Derivadas parciales

1. DERIVADAS
PARCIALES
sancristobal,25 de juliodel2018
República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Instituto Politécnico Santiago Mariño (IUPSM)
San Cristóbal, Edo “Táchira”
Elaborado por:
Ely Johana C.I. – 26.407.144
Sección: S1

2. CONCEPTO: DADA UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES 𝑓 𝑥, 𝑦 , SE DEFINE LAS
DERIVADAS PARCIALES DE LA
FUNCIÓN CON RESPECTO A LAS
VARIABLES X , Y COMO EL LIMITE DE
LA FUNCIÓN INCREMENTADA, ASÍ
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
𝑓 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑦

3. 𝜕𝑓
𝑑𝑥
; 𝑓𝑥 ; 𝐷1 𝑓
𝜕𝑓
𝑑𝑦
; 𝑓𝑦 ; 𝐷2 𝑓
LAS DERIVADAS PARCIALES TAMBIÉN
SE DENOTAN DE LA SIGUIENTE
MANERA.

4. INTERPRETACION GEOMETRICA
DE LAS DERIVADAS PARCIALES

6. CALCULO DE DERIVADAS
PARCIALES
Aplicar la definición de derivadas parciales para
encontrar
𝜕𝑓
𝜕𝑥
;
𝜕𝑓
𝑑𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
3 𝑥 + ∆𝑥 2 𝑦 − 3𝑥2 𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
3 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 𝑦 − 3𝑥2 𝑦
∆𝑥

7. 𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
3𝑥2
𝑦 + 6𝑥∆𝑥𝑦 + 3 ∆𝑥 2
𝑦 − 3𝑥2
𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
3𝑥2
𝑦 + 6𝑥∆𝑥𝑦 + 3 ∆𝑥 2
𝑦 − 3𝑥2
𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
6𝑥∆𝑥𝑦 + 3 ∆𝑥 2 𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥 6𝑥𝑦 + 3∆𝑥𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
6𝑥𝑦 + 3∆𝑥𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦

8. 𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
𝑓 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2 𝑦 + ∆𝑦 − 3𝑥2 𝑦
∆𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
𝑦 + 3𝑥2
∆𝑦 − 3𝑥2
𝑦
∆𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
𝑦 + 3𝑥2
∆𝑦 − 3𝑥2
𝑦
∆𝑦

9. 𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑥2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2∆𝑦
∆𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑥2

12. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3
𝑦5
− 3𝑥2
𝑦4
+ 2𝑥 + 5𝑦 − 8
EJEMPLO
Encontrar las derivadas parciales de la función
Buscamos la derivada parcial con respecto a x.
𝑓 𝒙, 𝑦 = 𝟒𝒙 𝟑 𝑦5 − 𝟑𝒙 𝟐 𝑦4 + 𝟐𝒙 + 5𝑦 − 8
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝑦5 − 𝟔𝒙𝑦4 + 𝟐

13. Buscamos la derivada parcial con respecto a y.
𝑓 𝑥, 𝒚 = 𝟒𝑥3 𝒚 𝟓 − 𝟑𝑥2 𝒚 𝟒 + 2𝑥 + 𝟓𝒚 − 8
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝟐𝟎𝑥3
𝒚 𝟒
− 𝟏𝟐𝑥2
𝒚 𝟑
+ 𝟓

14. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5𝑥2 𝑦 + 6𝑥3 𝑦−2 + 𝐿𝑛 5𝑥 + 3𝑦2
𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥3 𝑦2 𝑒 𝑆𝑒𝑛(2𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛𝑒3𝑥𝑦 + 𝐿𝑛 𝐶𝑜𝑠(3𝑥 + 4𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑦 + 𝑇𝑎𝑛(3𝑦2 + 2𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3 𝑒2𝑥2 𝑦 + 𝐿𝑛
3 𝑥2 + 5𝑥𝑦
𝑥2 + 2𝑦2

15. DERIVAS PARCIALES DE ORDEN
SUPERIOR

16. Determine las segundas derivadas de la función
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3 𝑦2 + 2𝑥4 𝑦5 + 2𝑥 − 3𝑦
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑓𝑥 = 12𝑥2
𝑦2
+ 8𝑥3
𝑦5
+ 2
𝑓𝑦 = 8𝑥3
𝑦 + 10𝑥4
𝑦4
− 3
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑓𝑥𝑥 = 24𝑥𝑦2 + 24𝑥2 𝑦5
𝑓𝑥𝑦 = 24𝑥2
𝑦 + 40𝑥3
𝑦4
𝑓𝑦𝑦 = 8𝑥3 + 40𝑥4 𝑦3 − 3
𝑓𝑦𝑥 = 24𝑥2
𝑦 + 40𝑥3
𝑦4

17. Teorema de las derivadas cruzadas
Sea 𝑓( 𝑥 , 𝑦) una función cuyas segundas derivadas
existen, entonces se verifica que
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦)

18. DETERMINE LAS SEGUNDAS
DERIVADAS DE
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑥𝑦2
+ 𝑆𝑒𝑛(2𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 3
+ 4𝑥2
𝑦2
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑒2𝑥𝑦) + 𝑒 𝑆𝑒𝑛(2𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿𝑛
𝑥2
𝑦2 + 2
+ 𝑇𝑎𝑛(𝑥2 + 𝑦2)

19. GRADIENTE
Dada una función 𝑓 𝑥, 𝑦 cuyas primeras derivadas existen,
se llama gradiente de f al vector cuyas componentes son las
primeras derivadas parciales de la función. El gradiente se
representa por 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 𝑜 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 𝛻 𝑛𝑎𝑏𝑙𝑎
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗
El vector gradiente es normal a la superficie dada

20. 𝛻𝑓
𝛻𝑓
𝛻𝑓