Presentacion trabajo colaborativo fase 1 problema

1. ECUACIONES DIFERENCIALES - 100412-40
TRABAJO COLABORATIVO FASE 1
JAVIER FELIPE RINCON
EDISSON HARLEY VALCARCEL DATIVA
CODIGO: 1057545191
HECTOR IVAN BLANCO
TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD- DUITAMA
2015

2. Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal
constante de 10000m3/s que vierte sus aguas por la
única entrada de un lago con volumen de 6000 millones
de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1
de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por
día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde,
bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s.
Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de
agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y
determine la concentración de contaminantes en el lago
después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).
PROBLEMA DE ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

3.  Los datos conocidos de los ejercicios son los
siguientes:
 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 10000
𝑚3
𝑠
 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000
𝑚3
𝑠
 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 =
2
𝑚3
𝑠
8000
𝑚3
𝑠
=
0.00025 = 0.025%
 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 6000 ∗ 106 𝑚3
𝑠
DESARROLLO

4. ESQUEMA

5. Este ejercicio es un modelo de ejercicio del caso de
mezclas que tiene algunas consideraciones importantes
para tener en cuenta:
Durante el día solo se va a presentar entrada del
contaminante en 4 horas luego eso implicaría tener
ecuaciones que trabajaran por intervalos lo cual sería
más complicado. Para solventar este problema vamos a
considerar una entrada promedio por día del
contaminante así:
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2
𝑚3
𝑠
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎
= 2
𝑚3
𝑠
∗
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
∗
60 𝑚𝑖𝑛
1 ℎ
∗ 4 ℎ = 28.800 𝑚3

6.  𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 28800
𝑚3
𝑑𝑖𝑎
 El volumen del lago se mantiene constante ya que los caudales de
entrada y salida son iguales.
 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000
𝑚3
𝑠
∗
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
∗
60 𝑚𝑖𝑛
1 ℎ
∗
24 ℎ
1 𝑑𝑖𝑎
=
691200000
𝑚3
𝑑𝑖𝑎

 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 6000 ∗ 106 𝑚3
𝑠
 Luego de presentar las anteriores consideraciones vamos a plantear
la ecuación que relaciona la cantidad de contaminante en el tiempo.
esta se representa por:

𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑄𝑖 − 𝑄 𝑜

𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑉𝑖 − 𝑉𝑜
 Ahora vamos a reemplazar

𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 28800 − 691200000 ∗
𝑄 𝑡
6000∗106

7.  Simplificando:
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 28800 − 0.1152𝑄 𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 0.1152𝑄 𝑡 = 28800
𝜇 = 𝑒 0.1152𝑑𝑡
= 𝑒0.1152𝑡
𝑒0.1152𝑡 ∗
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑒0.1152𝑡 ∗ 0.1152𝑄 𝑡 = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800
𝑑
𝑑𝑡
𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄 𝑡 = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800
𝑑 𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄 𝑡 = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800 𝑑𝑡
𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄 𝑡 = 28800 𝑒0.1152𝑡 𝑑𝑡
𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄 𝑡 =
28800
0.1152
𝑒0.1152 + 𝐶

8. 𝑒0.1152𝑡
∗ 𝑄 𝑡 = 250000𝑒0.1152𝑡
+ 𝐶
 𝑄 𝑡 =
250000𝑒0.1152𝑡+𝐶
𝑒0.1152𝑡
𝑄 𝑡 = 250000 + 𝐶𝑒−0.1152𝑡
Tenemos la cantidad de contamiente en el lago. Ahora
sustituimos las condiciones iniciales:
𝑄 0 = 0
0 = 250000 + 𝐶𝑒−0.1152 0
0 = 250000 + 𝐶
𝐶 = −250000
𝑄 𝑡 = 250000 − 250000𝑒−0.1152𝑡
Con esta ecuación se puede hallar una expresión para
determinar la concentración de contaminante en el lago
𝐶 𝑡 =
𝑄 𝑡
𝑉 𝑡
=
250000 − 250000𝑒−0.1152𝑡
6000 ∗ 106

9. Entonces:
 𝑡 = 1 𝑑í𝑎
𝐶 1 =
250000 − 250000𝑒−0.1152(1)
6000 ∗ 106
= 0.00000453
= 0.000453%
𝑡 = 30 𝑑í𝑎
𝐶 30 =
250000 − 250000𝑒−0.1152(30)
6000 ∗ 106 = 0.0000403
= 0.00403%
𝑡 = 365 𝑑í𝑎
𝐶 365 =
250000 − 250000𝑒−0.1152(365)
6000 ∗ 106 = 0.0000416
= 0.00416%