Este documento describe el método de la sección transformada para analizar vigas compuestas de dos materiales. Explica que cuando una viga de un material con módulo de elasticidad E1 es reforzada con un material de módulo mayor E2, la viga compuesta se puede analizar como una viga homogénea equivalente. La sección transformada tiene un momento de inercia JVT igual a J1 más n veces J2, donde n es la relación E2/E1. El documento también presenta un ejemplo numérico para calcular las tensiones en una viga de

1. Clase N° 9 – TPN° 8
Flexión - Vigas de dos
materiales
(Método de la sección transformada)
Curso de Estática y
Resistencia de Materiales
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Buenos Aires

2. Supongamos una viga de un
material que tiene…
…un módulo de elasticidad E1 la cual va a ser reforzada
con un material que tiene un módulo de elasticidad
mayor E2.
Se trata de que la adhesión entre los dos materiales
sea tal, que al producirse la flexión no se produzca
deslizamiento entre la viga y la platina de refuerzo. E1
E2
E1< E2
platina
viga
En la superficie de contacto no debe haber
deslizamiento entre los dos materiales pues este es el
fundamento del comportamiento estructural de la viga:
que los dos materiales trabajen monolíticamente. Por
lo tanto se cumplirá:
𝜀1 =
𝜎1
𝐸1
=
𝜎2
𝐸2
= 𝜀2 → 𝜎2 = 𝜎1 ∙
𝐸2
𝐸1
= 𝜎1 ∙ 𝑛
Reemplacemos ahora la viga original por una viga transformada de material homogéneo (E1),
en dónde, los esfuerzo de flexión en la viga transformada, se calcularán asumiendo que la
relación momento curvatura de ésta es igual que en la viga original.

3. El par interno resistente en la
sección es:
𝑀 = 𝜎𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 =
1
𝜎1 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 +
2
𝜎2 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸1 ∙ 𝑘
1
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 + 𝐸2 ∙ 𝑘
2
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝑀 = 𝑘 ∙ 𝐸1 ∙ 𝐽1 + 𝐸2 ∙ 𝐽2
J1 J2
…siendo:
𝜎𝑥 = 𝐸 ∙ 𝑘 ∙ 𝑦 la tensión en la superficie de contacto dónde:
𝑘 =
𝑀
𝐸1 ∙ 𝐽1 + 𝐸2 ∙ 𝐽2
=
𝑀
𝐸1 ∙ 𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2
…y por lo tanto: 𝜎𝑥 = 𝐸 ∙
𝑀
𝐸1 ∙ 𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2
∙ 𝑦
…así será:
𝜎1 =
𝑀
𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2
∙ 𝑦 → 𝑐𝑜𝑛 𝐸 = 𝐸1
𝜎2 =
𝑀 ∙ 𝑛
𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2
∙ 𝑦 → 𝑐𝑜𝑛 𝐸 = 𝐸2
→
𝜎1 =
𝑀
𝐽𝑉𝑇
∙ 𝑦
𝜎2 =
𝑀 ∙ 𝑛
𝐽𝑉𝑇
∙ 𝑦
…siendo:
𝐽𝑉𝑇 = 𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2 Momento de inercia de la viga transformada

4. El par interno resistente en la
sección es:
𝑀 = 𝜎𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 =
1
𝜎1 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 +
2
𝜎2 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸1 ∙ 𝑘
1
𝑦 ∙ 𝑑𝐴 + 𝐸2 ∙ 𝑘
2
𝑦 ∙ 𝑑𝐴
𝑀 = 𝑘 ∙ 𝐸1 ∙ 𝐽1 + 𝐸2 ∙ 𝐽2
J1 J2
…siendo:
𝜎𝑥 = 𝐸 ∙ 𝑘 ∙ 𝑦 la tensión en la superficie de contacto dónde:
𝑘 =
𝑀
𝐸1 ∙ 𝐽1 + 𝐸2 ∙ 𝐽2
=
𝑀
𝐸1 ∙ 𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2
…y por lo tanto: 𝜎𝑥 = 𝐸 ∙
𝑀
𝐸1 ∙ 𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2
∙ 𝑦
…así será:
𝜎1 =
𝑀
𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2
∙ 𝑦 → 𝑐𝑜𝑛 𝐸 = 𝐸1
𝜎2 =
𝑀 ∙ 𝑛
𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2
∙ 𝑦 → 𝑐𝑜𝑛 𝐸 = 𝐸2
→
𝜎1 =
𝑀
𝐽𝑉𝑇
∙ 𝑦
𝜎2 =
𝑀 ∙ 𝑛
𝐽𝑉𝑇
∙ 𝑦
…siendo:
𝐽𝑉𝑇 = 𝐽1 + 𝑛 ∙ 𝐽2 Momento de inercia de la viga transformada
Quiere decir que el material 2 puede ser reemplazado por el material
1 siempre y cuando su área se aumente n veces siendo n la relación
entre los módulos de elasticidad de los dos materiales.

5. La viga solera de 3” x 6” mostrada
en la figura está reforzada con una
plátina…
…de ½”. Calcular las tensiones máximas de
tracción y compresión tanto en la madera
como en el acero si el momento actuante
es de 20 KNm. Datos: E(acero) = 200 Gpa;
E(madera) = 10 Gpa; adm(acero) = 210 Mpa.
Problema 1
Resolución
Calculamos la relación modular:
𝑛 =
𝐸 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐸 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎
=
200 𝐺𝑃𝑎
10 𝐺𝑃𝑎
= 20
…y el ancho de la sección transformada será:
𝑏𝑇 = 𝑛 ∙ 𝑏 = 20 ∙ 3" = 60"

6. La viga solera de 3” x 6” mostrada
en la figura está reforzada con una
plátina…
…de ½”. Calcular las tensiones máximas de
tracción y compresión tanto en la madera
como en el acero si el momento actuante
es de 20 KNm. Datos: E(acero) = 200 Gpa;
E(madera) = 10 Gpa; adm(acero) = 210 Mpa.
Problema 1
Resolución
Calculamos la relación modular:
𝑛 =
𝐸 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐸 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎
=
200 𝐺𝑃𝑎
10 𝐺𝑃𝑎
= 20
…y el ancho de la sección transformada será:
𝑏𝑇 = 𝑛 ∙ 𝑏 = 20 ∙ 3" = 60"
Calculamos la posición vertical del eje neutro, normal al plano de
simetría de la sección y baricéntrico (por tratarse de un caso de flexión
simple) respecto de la base:
𝑦 =
𝑦 ∙ 𝐴𝑖
𝐴𝑖
=
3,5" ∙ 6" ∙ 3" + 0,25" ∙ 0,5" ∙ 60"
6" ∙ 3" + 0,5" ∙ 60"
= 1,47" (3,73 𝑐𝑚)

7. El esquema de la sección
transformada será…
Calculamos el momento de inercia de la sección transformada (aplicamos Steiner):
𝐽𝑇 =
3" ∙ 6" 3
12
+ 3" ∙ 6" ∙ 3,5" − 1,47" 2
+
60" ∙ 0,5" 3
12
+ 0,5" ∙ 60" ∙ 3,5" − 1,47" 2
=
𝐽𝑇 = 173,45 𝑝𝑔4
7,2197 × 105
𝑚4

8. El esquema de la sección
transformada será…
Calculamos el momento de inercia de la sección transformada (aplicamos Steiner):
𝐽𝑇 =
3" ∙ 6" 3
12
+ 3" ∙ 6" ∙ 3,5" − 1,47" 2
+
60" ∙ 0,5" 3
12
+ 0,5" ∙ 60" ∙ 3,5" − 1,47" 2
=
𝐽𝑇 = 173,45 𝑝𝑔4
7,2197 × 105
𝑚4
Calculamos las tensiones:
(en la madera)
12,78 cm
2,49 cm
3,73 cm
𝜎𝑀1 = −
𝑀
𝐼𝑇
∙ 12,78 𝑐𝑚 = −35,4 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑀2 =
𝑀
𝐼𝑇
∙ 2,49 𝑐𝑚 = 6,81 𝑀𝑃𝑎
(en el acero)
𝜎𝐴1 =
𝑀
𝐼𝑇
∙ 2,49 𝑐𝑚 ∙ 𝑛 = 136,29 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐴2 =
𝑀
𝐼𝑇
∙ 3,73 𝑐𝑚 ∙ 𝑛 = 206,66 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑀1
𝜎𝑀2 𝜎𝐴1
𝜎𝐴2

9. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

10. Muchas Gracias