
1 2-1-2 3
$
-3
-2
13

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Práctica:
Bosqueje la gráfica de 3 1

Solución:
• Alcance: ∞, 1
• Como 3 1, la gráfica de la función
seria creciente pero el reflejo hace
que decrezca en todo su dominio.
intercepto en el eje de $ y 1, 4 , no
hay intercepto en el eje de .
• lim
→2
% 3 1& 1 ⟹ $ 1es una
asíntota horizontal por la derecha.
" 9
-1
0
1
-2
1 2-1-2 3
$
-3
-3
-4
14
Práctica:
Bosqueje la gráfica de 3 1

Regla:
Si : ;, entonces : ;
15
Solución de ecuaciones exponenciales
Al igual que se resuelven las ecuaciones,
buscando el valor de la variable que hace cierta la
igualdad. En las ecuaciones exponenciales se aplica
el procedimiento de igualar las bases para luego
igualar los exponentes y finalmente se despeja para
la variable.

Ejemplo:
Halle el conjunto solución de 2 ' 16.
Solución:
2 '
16
2 '
2+
2 4
6
Finalmente se despeja la
variable de la ecuación.
16
Luego aplicamos la regla, ‘’si las
bases son iguales, los exponentes también
son iguales”.
Después de pensar un poco notamos
que el exponente correcto de la base 2
es 4.
Se necesita obtener el
exponente de la base 2 que la transforma
en 16.
Inicialmente se igualan las bases de
ambos lados de la ecuación. En este caso
la base común es 2.
4

Ejemplo:
Halle el conjunto solución de 2 '( 3 7.
Finalmente se despeja la variable de la
ecuación.
Solución:
2 '( 3 7
2 '( 4
2 '( 2
1 2
3
17
Luego aplicamos la regla, ‘’si las bases son
iguales, los exponentes también son iguales’’.
Se necesita obtener el
exponente de la base 2 que la transforma en
4. El exponente correcto de la base 2 es 2.
En este caso la
base común es 2.
Luego se igualan las bases de
ambos lados de la ecuación.
Inicialmente se despeja para la expresión
exponencial.
2

Ejemplo:
Halle el conjunto solución de 6 .
18
El número de Euler es la constante > 2.71828. Se obtiene
a partir de la expresión 1 @
A
a medida que B → ∞.
'(
+
Solución:
6
6% 6 &
+ 6
4 2 1
4 1
Por ultimo se despeja
la variable de la ecuación.
Luego aplicamos la regla,
‘’si las bases son iguales, los exponentes
también son iguales’’.
Inicialmente se aplican las reglas de los
exponentes para escribir las expresiones de
ambos lados de la ecuación con una sola base
y su exponente.

Práctica
19

3 6( 27 8 6( 16 4 · 8 2
Práctica:
Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
20

3 6( 27 8 6( 16 4 · 8 2
Nota:
Recuerde que las reglas de exponente aplican en estos ejercicios.
Práctica:
20
Solución
3 6(
3
3 6( 27
1 3
2
Solución
2 6(
2+
8 6(
16
3 3 4
3
2 6
2+
Solución
2 2 2
4 · 8 2
2 3
3
2 6
2

Práctica:
5 ' 1 9 6(
0 3 E 27 9
21

Práctica:
5 ' 1 9 6(
0 3 E 27 9
21
Solución
5 '
5,
5 ' 1
2 0
2
Solución
9 6( 0
Solución
3 E 3 3
3 E 27 9
3 2
3
3 '
3
No tiene solución,
por definición la base
debe ser mayor que
cero.
Nota:
Recuerde que las reglas de exponente aplican en estos ejercicios.

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Funciones Exponenciales
Esta es una muestra de algunas páginas de la
presentación funciones exponenciales. Si deseas la
presentación completa la puedes obtener en
matematicaspr.com. Espero que esta muestra ayude a
aclarar sus dudas de las funciones exponenciales.

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