EJEMPLO DE COMO RESOLVER UNA INTEGRAL COMPLETANDO SU DIFERENCIAL

1. CCALCULO INTEGRALEDGARMATA ORTIZ
STEFANIA VAZQUEZ FLORES
GERMIVEN SALINAS PEREZ
MANUEL LOPEZ REQUEJO
4ª A PROCESOS INDUSTRIALES

2. C
En esta presentación te explicaremos como
resolver una integral a través del método
llamado “COMPLETAR EL DIFERENCIAL”

3. • ‫׬‬
3𝑥−1
𝑥2+8𝑥+25
dx =
Primero tenemos que buscar
completar la derivada que
aparece en el numerador con la
derivada con en el denominador
Tenemos que
factorizar el 3x+1 para
poder quitarle el
coeficiente a x඲
3 𝑥−
1
3
𝑥2+8𝑥+2.5
dx
3඲
𝑥−
1
3
𝑥2+8𝑥+2.5
dx
3
2
‫׬‬
2𝑥−
2
3
𝑥2+8𝑥+25
dx
U= 𝑥2
+ 8𝑥 + 25
Du= 2x+8 dx
Para completar el
diferencial es necesario
colocar el 2 junto con la x-
1/3 y después multiplicarlo
pero también colocar
afuera el dos
3
2
න
2𝑥 + 8 − 8 −
2
3
𝑥2 + 8𝑥 + 25
dx
El 8 que hace falta podemos agregarlo sin
problema sumando pero también restando
siempre y cuando no afecte la integral

4. Ambas se tienen que seguir
multiplicando por el coeficiente
que esta afuera de la integral
Para poder eliminar el
8 que nos sobra
separaremos en dos la
integral
Para solucionar la primera
integral tiene resultado
directo pero para la
segunda se hará un
trinomio cuadrado
perfecto para poder
solucionarla
3
2
න
2𝑥 + 8 − 8 −
2
3
𝑥2 + 8𝑥 + 25
dx
3
2
න
2𝑥 + 8
𝑥2 + 8𝑥 + 25
dx +
3
2
‫׬‬
−8−
2
3
𝑥2+8𝑥+25
dx
3
2
𝐼𝑛 𝑥2
+ 8𝑥 + 25 +
3
2
න
−
26
3
𝑥2 + 8𝑥 + 25
dx
3
2
(−
26
3
) න
𝑑𝑥
𝑥2 + 8𝑥 + 25
dx
Se sacar la expresión para
poder multiplicarla con la
expresión que se encuentra
fuera de la integral

5. Después que se cancele
una expresión y quede
una sola expresión se
podrá resolver
completando trinomio
cuadrado perfecto
3
2
𝐼𝑛 𝑥2
+ 8𝑥 + 25 +
3
2
න
−
26
3
𝑥2 + 8𝑥 + 25
dx
3
2
(−
26
3
) න
𝑑𝑥
𝑥2 + 8𝑥 + 25
−
26
2
න
𝑑𝑥
𝑥2 + 8𝑥 + 25
−13 න
𝑑𝑥
𝑥2 + 8𝑥 + 25
−13 න
𝑑𝑥
(𝑥 + 4)2 + 9
𝑥2
+ 8𝑥 + 25=𝑥2
+ 8𝑥+(
8
2
)2
−(
8
2
)2
+25
=(x +
8
2
)2 − 16 + 25
= (𝑥 + 4)2
+ 9
Trinomio
cuadrado
perfecto
Regla: El cuadrado del primer termino mas el
doble del primer por el segundo termino, mas el
cuadrado del segundo termino.

6. Ahora si se puede resolver
con la siguiente formula
Formula
−13 න
𝑑𝑥
(𝑥 + 4)2 + 9
න
𝑑𝑣
𝑣2 + 𝑎2 =
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐 tan
𝑣
𝑎
𝑣2
= (𝑥 + 4)2
𝑎2
= 9
v= 𝑥 + 4
a=3
dv=dx
−13(
1
3
𝑎𝑟𝑐 tan
𝑥 + 4
3
)
−
13
3
𝑎𝑟𝑐 tan
𝑥 + 4
3
‫׬‬
3𝑥−1
𝑥2+8𝑥+25
dx = 3
2
𝐼𝑛 𝑥2
+ 8𝑥 + 25 −
13
3
𝑎𝑟𝑐 tan
𝑥 + 4
3
+ c
Se añade el
resultado que
ya se había
obtenido