INTRODUCTION TO GEOMETRY AND TRIGONOMETRY

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE POSTGRADO
ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
MENCIÓN BÁSICA GENERAL
UNIDAD CURRICULAR: TRIGONOMETRÍA Y CÁLCULO
PROFESORA YANNITSA FERNÁNDEZ
GUÍA DE ESTUDIO N°1.
OBJETIVOS DIDÁCTICOS:
Utilizar conceptos básicos de la geometría plana en el estudio de la
trigonometría.
El estudio de la geometría en la enseñanza primaria y media general es una de las
áreas así como la trigonometría que tiene elevado uso durante el tratamiento de
temas más avanzados de las matemáticas. Por tal motivo, es de interés en esta
unidad curricular repasar algunos conceptos geométricos necesarios para el
exitoso abordaje del conocimiento Trigonométrico.
ÁNGULO.
Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice.
Las semirrectas se llaman lados. El ángulo se designa por una letra mayúscula
situada en el vértice. A veces se usa una letra griega dentro del ángulo. También
podemos usar tres letras mayúsculas de manera que quede en el centro la letra
que está situada en el vértice del ángulo. En la figura 1 se representan los ángulos
A, α y MNP o PNM
Figura 1
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2. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.
Podemos clasificar los ángulos según su medida, su posición o suma de sus
medidas.
Según su medida
Ángulo agudo. Es aquel ángulo que mide menos de 90°.
Ángulo Recto. Es el que mide 90°.
Ángulo obtuso. Es mayor de 90°, pero menor que 180°.
Ángulo Llano. Es aquel en el cual un lado es la prolongación del otro. Mide 180°.
Ángulo cóncavo. Es mayor a 180°, pero menor a 360°.
Perigonal o de una vuelta. Es igual a 360°, es decir, una vuelta completa.
Figura 2
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3. Según su posición
Ángulos Adyacentes. Son los que están formados de manera que un lado es
común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta. Observa que en la figura
3 (ángulos adyacentes) el ∠ߙ es adyacente al ∠β porque tienen en común el lado
AC.
Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos tales que los lados de uno de
ellos son las prolongaciones de los lados del otro. Observa que en la figura 3
(ángulos opuestos por el vértice) el ∠ ߙ y el ∠β son iguales porque son opuestos
por el vértice, al igual que los ángulos θ y ω.
Figura 3
Según su suma
Ángulos Complementarios. Son dos ángulos que sumados valen un ángulo recto,
es decir, 90°.
Ángulos Suplementarios. Son dos ángulos que sumados valen dos ángulos rectos,
es decir, 180°.
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4. Figura 4
ÁNGULO DESDE EL PUNTO DE VISTA TRIGONOMÉTRICO
Supongamos que la semirrecta ሬܱሬሬሬܤሬԦ gira alrededor del punto O, en sentido contrario
a las agujas del reloj. Entonces, ሬܱሬሬሬܤሬԦ en cada posición origina un ángulo: el ángulo
AOB (ver figura 5) por ejemplo. Cuando ሬܱሬሬሬܤሬԦ coincide con ሬܱሬሬሬܣሬԦ, el ángulo es nulo;
cuando ሬܱሬሬሬܤሬԦ comienza a girar, el ángulo aumenta a medida que ሬܱሬሬሬܤሬԦ gira. Al coincidir
ሬܱሬሬሬܤሬԦ de nuevo con ሬܱሬሬሬܣሬԦ produce un ángulo completo (360°), pero ሬܱሬሬሬܤሬԦ puede seguir
girando y crear un ángulo de un valor cualquiera.
Figura 5
ÁNGULOS POSITIVOS Y ÁNGULOS NEGATIVOS
Arbitrariamente se ha convenido que los ángulos engendrados en sentido contrario
a las agujas del reloj se toman como positivos, y los ángulos engendrados en el
mismo sentido de las agujas del reloj se consideran negativos.
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5. סܣܱܤ es un ángulo positivo
סܣܱܥ es un ángulo negativo
Figura 6
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de
otro punto llamado centro. La figura 7 representa una circunferencia de centro O.
Los puntos A, B, C son puntos de la circunferencia, y los segmentos:
തܱതതܣത ൌ ܱതതതܤത ൌ ܱതതതܥത ൌ ݎ
se llaman radios.
Figura 7
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6. Circulo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a
la misma.
Figura 8
ÁNGULOS Y ARCOS
Para la solución de triángulos rectángulos (que involucran ángulos agudos) se
requiere solamente la noción familiar y simple de ángulo adquirida de la geometría
de la escuela secundaria. Pero para el desarrollo más extenso de la trigonometría,
se necesita una nueva perspectiva sobre los ángulos. No sólo se permiten ángulos
arbitrariamente grandes sino que también se hace una distinción entre ángulos
positivos y negativos. Conocer un ángulo en trigonometría es saber cómo fue
originado el ángulo. Es conocer el lado inicial, el lado final y el tipo de rotación que
produjo al ángulo.
Figura 9
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7. Medida en grados.
Se toma un círculo y se divide su circunferencia en 360 partes iguales. El ángulo
con vértice en el centro determinado por una de estas partes tiene una medida de
un grado (escrito 1°). Esta manera de medir ángulos se debe a los antiguos
babilonios; hay un refinamiento, que evitamos. Los babilonios dividían cada grado
en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.
Es importante estar familiarizado con la medición tanto de ángulos positivos y
negativos como de ángulos que resulten de rotaciones grandes.
Medida en radianes.
La mejor manera de medir ángulos es en radianes. Se toma un circulo de radio r.
la fórmula ܥ ൌ 2ߨݎ dice que la circunferencia tiene 2ߨ (aproximadamente 6.28)
arcos de longitud r alrededor de él. El ángulo con vértice en el centro de un círculo
determinado por un arco de longitud igual a su radio mide un radián (ver figura
10).
θ mide un radián (aproximadamente
57.3°)
Figura 10
Entonces un ángulo de 360° mide 2ߨ radianes y un ángulo de 180° mide ߨ
radianes. Se abrevia lo anterior escribiendo
180° ൌ ߨ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
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8. Para convertir de grados a radianes, sólo se necesita recordar el resultado anterior.
Dividiendo por 2, 3, 4 y 6 respectivamente se obtienen las conversiones de varios
ángulos notables.
90° ൌ గ
ଶ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
60° ൌ గ
ଷ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
45° ൌ గ
ସ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
30° ൌ గ
଺ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
Si se divide la fórmula 180° ൌ ߨ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ por 180, se obtiene
1° ൌ గ
ଵ଼଴ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
Y si se divide la fórmula 180° ൌ ߨ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ por ߨ, se obtiene
ଵ଼଴°
గ ൌ 1 ݎܽ݀݅á݊
Se cumple así las siguientes reglas.
Para convertir de grados a radianes, se multiplica por ߨ⁄180.
Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180⁄ߨ
Por ejemplo
22° ൌ 22 ቀ గ
ଵ଼଴ቁ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ ൎ 0.38397 ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
y
2.3 ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ ൌ 2.3 ቀଵ଼଴
°
ൎ 131.78°
గ ቁ
LONGITUD DE ARCO Y ÁREA
Sea ݐ la medida en radianes de un ángulo ߠ con vértice en el centro de un círculo
de radio ݎ. Este ángulo recorta un arco de longitud ݏ que satisface la fórmula
simple ݏ ൌ ݎݐ.
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9. Esto se sigue directamente del hecho de que un ángulo de un radián (ݐ ൌ 1)
recorta un arco de longitud ݎ.
Una segunda fórmula útil es la del área de un sector circular mediante un ángulo
central de ݐ radianes. Obsérvese que el área ܣ de este sector, es el área de todo el
círculo como ݐ es a 2ߨ, esto es, ܣ⁄ߨݎଶ ൌ ݐ⁄2ߨ
ܣ ൌ
1
2
ݎଶݐ
Figura 11
El círculo unitario
La fórmula para longitud de arco toma una forma muy simple cuando ݎ ൌ 1, es
decir, ݏ ൌ ݐ. Al hacer énfasis en su significado tenemos que: en un círculo unitario,
la longitud de un arco es la misma que la medida en radianes del ángulo que lo
determina.
IDENTIFICACIÓN DE ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO
Un triángulo es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a
dos.
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10. Figura 12
Los puntos de intersección son los vértices del triángulo (A, B y C).
Los segmentos determinados son los lados del triángulo (a, b y c).
Se llama perímetro de un triángulo a la suma de sus tres lados.
La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos rectos.
Clasificación de los triángulos.
Atendiendo a sus lados:
Triángulo isósceles. Es el que tiene dos lados iguales; los ángulos opuestos a
dichos lados también son iguales.
Triángulo equilátero. Es el que tiene sus tres lados iguales; los tres ángulos
también son iguales.
Triángulo escaleno. Es el que tiene sus tres lados diferentes; sus ángulos también
son desiguales.
Atendiendo a sus ángulos:
Acutángulo. Es el que tiene los tres ángulos agudos.
Obtusángulo. Es el que tiene un ángulo obtuso.
Rectángulo. Es el que tiene un ángulo recto.
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11. Los lados del triángulo rectángulo reciben nombres especiales:
Catetos son los lados que forman el ángulo recto.
Hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.
La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un ángulo recto.
EJERCICIOS
Convierta cada una de las siguientes expresiones a radianes.
1) 120° 2)225° 3)240°
4) 150° 5)210° 6)330°
7) െ420° 8)െ660° 9)540°
Convierta cada una de las siguientes expresiones a grados.
10) ସ
଺ ߨ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ 12) െ ଶగ
ଷ ߨ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ 11) ହ
ଷ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
13) 3ߨ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ 14) 3 ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ 15) 4.52 ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
16) െ ଻గ
ସ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ 17) ଵଵ
ସ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ 18) ଵ
గ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
Encuentre la medida en radianes de un ángulo en el centro de un círculo de 6
pulgadas de radio, el cual barre un arco de longitud
19) 12 ݌ݑ݈݃ܽ݀ܽݏ 20) 18.84 ݌ݑ݈݃ܽ݀ܽݏ
Encuentre la longitud barrida en un círculo de radio 3 pies por un ángulo en el
centro de
21) 2 ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ 22) ହగ
଺ ݎܽ݀݅ܽ݊݁ݏ
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12. Encuentre la longitud ݏ y el área del sector circular ܣ. Redondee las respuestas a
tres decimales.
27) ¿A través de cuántos radianes debe pasar el minutero de un reloj en 1 hora?
Halla los complementos de los siguientes ángulos
28) 16° 29) 55° 30) 60°
Encuentra los suplementos de los siguientes ángulos
31) 111° 32) 95° 33) 79°
34) Si :
סܣܱܦ ൌ 2ݔ
סܦܱܥ ൌ 6ݔ
סܥܱܤ ൌ 4ݔ
¿Cuánto mide cada
ángulo?
35) Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 cm. Construye el triángulo y calcula
su perímetro.
36) Construye un triángulo que tenga un ángulo de 50° y los dos lados que lo
forman midan 5 cm y 3.5 cm.
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13. 37) Construye un triángulo que tenga un ángulo que mida 60° y los dos lados
que lo forman midan 3 y 4 pulgadas.
38) Construye un triángulo que tenga un lado que mida 7 cm y los dos ángulos
adyacentes midan 30° y 70°.
39) Construye un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm.
40) Construye un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 8 cm y
cuya hipotenusa mida 10 cm.
41) Construye un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 6 cm y un
ángulo agudo de 50°.
42) Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30° respectivamente. ¿Cuánto mide
el tercer ángulo?
43) Los ángulos en la base de un triángulo isósceles miden 40° cada uno.
¿Cuánto mide el ángulo opuesto a la base?
44) ¿Puede ser obtuso el ángulo en la base de un triángulo isósceles?
45) ¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo?
El material presentado fue tomado de los libros que se mencionan a continuación.
Para profundizar en los aspectos geométricos descritos anteriormente, te invito a
que revises estas referencias bibliográficas.
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14. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
LIBROS
• Baldor (2009). Geometría y Trigonometría (2a ed.). México: Grupo Editorial
Patria.
• Méndez (2006). Matemáticas 2 (1a ed.). México: Santillana, S. A.
• Suvillan y Hernández (2006). Álgebra y trigonometría (7a ed.). Editorial Pearson
Educación.
• Walter, Fleming y Dale Varberg (1991). Álgebra y Trigonometría con
Geometría Analítica. (3a ed.) México: Pretince – Hall Hispanoamericana, S.A.
PÁGINAS WEB
http://books.google.co.ve/books?id=44-
YnoUhxOoC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=o
nepage&q&f=false
http://www.vitutor.net/2/1/23.html
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