1. Historia de la Optimización Combinatoria
Presentación para la clase MATH 6350
Mathematical Methods Research
Dr. Balbino García
•RosaE. Padilla Torres
•Andrea Peña Sureda
Xaymara Pérez Rodríguez

2. Introducción
• La programación lineal constituye la bisagra en
la historia de la optimización de la
combinatoria.
• Su concepción inicial por Kantorovich y
Koopmans fue motivado por las aplicaciones de
combinatoria, en particular en el transporte y
transbordo.

3. Introducción
• Despuésde la formulación de programación
lineal como un problema genérico, y el
desarrollo en 1947 por Dantzig del método
simplex como una herramienta, una ha tratado
de un ataque sobre todos los problemas de
optimización combinatoria con las técnicas de
programación lineal.

4. Introducción
• Uno puede imaginar que incluso en los muy
primitivos (incluso animales) las sociedades, la
búsqueda de caminos más cortos y la búsqueda
(por ejemplo, para la alimentación) es esencial.
• Un viaje cultivos vendedor problema cuando va
de compras o turismo, o cuando un médico o
un cartero planes de su gira.

5. Introducción
• Del mismo modo, la asignación de puestos de
trabajo a los hombres, el transporte de
mercancías, y realizar las conexiones, forma
elemental, no sólo los problemas considerados por
el matemático.
• Trabajaremos seis áreas de problemas:
• La asignación el transporte
• El flujo máximo
• La más corta de árboles
• El camino más corto
• El problema del viajante

6. 1784
• Monge
• El problema de asignación es uno de los primeros
estudiado en los problemas de optimización
combinatoria.
• Investigó el problema de asignación, aunque
camuflado como un problema continuo y, a
menudo llamado un problema de transporte.
• Dio el método geométrico para resolver el
problema de transporte, considerando la
posibilidad de una línea tangente a dos áreas y
transportar molécula a molécula hasta que todo
haya sido transportado.

7. Emparejamiento bipartito
1912 – 1917 Frobenius 1915 -1931 Köning
• La búsqueda de parejas en un • Teorema: Cada grafo
grafo bipartito fue considerado bipartito regular tiene una
como un caso especial del correspondencia perfecta.
problema de asignación.
• Corolario: El conjunto de
• Ambos investigaron la
aristas de un grafo bipartito
descomposición de matrices.
regular puede ser
• Surge el "teorema determinante
descompuesto en
curioso”
emparejamientos perfectos.
• Dio una combinatoria y prueba
algebraica.
• Demostró el teorema
fundamental de la teoría de
grafos

8. 1931
Egerváry
• Encuentra una versión ponderada del teorema de
König.
• Se caracteriza por el emparejamiento de los grafos
ponderados bipartitos, el cual se aplica al problema
de asignación

9. 1946
• Esterfield
• Formuló y probó un teorema equivalente al de
König.
• Describió un método primal-dual para el problema
de asignación.
• Realizó la mejor exploración de todas las
permutaciones para sus tiempos.

10. 1949
• Robinson
• Informa de que un "intento fallido" para resolver el
problema del viajante de comercio, lo llevó al
siguiente ciclo en el método para la reducción
problema de asignación óptima.

11. Método “Simplex”
• Dantzig [1951] encontró un gran avance en el
problema de asignación.
• Mostró que el problema de asignación puede
ser formulado como un problema de
programación lineal que tiene
automáticamente una solución óptima entera.

12. Método “Simplex”
• Birkhoff [1946] indica que el tope convexo de
las matrices de permutación es igual al
conjunto de matrices positivas estocásticas
dobles, en las que cada fila y columna suma 1.
• Votaw [1952] informó que la solución de un
problema de asignación simple 10 10 en el
SEAC tomó 20 minutos.
• Kuhn indica que este es un problema lineal con
100 variables no negativas y 20 limitaciones.

13. Tema de complejidad
• El problema de asignación ha ayudado a
obtener una idea de que un algoritmo finito no
tiene que ser práctico.
• Se expuso poca confianza en las matemáticas.
• Thorndike [1952] presentó tres heurísticos para
el problema de asignación, Método de la Divina
Intuición, Método de las Cuotas Diarias, y el
Método de Rendimiento Previsto.

14. Tema de complejidad
• Von Newman [1951] mostró que el problema de
asignación puede ser reducido a la búsqueda de
estrategia óptima en una columna cuyas sumas no son
cero.
• Brown [1950] método para determinar las estrategias
óptimas es que cada jugador elige a su vez, la línea
que es mejor con respecto a la distribución de las
líneas elegidas por el oponente hasta el momento.

15. Tema de complejidad
• Fue probado por Robinson [1951] que converge
a las mejores estrategias.
• El método de Brown y de Von Neumann [1950]
son una versión continua de esta, y asciende a
la solución de un sistema de ecuaciones
diferenciales a lineales.

16. Tema de complejidad
• Beckmann y Koopmans [1953] señalaron que
hay que añadir que en todos los problemas de
asignación discutidos, no son, el método de
fuerza bruta obvia de enumerar todas las
tareas, la evaluación de la maximización en
cada uno de estos, y la selección de la
asignación de dar el valor más alto.

17. Método Húngaro
• Kuhn [1955-1956]
• Mientras leía el libro clásico Konig en la teoría de
grafos, se percató de que el problema del pareo de
un grafo bipartito de dos conjuntos de n vértices
está asignado por cada componente de la matriz.

18. 1930
• Tolstoĭ
• Realizó en primer estudio sobre el problema de
transporte.
• Escribió el artículo titulado “Método para
encontrar el mínimo kilometraje en la planificación
de transporte de carga en el espacio” el cual fue
publicado en el libro sobre transportación emitido
por la Comisaría Nacional de Transporte de la
Unión Soviética.

19. 1930
• Tolstoĭ
• Estudió la maximización
óptima para una ruta de
10 fábricas.
• Resolvió el problema de
entrega en 10 pasos
utilizando programación
lineal moderna.

20. 1939
• Kantorovich
• Sin darse cuenta, estudió la clase general de
problemas que incluye el problema de transporte.
• El caso más simple de uno o dos problemas de
estas variables son fáciles de resolver, pasando por
todos los puntos extremos posibles y elegir ruta o
camino mejor.
• Formuló los problemas sobre el factor de riesgo en
una fábrica de tapas como un problema de
optimización de transporte de la materia prima por
todas las estaciones de trabajo.

21. 1939
• Kantorovich
• Describe un nuevo método para maximizar la función
lineal bajo ciertas restricciones de desigualdad lineal.
• El método consiste en la determinación de las variables
duales y la búsqueda de solución primaria
correspondiente.
• El papel de las variables duales en el análisis de
sensibilidad.
• Dio una gran cantidad de aplicaciones prácticas de sus
métodos, que se basa principalmente en la economía
del plan soviético.

22. 1939
• Kantorovich
• Dio el problema de transporte como una
aplicación.
• El primer problema trata sobre la ubicación de
estaciones de consumo con respecto a las
estaciones de producción.

23. 1942
• Kantorovich
• Dio un método de reducción de ciclo para
encontrar el mínimo costo de transbordo.
• Se limitó a las funciones de distancia simétrica.

24. 1941
• Hithcock
• Podría ser el primero con una descripción
matemática precisa del problema de asignación.
• Para poder minimizar los costos de distribución de
productos por la ciudad, tomó en consideración
las tarifas de flete y el costo por tonelada de
producto en cada ciudad en particular.
• Demostró que el mínimo se alcanza en el vértice de
la región factible y esbozó un plan para resolver el
problema de transporte.

25. 1942 - 1948
• Koopmans
• Fue nombrado en marzo de 1942 como un
estadístico personal de los mercantes británicos.
• Fue responsible de los problemas de rutas de la
Marina Mercante durante la Segunda Guerra
Mundial.
• Analizó la sensibilidad de los envíos óptimos para
los pequeños cambios en las demandas
• No encontró un algoritmo matemático óptimo.

26. 1942 - 1948
• Koopmans
• Declaró que si no mejora en una solución el problema
de transporte, una solución puede ser obtenida por un
cíclico cambio de rutas de los barcos, entonces, la
solución es óptima.
• “El retraso cultural del problema económico en la
aplicación de métodos matemáticos es notablemente
ilustrada por el hecho de que los gráficos lineales están
haciendo su entrada en la teoría de transporte de casi
un siglo después de haber sido estudiado por primera
vez, en relación con las redes eléctricas, aunque
organizados los sistemas de transporte, son mucho
mayores que el estudio de electricidad”.

27. 1949 - 1950
• Programación lineal y el método “Simplex”
• El problema de trasporte fue fundamental en el
desarrollo del problema más general de
programación lineal.
• El verdadero “crux” de esta investigación es si el
ahorro en el costo de transporte supera el costo de
utilizar la programación lineal.
• Se crearon métodos alternos por Gleyzal
[1955], Ford y Fulkerson[ 1955 – 1956], Munkres
[1957] y Egervary [1958]

28. Teorema de Menger
• Eltopólogo, Karlo Menger, publicó su teorema
en el artículo “On the General Theory of
Curves” en 1927.
• Es el resultado básico sobre conectividad en un
grafo finito-no dirigido.
• Provo la conectividad de las esquinas (edges) y
de los vértices.

29. Conectividad de Esquinas (edge-connectivity):
Si G es un grafo finito-no dirigido, siendo x y y dos
vértices distintos.
El teorema indica que el tamaño mínimo del corte de
esquina para x y y es igual al numero máximo de pares de
caminos independientes de cada esquina desde x hasta y.
• Conectividad de Vértices (vertex-connectivity):
Si G es un grafo finito-no dirigido, siendo x y y dos
vértices no adyacentes.
El teorema indica que el tamaño mínimo del corte del
vértice para x y y es igual al numero máximo de pares de
caminos independientes de cada vértice desde x hasta y.

30. • El
resultado puede ser formulado en términos
de grafos:
Si G = (V,E) es un grafo indirecto
siendo P,Q contenidos en V.
• El
número máximo de caminos P-Q disjuntos es
igual a la cardinalidad mínima del conjunto W
de tal manera que cada P-Q camino interseca
W.

31. • Curva: espacio compacto y conectado X con la
propiedad de que para cada x que pertenece a
X, cada vecindario de x contiene un vecindario
x con limites totalmente conectados.
• Menger aplico inducción en |E|, donde E es el
conjunto esquina de un grafo G.
• La base de la inducción: P y Q contienen todos
los vértices.

32. Flujo Máximo de 1954
• Fue formulado primeramente en 1954 por T.E.
Harris como un modulo simplificado del flujo
de trafico del ferrocarril soviético.
• El 1955, Lester R. Ford y Delbert R. Fulkerson
crearon el primer algoritmo conocido y le
llamaron el Algoritmo Ford-Fulkerson.
• En la teoría de la optimización, fue encontrado
como un flujo factible de un recurso-sencillo,
un solo flujo de red que sea máximo.

33. • Flujo de Red (flow network): es un grafo directo
donde cada esquina tiene una capacidad y cada
una de estas esquinas recibe un flujo.
• En investigación de operaciones, cada grafo
dirigido se conoce como una red.
• Una red puede ser utilizaba para modelar el
trafico de un sistema de carreteras, el fluido en
la plumería, corriente en un circuito eléctrico, o
cualquier cosa que pueda viajar a través de una
red por nodos.

34. • Elproblema del flujo máximo puede ser visto
como un caso sencillo de una red de problemas
de flujo mas complejos.
• Dado un grafo, con un vértice “recurso” s y un
vértice “terminal” t y una función capacidad c
definida en sus limites, se encuentra un flujo de
valor máximo de s hasta t sujeto a c.

35. •Ejemplo de un flujo de red con flujo máximo.
•El recurso es s y el terminal es t.
•Los números denotan el flujo y la capacidad.

36. • Existendiferentes métodos para resolver el
problema del flujo máximo:
1. Programación Lineal: restricciones dadas por
la definición de un flujo legal.
2. Algoritmo Ford-Fulkerson: siempre y cuando
haya un camino a través del grafo
residual, envía el mínimo de capacidades
residuales en un camino.

37. El Teorema “Max-flow Min-cut”
• En 1954, Ford and Fulkerson presentaron el
teorema max-flow min-cut para grafos no
dirigidos, diciendo que:
valor flujo máximo =
capacidad mínima de separación de s y t ;
donde s:recurso y t:terminal

38. • Ahora bien podemos establecer que:
valor max. del flujo s-t = capacidad min. de corte s-t
• Robacker mostro que este teorema puede ser
derivado de la versión vertice-disjunto.
• Es un caso especial del teorema de dualidad y
puede ser usado para derivar el teorema de
Menger.

39. Ejemplo:
*Una red de valor de flujo de 7.
*El vértice es blanco y los vértices grises de los
subconjuntos s y t de un corte s-t.

40. Flujos de Costo Mínimo
• Encuentra el camino mas económico posible
para enviar cierta cantidad de flujo a través de
una red de flujo.
• Puede resolverse por programación lineal, ya
que optimizamos un función lineal ya que
todas las restricciones son lineales.

41. Shortest Spanning Tree
(Árbol de Corto-Paneo)
• Boruvka fue el primero en considerar el
problema del árbol de corto-paneo
• Tiene menos o igual peso que cualquier otro
árbol de paneo.
• Dado un grafo conectado y no dirigido, una
árbol de paneo es un subgrafo y conecta todos
los vértices.

42. • Se asigna un peso a cada esquina (edge), el cual
es un numero que representa cuan no
favorable puede ser y usado para asignar el
peso al árbol de paneo computando la suma de
los pesos.
• Ejemplo:
# Cada esquina tiene su propio peso, el cual es approx.
proporcional al largo.

43. Ejemplo:
• Un árbol de paneo para ese grafo seria un
subconjunto de todos los camino que no tienen
ciclos pero aun así conectan todas las casas.

44. Camino más corto

45. • Los problemas de la rutas se estudiaron a
comienzos de la década del 1950 en el contexto de
las rutas alternas, es decir, encontrar el segundo
camino más corto por si la ruta para el primer
camino es bloqueada.
• Durante este periodo se consideran los enfoques
heurísticos.
• La búsqueda del camino más corto es un
laberinto, que se relaciona con grafos de
problemas clásicos que constituyen las bases para
las técnicas en su profundidad.
• Ejemplo: Uso de la autopista, la ruta de una llamada
telefónica.

46. 1946 -1953
• Métodos de matriz para la ruta de unida de
longitud corta.
• Se desarrolla para estudiar las relaciones en las redes.
• Estos métodos fueron estudiados debido a su
aplicación en las comunicaciones.
• Los métodos de matriz consisten en la representación
del grafo dirigido por una matriz
• La motivación para que Shimbel se interesara por los
métodos fue por sus aplicaciones a las redes
neuronales.
• Analizó con las matrices que los lugares en una red se pueden
comunicar entre sí y cuánto tiempo se necesita para ese fin.
• Descubre que un sistema de comunicación adecuado es aquel
que tiene matriz con valores positivos.
• El tiempo que toma ir a todos los lugares con información es
igual a un valor mínimo positivo.

47. Longitud de caminos más cortos
• Se basan en las distancias y los caminos más
cortos de longitud desde un vértice
determinado.
• Para determinar la longitud existen los
métodos de:
• Bellman-Ford
• Dijkstra

48.  Método de Bellman- Ford
 Se utiliza cuando hay aristas con pesos
negativos
 Si un grafo contiene un ciclo de costo
total negativo entonces este grafo no tiene
solución.
 Se consideran todos los arcos en forma
consecutiva y la repetición de ellos
Método de Dijkstra
 Es el método más rápido pero esta
limitado solamente a las longitudes
positivas.
 Se enfoca en elegir un arco con distancia
pequeña.

49. Surgen una serie de resultados que se obtienen
sobre el problema del camino más corto e
incluyen la programación lineal como enfoque
para estos problemas.
Seresumen artículos realizados por los
científicos en un orden cronológico.

50. Shimbel 1955
• En abril de 1954 se presentó su papel en el Simposio sobre las
Redes de Información en Nueva York.
• Su propósito fue extender sus métodos de matriz para la ruta
de longitud corta, donde presenta la siguiente “min-sum
álgebra”
• Esto para encontrar las distancias en todos los pares de puntos
o nodos.

51. Programación lineal en
los caminos más cortos 1955-1957
• Dantzing:
• mostró su método con un ejemplo de envío de un
paquete desde Los Ángeles a Boston, y muestra
que puede tomar un tiempo exponencial.

52. Ford 1956
• En agosto de 1956 describe un método para
encontrar el camino más corto desde 0 hasta n,
en una red de vértices V0, …, Vn y lij es la
longitud de un arco de i a j.
• Concluye que una matriz de longitud (li,j) es la
única matriz (di,j) que satisface su método.

53. Características para un buen camino corto
(1956 – 1958)
• Elmáximo de un número de cortes disjuntos es
igual a la longitud de la cadena más corta.
• Gallai ( 1958):
• La longitud en los arcos de un grafo dirigido
no es negativa <-> existe una función
potencial p: V -> ℤ tal que l(u,v) ≥ p(v) –
p(u) para cada arco.

54. Bellman 1958
• Se enfocó en el problema del camino más corto, y
publicó un artículo llamado “el método de la
ecuación funcional”:
• Hay N ciudades, cada dos de las ciudades están unidas
por un camino directo.
• Una matriz T = (ti, j) es dada cuando ti, j es el tiempo
requerido para viajar desde i hasta j.
• El objetivo es encontrar un camino entre 1 y N que consuma
un tiempo mínimo.
• Solo hay un número finito de rutas;
• el problema se reduce a la elección de la más pequeña de un
conjunto finito de números.

55. • Entonces le dio un enfoque a la ecuación
funcional:

56. Dantzing 1958
• Consisteen elegir un arco con una distancia y
longitud lo más pequeño posible, asume que:
• Se puede escribir el orden de longitud para cada
nodo de los arcos donde estos conducen en orden
creciente.
• no es posible hacer caso omiso que un arco
conduce a un nodo que se ha alcanzado
anteriormente.

57. Moore 1959
• Presentó el camino más corto a través de un
laberinto.
• Eran algoritmos especialmente adecuados para
el uso en computadora.
• Su motivación fue la ruta de la llamada
telefónica.
• Considera un grafo no dirigido y sin longitud de
función, en la que un camino desde el vértice A
hasta B debe ser encontrado con un número
mínimo de bordes

58. Problema del
Viajante del Comercio

59. • Sean N ciudades de un territorio. El objetivo es
encontrar una ruta que, comenzando y
terminando en una ciudad concreta, pase una
sola vez por cada una de las ciudades y
minimice la distancia recorrida por el viajante.

60. Manual Para el vendedor Exitoso 1832
• El problema tiene una interpretación natural por
los matemáticos.
• El manual parte de la advertencia sobre los riesgos de
las mujeres dentro y fuera de los negocios.
• Como debería ser y lo que tiene que hacer para
obtener pedidos y estar seguro de tener éxito en su
negocio.
• Orienta al vendedor a organizar sus viajes para obtener
economía; teniendo en cuenta sus viajes de ida y
vuelta. El punto principal consiste en visitar tantos
lugares como sea posible sin repetir los lugares.

61. Muestra Un recorrido por 45 ciudades alemanas, como se
describe en el manual de 1832 , está dada por la continua (en
negrita y delgada) líneas (1285 km). Un corto recorrido está dada
por la audaz ininterrumpida y por las líneas punteadas (1248 km).

62. Menger 1930
• Primermatemático que escribió sobre el
problema del viajante, donde estudia la
longitud de una curva simple en un espacio
métrico , por definición
• Demostró que se podía minimizar todas las
posibles ordenaciones de X, con este fin se
define que para cualquier subconjunto finito X
existe un espacio métrico de longitud corta
λ(X) , l(C) = sup λ(X) .

63. Harvard, Princeton 1930-1934
• En 1930 1931 Menger fue profesor en la
Universidad de Harvard, donde presenta sus
estudios y resultados en las longitudes y
caminos más cortos a través de conjuntos
finitos.
• Hassler Whitney, quien hizo un doctorado en
teoría de Grafos en Harvard, mencionó en la
Universidad de Princeton el Problema de
encontrar la ruta más corta a lo largo de los 48
Estados de América.

64. Conclusión
• El origen de todos los métodos se presentan
como ejemplos de investigación básica.
• Los algoritmos pueden conducir finalmente a
un ahorro de grandes sumas de dinero y
tiempo al permitir el uso más eficiente de
transportes o de sistemas de comunicación.
• La búsqueda del camino más corto puede
conducir a ensayos y errores por tanto puede
tomar mucho tiempo en alcanzar la ruta del
camino más corto.