Material de matematica financiera

Material de Matemática Financiera
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Material compilado por: Lic. Orlando Gutiérrez Rojas
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Introducción
El estudio de las Matemáticas Financieras es importante para todas aquellas personas
que deseamos saber cuánto ganamos o cuanto perdemos en una inversión. El propósito
primordial del estudio de esta asignatura es que podamos evaluar la equivalencia del
valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más
sencilla posible.
Básicamente el estudio de las Matemáticas Financieras se basa en dos métodos para
realizar operaciones financieras y determinar el valor del dinero, los cuales nos facilitan el
análisis del rendimiento financiero, estos métodos son: el Interés Simple y el Interés
Compuesto. En el primero se parte del hecho de que solo el capital o principal produce
intereses, en tanto que el segundo el principal y los intereses ganan intereses.
Los métodos mencionados no son equivalentes ni su uso es optativo por parte del
inversionista o analista financiero. Existe un uso adecuado de acuerdo a una circunstancia
particular. Por ejemplo, usamos el Interés Simple, si deseamos saber los ingresos de un
determinado capital invertido para un periodo de 3 años a través de un bono que paga
intereses mensualmente (cupón) a una cierta tasa de interés y no se capitalizan los
intereses. Por el contrario, usamos el Interés Compuesto si deseamos saber el monto que
se tendrá al final de 2 años, de una cantidad de dinero invertida periódicamente y
consecutivamente, cuyos intereses se capitalizan por periodo.
Cuando disponemos de una cantidad de dinero podemos destinarlo, o bien a gastarlo -
satisfaciendo alguna necesidad–, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o
menos próximo, según se acuerde.
De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad,
estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte
atractiva. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece
que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los
disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo.
Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor
objetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede
definir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el
precio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo.
Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:
1. Por el riesgo que se asume.
2. Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del dinero o capital durante
un tiempo.

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3. Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.
La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres
variables, a saber:
1 La cantidad del capital invertido,
2 El tiempo que dura la operación, y
3 La tasa de interés al que se acuerda la operación.
El capital financiero es una cantidad P de unidades monetarias asociada a un momento
determinado de tiempo n.
En una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los
que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a
capitales equivalentes, cuya definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea
de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente
una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy $1,000 a cobrar
$1,100 dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales $1,000 y $1,100 son
equivalentes.
Diremos entonces que, dos capitales cualesquiera, P1 con vencimiento en n1 y P2 con
vencimiento en n2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por
otro.
El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o costo en la operación.
Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos
dispuestos a asumir en una operación concreta.
Para efectuar una operación financiera es necesario que a las personas que intervienen,
las cantidades de dinero que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que
deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y
a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático (Simple o
Compuesto) que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define
como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el
aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo.
Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán
sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones
financieras.

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I UNIDAD: Interés Simple
1.1 Generalidades de las matemáticas financieras
Las Matemáticas Financieras son un conjunto de técnicas y procedimientos de carácter
cuantitativo que nos sirven para calcular la equivalencia del valor del dinero en cualquier
momento. La medición del valor del dinero nos ayuda a tomar decisiones financieras, es
decir; para valorar el premio de prescindir por cierto tiempo, a cierta tasa de interés, de un
determinado capital.
Las Matemáticas Financieras se ven involucradas en todas las actividades económicas
donde pretendamos obtener una ganancia; particularmente la usamos en la medición del
rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en juego, es decir;
si perdemos o ganamos. Los campos de mayor aplicación son el Mercado Financiero y el
Mercado de Valores que es donde se oferta y demanda dinero a un precio que está
determinado por la libre competencia.
En todas las actividades financieras se acostumbra pagar un rédito por el uso del dinero
prestado, la mayor parte de los ingresos de bancos y compañías inversionistas se deriva
de los intereses sobre préstamos o del retorno de utilidades por inversión. En general el
dinero genera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo.
El análisis de las causas de la acumulación del dinero con el paso del tiempo es el
problema fundamental de las finanzas.
Las matemáticas financieras tienen por objeto encontrar el valor del dinero en diferentes
momentos en el tiempo, es decir, disponer y saber utilizar los medios y elementos
necesarios para trasladar en el tiempo y de manera simbólica las cantidades de dinero
que intervienen en cualquier operación financiera, además de asesorar y orientar
apropiadamente a quienes tienen la necesidad de pedir dinero prestado y a los que
disponen de este para prestarlo o invertirlo a fin de que genere intereses y otros
beneficios.
¿Por qué es tan importante la matemática financiera?
Porque prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones
que se tomen cambian la vida de las personas poco y en algunas ocasiones
considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una camisa nueva aumenta la
selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que
lleva consigo en ese momento. Por otra parte, el comprar un automóvil nuevo y suponer
que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una
reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectúan los pagos
mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo que los
factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el
automóvil.
Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes
corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente

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al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra.
Estas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos o el capital de la
Compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma
manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones
de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para
mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser una vez más, económicos y
no económicos, lo mismo tangibles que intangibles.
Los términos comúnmente utilizados en la matemática financiera son los siguientes:
P = Valor o suma de dinero en un momento denotado como el presente,
denominado el valor presente.
S = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro, denominado valor futuro.
R = Serie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin de periodo,
denominadas valor equivalente por periodo o valor anual.
N = Número de periodos de interés; años, meses, días.
i = Tasa de interés por periodo de interés; porcentaje anual, porcentaje mensual.
n = Tiempo expresado en periodos; años, meses, días.
1.2 Valor cronológico del dinero.
Si se elige invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una corporación de ahorro y
préstamo, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos invertido
originalmente, de igual manera si una persona o empresa pide hoy dinero prestado,
mañana tendrá que pagar una cantidad mayor. Este cambio en la cantidad de dinero
durante un periodo de tiempo es lo que se conoce como el valor cronológico del dinero
en el tiempo.
El valor cronológico del dinero debe verse desde el punto de vista del valor real, o sea; de
su poder adquisitivo, el valor del dinero puede cambiar a través del tiempo, no solamente
debido a una tasa de interés, sino también por efectos de la variación monetaria
(devaluación) o la tasa de inflación. En épocas de inflación, los ingresos fijos suelen
reducirse en su poder adquisitivo de forma tal, que terminan por ser insuficientes para
mantener los costos de la vida.
Por ejemplo: ¿Preferiría usted recibir C$ 10,000 dentro de un año o recibirlos el día de
hoy?, probablemente hoy, por las siguientes razones:
 La inflación
 La oportunidad
 El riesgo
1.3 Flujos de dinero.
Las personas y las compañías tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero,
(costos y gastos) que ocurren particularmente cada periodo de tiempo dado. Estos valores
que constituyen ingresos y pagos y que se dan periódicamente en el tiempo se
denominan flujos de caja. Para simplificar, se supone que todos los flujos de caja ocurren
al final de cada periodo de interés. Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo

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si es un ingreso y negativo si es un pago o desembolso. En cualquier instante de tiempo
el flujo de caja podría representarse como:
 Flujo de caja neto = ingresos – egresos.
a) Flujos de cajas positivos (+): Estos representan todas las entradas de dinero
independientemente de donde provengan, ver grafica 1.
80
70
60
50
30
Grafica 1.1.
b) Flujos de caja negativos (-): Estos representan todas las salidas o egresos de
dinero independientemente del concepto que los origine, ver grafica 2.
15
20
25
30 30
Grafica 1.2.
Un préstamo de C$ 25,000 es positivo para la persona o entidad que recibe el préstamo y
negativo para la institución financiera que lo otorga.
Diagrama de flujo de caja
El diagrama del flujo de caja es la representación gráfica de un flujo de dinero en una
escala de tiempo (Ver gráficos 1.1 y 1.2). El diagrama representa el planteamiento del
problema y muestra los valores dados y los que debemos encontrar, es decir; es un
instrumento visual para el análisis financiero y nos facilita resolver el problema mirando
únicamente el dibujo del diagrama del flujo. Podemos asegurar que el éxito para la
resolución de un problema de Matemáticas Financieras, depende de gran manera de la
construcción del diagrama de flujo de caja. Los diagramas de flujos de caja 1.3 y 1.4
representan los ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión.
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
0 1 2 3 4 5 Años
Gráfico 1.3

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20,000
En el diagrama del flujo de caja, la fecha 0 (cero) es el momento actual (hoy. La fecha 1,
es el final del período 1. La fecha 2, es el final del período 2. La fecha 3, es el final del
período 3 y así sucesivamente hasta el final del periodo de interés n. El final del periodo
n es el vencimiento. En vista de que asumimos que el flujo de dinero ocurre al final de
cada período (salvo cuando se estipule lo contrario), solamente debemos considerar las
fechas marcadas con 0, 1, 2, 3, . . ., n para registrar los flujos en el diagrama.
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
0 1 2 3 4 5 Años
Gráfico 1.4
20,000
Analicemos en particular los períodos 2 y 5 de la escala del gráfico 1.4:
1 2 4 5
Periodo 2 Periodo 5
Reafirmamos que la dirección de las flechas en el diagrama de los flujos de caja es
importante para la solución del problema. Utilizaremos flechas hacia arriba para indicar
un flujo positivo (ingreso) y flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (egreso)
20,000
20,000
Flujo positivo Flujo negativo
Los flujos de cajas los podemos presentar de dos formas: diagrama o gráfico (ver
gráficos 1.3 y 1.4) y tabular (ver tablas 1.1 y 1.2)
Año 0 1 2 3 4 5
Flujo Neto (20,000) 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000
Inicio período 2 Final período 2 Inicio período 5 Final período 5

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Tabla 1.1
Muestra el flujo del diagrama 1.3
Año 0 1 2 3 4 5
Flujo Neto (20,000) 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000
Tabla 1.2
Muestra el flujo del diagrama 1.4
Ejemplo 1.1
Una empresa invierte en una máquina $12,000 que se estima tendrá una vida útil de 6
años. Los ingresos anuales serán de $5,000 y los costos de operación y mantenimiento
serán de $1,200 para el primer año y se espera que estos costos aumenten en $300 por
año a partir del año 2. La máquina al final de la vida útil tendrá un valor de rescate de
$3,000. Elaboremos el flujo de caja en forma tabular y en diagrama.
Solución
Primero hagamos una tabla reflejando los ingresos y egresos de la actividad económica
por año para deducir el flujo neto. (Ver tabla 1.3). Observe que en el año 6 el ingreso es
de $8,000 esto es debido a la venta de la máquina por $3,000 .
Año 0 1 2 3 4 5 6
Ingreso 000 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000 8,000
Egreso 12,000 1,200 1,500 1,800 2,100 2,400 2,700
Flujo Neto (12,000) 3,800 3,500 3,200 2,900 2,600 5,300
Tabla 1.3
En el diagrama 1.5 se muestra el flujo de caja neto.
5,300
3,800 3,500
3,200 2,900
2,600
0 1 2 3 4 5 6 Años
12,000 Gráfico 1.5
Investigar para el próximo encuentro los siguientes términos:
1. Condiciones para un estudio económico efectivo.
2. Definición de Proyecto.
1.4 Interés Simple
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En
consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es
decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto
del interés es calculado sobre la misma base.

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Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo)
a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción
comercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo
(períodos menores de 1 año). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es
indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, no
capitaliza.
Interés: es el alquiler o rédito que se conviene pagar por el uso del dinero en calidad de
préstamo o depósito.
Las leyes de cada país rigen los contratos y relaciones entre prestatarios y prestamistas,
por el dinero tomado en préstamo debe pagarse un precio.
Fórmula general del interés simple:
I = Pin
Dónde:
I : Interés acumulado o devengado
P : Principal o capital
i : Tasa de interés anual
n : Plazo del tiempo expresado en años.
Existe el cálculo del interés simple de forma comercial (360 días) y ordinaria o exacta (365
o 366 días).
Ejercicios propuestos:
1. Calcular el interés simple comercial y exacto de un préstamo de C$ 5,000 a 90
días y una tasa de interés del 8.5% simple anual. Resp. C$106.25, C$104.79
2. Un estudiante hizo un préstamo de U$ 2,500 pagaderos con U$ 2,850 dentro de
tres meses. ¿Cuál fue la tasa de interés anual que se aplicó? Resp. 56%
3. ¿Cuánto tardaran C$ 1,000 a) en ganar C$ 100 al 15% de interés simple? b) en
aumentar a C$ 1,350 al 13.5% de interés simple?. Resp. a)8 meses; b)2 años, 7
meses y 3 días.
4. ¿Qué principal acumulara: a) C$ 5,100 en seis meses al 9% de interés simple? b)
C$ 580 en 120 días al 18% de interés simple exacto? Resp. a) C$ 113,333.33 b)
C$ 9,800.93
Determinación del tiempo entre fechas
Con el objeto de facilitar los cálculos se acostumbra suponer los años de 360 días
divididos en 12 meses de 30 días.
Para llevar la cuenta de los días se acostumbra excluir el primer día e incluir el último, así
para un préstamo recibido el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo
comercial transcurrido es de 15 días, en algunos países se acostumbra contar el primero
y el ultimo día, en tal caso el tiempo comercial es de 16 días.

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Existen cuatro métodos para calcular el interés simple entre fechas:
1. El tiempo exacto e interés ordinario o comercial.
2. El tiempo exacto y el interés exacto.
3. El tiempo aproximado y el interés ordinario o comercial.
4. El tiempo aproximado y el interés exacto.
De igual manera anexo a este material encontrara una tabla que permite encontrar el
tiempo entre dos fechas, la cual será de utilidad para resolver algunos problemas.
Calcular el tiempo exacto y aproximado:
1. Del 18 de abril al 3 de noviembre del mismo año. R. 199 días, 195 días.
2. Del 18 de mayo del 2013 al 8 de abril del 2014. R. 325 días, 320 días.
3. Entre el 15 de marzo y el 3 de septiembre del mismo año. R. 172 y 168 días.
4. Entre el 2 de octubre del 2013 y el 15 de junio del 2014. R. 256 y 253 días.
5. El 7 de abril del 2013 una mujer pidió prestados C$ 1,000 al 8%. Pago la deuda el
22 de noviembre del mismo año. Calcular la cantidad de interés simple, usando los
cuatro métodos. R. C$ 50.89, C$ 50.19, C$ 50.00 y C$ 49.32.
6. Se invirtieron C$ 5,000 entre el 3 de noviembre del 2013 y el 8 de febrero del
2014, al 15% de interés simple. Calcular la cantidad del interés ganado, usando
los cuatro métodos. R. C$ 202.08, C$ 199.32, C$ 197.92 y C$ 195.21.
1.5 Cálculo del valor presente y futuro
Valor Futuro:
La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El
valor futuro S puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual P
como el fondo visto desde arriba. El valor futuro representa la capitalización del dinero en
el tiempo y se obtiene por:
S = P(1+ in)
Valor Presente:
El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de
interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida.
Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema será entonces hallar el
capital, en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el valor
presente “P” de la fórmula general:
P = S(1+in)-1
Otras fórmulas derivadas de la fórmula general:
Si llamamos I a los intereses percibidos en el período considerado, convendremos:
I = S-P
La diferencia entre S y P es el interés (I) generado por P.

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El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo
de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá
en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa.
Ejercicios para resolver en clase:
1. Encontrar el valor actual, al 5% de interés simple, de C$ 1,800 con vencimiento en
9 meses. Resp. C$ 1,734.94
2. Calcular el valor al vencimiento de un préstamo de C$ 2,500 por 18 meses al 12%
de interés simple. Resp. C$ 2.950.00
3. ¿Cuál fue nuestra inversión inicial, si hemos obtenido utilidades de C$ 300,
después de 8 meses, a interés simple y con el 48% de tasa anual?. Resp. C$
937.50
4. Si tenemos C$ 10,000 y lo invertimos por un año con el 28% de interés anual.
¿Cuánto dinero tendremos al finalizar el año?. Resp. C$ 12,800.00
5. El día de hoy obtenemos un préstamo por C$ 5,000 y después de un año
pagamos C$ 5,900. Determinar el interés y la tasa de interés. Resp. C$ 900.00 y
18%
6. Calcular el interés simple comercial y exacto de un préstamo por C$ 600 con una
tasa de interés del 15% durante un año. Resp. C$ 91.25; C$ 90.00
7. Determinar los intereses y el capital final producido por C$ 10,000 con una tasa del
18% en un año. Resp. C$ 1,800.00; C$ 11,800.00
8. Una pareja pide prestados C$ 10,000. La tasa de interés anual es de 10.5%,
pagadero mensualmente, si el pago mensual es de C$ 200, ¿Cuánto del primer
pago es para intereses y cuanto para amortizar el principal?. Resp. C$ 87.50; C$
112.50
1.6 Ecuaciones de valor:
Son sistemas de ecuaciones para resolver problemas financieros, se requiere la
determinación de una fecha focal o fecha de comparación la cual sirve de referencia para
la aplicación de las ecuaciones matemáticas.
Uno de los problemas más importantes en las matemáticas financieras es sustituir un
conjunto dado de pagos por un conjunto equivalente. Se dice que dos conjuntos de pagos
son equivalentes a determinada tasa de interés simple, si los valores fechados de los
conjuntos en cualquier fecha común son iguales.
Procedimiento para la solución de problemas:
1. Hacer un diagrama de tiempo que muestre los valores fechados de un conjunto
de pagos a un lado de la línea de tiempo y los valores fechados del segundo
conjunto de pagos al otro lado.
2. Seleccionar una fecha focal.
3. Plantear la ecuación de valor en la fecha focal.
4. Resolver la ecuación de valor.
1. Un estudiante tiene una deuda con HISPAMER de C$ 500 a 4 meses y otra de C$
700 que vence en 9 meses, ¿Qué pago único liquidara esas obligaciones al 11%
a) ahora, b) en seis meses, y c) en un año. R. C$ 1,128.97, C$ 1,190.44 y C$
1,255.92.

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2. Una persona tiene dos opciones para pagar un préstamo: puede pagar C$ 200 al
final de 5 meses y C$ 300 al final de 10 meses, o bien puede pagar C$ X al final
de 3 meses y C$ 2X al final de seis meses. Si las opciones son equivalentes y el
dinero vale 12%, calcular X usando como fecha focal: a) 6 meses y b) tres meses.
R. C$ 161.87 y C$ 161.96
1.7 Descuento Simple:
Descuento: Es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor recibido al
momento de descontar un pagare, se calcula mediante: D = Sdt.
Descontar un pagare: Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a cambio de una
suma mayor comprometida para fecha futura bajo las condiciones convenidas en el
pagare. P = S – D = S(1 - dt)
Valor nominal de un pagare: Es el que está inscrito en la obligación, indica la cantidad que
debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada.
Valor efectivo o líquido de un pagare: Es el valor que se recibe en el momento de
descontar la obligación, en otras palabras en valor actual con descuento.
Ejercicios:
a) Un pagare con valor de C$ 68,000 vence el 18 de septiembre, se descuenta el 20
de junio al 10%, calcular el descuento, el valor descontado o valor liquido del
pagare.
b) El señor Martínez compra al BCN un certificado de inversión con valor nominal de
U$ 10,000 a una tasa de descuento del 8.7% a 270 días de plazo, calcular el valor
del descuento y el valor liquido del certificado. Resp. C$ 652.50 y C$ 9,347.00
1.8 Descuentos comerciales:
Es costumbre de las casas comerciales en épocas especiales ofrecer una rebaja sobre el
precio de lista; por ejemplo: promociones por compras al por mayor, por pronto pago, etc.
1. Descuento por comisiones: Estas comisiones se expresan en porcentajes y en
su valor no interviene el tiempo, su cálculo es mediante:
𝐷 = 𝐹 ∗ 𝑑
Dónde:
D: Descuento
F: Valor de la factura
d: Tasa de descuento
El valor neto de una factura es igual al valor facturado menos el descuento, de igual
manera en su cálculo no interviene el tiempo.
𝑃 = 𝐹(1 − 𝑑)
Ejemplo:
Un comerciante ofrece descuentos del 10% sobre compras superiores a los C$ 15,000, un
cliente factura la cantidad de C$ 18,513.45, calcular el valor que pagara el cliente.
Resp. C$ 16,662.11

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2. Descuentos por pronto pago: Son ofrecidos por distribuidores y mayoristas en el
comercio según la anticipación del pago en el plazo señalado del crédito. Es
costumbre señalar este tipo de descuento por medio de fracciones, el numerador
indica el porcentaje del descuento y el denominador indica el tiempo dentro del
cual el comprador tiene la opción de pagar, para tener derecho al descuento que
señala el numerador.
Ejemplo:
Un comerciante factura en un almacén C$ 80,000 con las siguientes condiciones: a) 10%
al contado, b) 8/10, c) 5/20, d) 3/25, e) neto a 30 días, calcular el pago para cada una de
las alternativas.
Resp. a) 72,000
b) 73,600
c) 76,000
d) 77,600
e) 80,000
3. Descuentos en cadena: Se hacen sobre una misma factura descuentos entre sí,
cada uno de los descuentos se efectúa sobre el valor neto de la factura después
de deducir el descuento anterior, su cálculo es así:
𝑃 = 𝐹(1 − 𝑑1)(1 − 𝑑2)(1 − 𝑑3)…. .(1 − 𝑑 𝑛)
Ejemplo:
La facturación de una mercadería por valor de C$ 120,000.00, aplica a los siguientes
descuentos en ocasión de navidad y año nuevo, 6% por compras al por mayor, 4% por
lealtad de cliente, 2% por noches de compras y 3% por promoción especial, calcular el
valor neto a pagar.
Resp. C$ 102,938.57

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Ejercicio extra clase
I. Investigue los siguientes conceptos
a) Interés
b) Tasa de interés
c) Rédito
d) Plazo
e) Pagare
f) Descuento
II. Encuentre el tiempo
a) Entre el 23 de enero y el 25 de marzo del mismo año
b) Entre el 11 de marzo y el 25 de diciembre del mismo año
c) Para un pagare que se firmó el 13 de marzo a 210 días de plazo
d) Entre el 12 de noviembre del 2009 y el 25 de julio del 2010
e) Para un préstamo que vence el 15 de junio del 2010, si se dio a un lazo de 160
días.
f) El tiempo transcurrido entre el 15 de marzo y el 3 de septiembre del mismo año y
entre el 2 de octubre del 2008 y el 15 de junio del 2009.
III. Calcular el interés exacto o real y el interés ordinario o comercial devengado por:
a) Un capital de C$ 18,000 al 12% simple anual durante 180 días. C$1,065.21; C$1,080.00
b) Un capital de C$ 95,000 al 5% simple semestral durante 200 días. C$5,205.48;
C$5,277.78
c) Un capital de C$ 7,850 al 1% simple mensual durante 70 días. C$180.66; C$183.17
IV. Determine:
a) ¿Qué capital produce C$ 2,800 de interés en 3 meses al 9% simple anual?
C$124,444.44
b) ¿Qué capital produce C$ 40,500 de interés en 250 días al 11% simple anual?
C$530,181.82
c) ¿Cuánto tardaran C$ 1,000 en ganar C$ 100 al 1.5% de interés simple mensual? 6
meses y 20 días.
d) ¿En cuánto tiempo un capital de C$ 18,000 aumentara en C$ 800 al 10% de interés
simple anual? 5 meses y 10 días.
e) ¿A qué tasa de interés simple un capital de C$ 15,000 aumentara el doble en 8 años?
12.5%
f) ¿A qué tasa de interés simple un capital de C$ 1,000 aumentara a C$ 1420 en 2.5
años? 16.8%
V. Resuelva cada uno de los siguientes casos:
a) Determinar el valor presente o descontado de C$ 1,000 pagaderos en tres meses, si
la tasa es del 11%. Resp. C$ 973.24
b) ¿Cuánto se pagara al final de 2 años por un préstamo de C$ 3,000 al 3% de interés
simple bimestral?. Resp. C$ 4,080.00
c) Encuentre el valor presente de un certificado cuyo valor nominal es de C$ 10,000 a
un plazo de 6 meses al 7% de interés simple mensual. Resp. C$ 7,042.25

______________________________________________________________________
14
d) Una persona deposita C$ 7,500 en una cuenta de un banco que paga el 8.5% de
interés simple anual. Encuentre la cantidad acumulada al cabo de 250 días. Resp. C$
7,942.71
e) El primero de diciembre del 2010, Luisa adquiere un préstamo de C$ 58,975 al 0.9%
de interés simple mensual a un plazo de 8 meses y 25 días para la compra de
equipos. Determine el valor apagar a la fecha de vencimiento. Resp. C$ 63,663.51
f) Un préstamo de C$ 20,000 cuyo vencimiento es a 9 meses al 12%, se reduce
mediante dos abonos, uno de 6,000 efectuado a los tres meses y otro de C$ 8,000
efectuado dos meses antes del vencimiento. Calcule el saldo a la fecha de
vencimiento considerando la misma tasa de interés. Resp. C$ 7,280.00
g) Se va a liquidar una deuda de U$ 500 que se venció hace 20 días y otra por U$ 400
que se vence dentro de 50 días, con un pago de U$ 600 hoy y un pago final dentro de
90 días. Calcular el valor del pago final a la tasa de 11% de interés simple con fecha
focal de hoy. Resp. U$ 306.23
h) El día de hoy, una empresa realiza una compra a su principal proveedor, acordando
pagar originalmente C$ 7,200 con vencimiento en 5 meses y C$ 8,600 con
vencimiento en 11 meses. Al llegar la fecha del primer pago, el gerente financiero de
la empresa analiza la posibilidad de pagar las obligaciones bajo las condiciones
siguientes. Calcule el valor de los pagos con un interés del 12%:
1. Si se cancelan mediante un pago único inmediato. Resp. C$ 15,313.21
2. Si se cancelan mediante un pago único en 2 meses. Resp. C$ 15,613.24
3. Si se cancelan mediante un pago único en 4 meses. Resp. C$ 15,919.37
i) Por la compra de equipos, Marcos debe C$ 300 pagaderos en tres meses y C$ 500 a
pagar en 8 meses. ¿Qué pago único a) hoy, b) dentro de 6 meses, c) en 1 año,
liquidara esas obligaciones, si el dinero vale 8% y la fecha focal es la del único pago?.
Resp. a) C$ 768.80, b) C$ 799.42, c) C$ 831.33

______________________________________________________________________
15
II UNIDAD: Interés Compuesto
Objetivos
Al finalizar este capítulo estaremos en capacidad de:
1. Establecer y explicar la diferencia entre monto a interés simple y monto
compuesto.
2. Argumentar la diferencia de tasa de interés periódica nominal y tasa periódica
efectiva.
3. Explicar los conceptos de tasas de interés equivalentes, períodos de
capitalización, frecuencia de capitalizar intereses según la tasa de interés nominal.
4. Analizar los modelos de capitalización de intereses discreta y continua.
5. Adquirir habilidades en el planteamiento y resolución de problemas relacionados
con: monto compuesto, tiempo, interés, valor actual, tasas de interés nominal,
efectivo y equivalentes.
6. Desarrollar habilidades en el planteamiento y resolución de problemas de
ecuaciones de valores equivalentes a interés compuesto.
Introducción
Anteriormente abordamos problemas de interés simple, donde el capital permanece
invariable o constante durante todo el tiempo que dura la transacción y los intereses se
retiran periódicamente. Cuando utilizamos el método de Interés Compuesto, el capital
aumenta en cada período; por cuanto el interés se integra al capital, para luego calcular
intereses sobre un nuevo monto en cada período. Por ello, es muy corriente decir que en
el Interés Compuesto “los intereses ganan intereses”, debido que éstos se capitalizan en
cada período de liquidación de interés.
Al proceso de integración de los intereses al capital al final de cada período de interés, le
conocemos como capitalización de intereses y constituye la esencia del método de
interés compuesto. Producto de este mecanismo, el capital invertido con este método
crece más rápidamente, convirtiéndose en el sistema de cálculo de intereses más
utilizado en las operaciones financieras de las instituciones bancarias y de préstamos.
El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la
aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la
capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base
inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses
recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.
Monto compuesto
El concepto y la fórmula- general del interés compuesto es una potente herramienta en el
análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.

______________________________________________________________________
16
Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital
inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el
interés compuesto.
El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de
capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el
interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.
Estamos interesados en deducir la fórmula general que nos permitirá el cálculo del monto
de una suma de dinero a interés compuesto. En particular iniciaremos con el siguiente
ejemplo.
Una persona acude a un banco y deposita $2,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de
un año. El banco paga interés del 9% convertible trimestralmente (interés compuesto).
¿Cuál será el valor del depósito al final del año?
Solución
Se trata de hallar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 0.09/4 = 2.25%
acumulativo por trimestre. Esta situación se ilustra en la tabla 1.14.
Datos P = 2,000, i = 0.0225 trimestre, N = 4 trimestres
Periodo
trimestral
Valor inicio de
periodo
Interés devengado en el
periodo
Valor a final de
periodo
No. P I = P i n F = P + P i n
1 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,045.00
2 $2,045.00 2,045.00(0.0225) = 46.01 $2,091.01
3 $2,091.01 2,091.01(0.0225) = 47.05 $2,138.06
4 $2,138.06 2,138.06(0.0225) = 48.11 $2,186.17
Tabla 1.14
2,138.06 2,186.17
2,045 2,091.01
0 1 2 3 4 Trimestres
Gráfico 2.1
1,000
Los nuevos montos o valores futuros en cada periodo, se muestran en el gráfico 2.1,
observemos que en cada trimestre, el interés se suma al capital a este proceso se le
llama capitalización.
El flujo mostrado en el gráfico 2.1 se puede representar a través del gráfico 2.2 donde la
operación se realiza desde el valor presente hasta el valor futuro, o sea, desde el inicio
hasta el final del plazo.

______________________________________________________________________
17
2,186.17
0 1 2 3 4 Trimestres
Gráfico 1.16
1,000
2.1 Diferencias entre el interés simple e interés compuesto
Existen dos diferencias entre ambos métodos.
 La aplicación de los métodos difiere en las respuestas al tipo de transacción
financiera efectuada. Si los intereses son pagaderos por periodos, actúa el interés
simple, si los intereses son integrados al principal en cada periodo de
capitalización, actúa el interés compuesto.
 El crecimiento de una inversión específica se da de forma más acelerada si es
colocada a interés compuesto que a interés simple para un mismo plazo y una
misma tasa de interés.
2.2 Tasa nominal y tasa efectiva
Tasa nominal: La tasa de interés nominal es la tasa pactada o establecida en toda
operación financiera, generalmente es para períodos anuales pero también puede
definirse para períodos menores que un año. Esta tasa no toma en cuenta el valor del
dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. Por
ejemplo, consideremos las siguientes tasas de interés con su frecuencia de convertir o
capitalizar intereses. La tasa nominal la denotaremos por j. es necesario entonces definir
una tasa de interés efectiva “i” que aplique a cada periodo de capitalización de los
intereses.
a) 20% convertible trimestralmente, significa que es una tasa nominal anual con
4 conversiones en un año.
b) 18% convertible mensualmente, tasa nominal anual con 12 conversiones
anuales.
c) 24% convertible semestralmente, tasa de interés nominal anual con 2
conversiones en un año.
Tasa efectiva: La tasa efectiva es periódica y expresa la rentabilidad a interés
compuesto, mide el porcentaje de ganancia de la inversión, por tanto tiene en cuenta el
valor del dinero en el tiempo. En este texto, la tasa efectiva para periodo diferente de un
año la denotaremos como i; para periodo anual, la tasa efectiva la denotaremos por ie.
La tasa efectiva periódica i está dada por:
efectivaoperiódicaTasa
m
j
i 

______________________________________________________________________
18
La tasa efectiva anual está por la siguiente fórmula
Ejemplo 2.1.
Para cada uno de los casos determinemos las tasas efectivas.
a) Para 24% convertible mensualmente (C.M). Es una tasa nominal j con frecuencia
anual m = 12 de capitalizar intereses con;
b) 7% semestral. Es una tasa efectiva i = 7% por semestre.
c) 16% convertible trimestralmente (C.T). Es una tasa nominal j con frecuencia anual
m = 4 con tasas efectivas;
d) 12% semestral, convertible bimensualmente CB. Es una tasa nominal j de con
frecuencia anual m = 6.
Concluimos del ejemplo anterior lo siguiente: si una empresa invierte al 24% convertible
mensualmente, entonces tiene una ganancia o rentabilidad anual 26.8241% equivalente
una rentabilidad mensual del 2% acumulativo, es decir que la ganancia mensual se
invierte a la misma tasa. De igual manera, si invierte al 16% convertible trimestralmente,
obtiene una ganancia anual de 16.9859% y una rentabilidad equivalente trimestral de 4%
acumulativo.
En la tabla 2.1 presentamos las notaciones y las frecuencias más usuales de la tasa
nominal anual en las operaciones financieras.
anualefectivaTasa1
m
m
j
1
e
i 






anualefectivaTasa26.8242%1
12
12
0.24
11
m
m
j
1
e
i
mensualefectivaperiódicaTasa2%
12
0.24
m
j
i














anualefectivaTasa16.9859%1
4
4
0.16
11
m
m
j
1
e
i
trimestralefectivaperiódicaTasa4%
4
0.16
m
j
i














anualtivaefecTasa12.6163%1
6
6
0.12
11
m
m
j
1
e
i
bimensualefectivaperiódicaTasa2%
6
0.12
m
j
i















______________________________________________________________________
19
Concepto Notación Frecuencia anual
Convertible anualmente c.a m = 1
Convertible semestralmente c.s m = 2
Convertible cuatrimestre c.c M = 6
Convertible trimestral c.t m = 4
Convertible bimensualmente c.b m = 6
Convertible mensualmente c.m m = 12
Convertible quincenalmente c.q m = 24
Convertible semanalmente c.se m = 52
Convertible diariamente c.d m = 365
Convertible continuamente c.cm m   (infinito)
Ejercicios Propuestos:
Calcular la tasa efectiva para:
a. 10% c.t.
b. 12% c.m.
c. 14% c.s.
d. 7% c.c.
e. 22% c.d.
f. 15% c.se.
2.3 Cálculo del valor presente y futuro
Valor Futuro:
Como se les ha planteado el valor futuro es la cantidad resultante al final de cierto periodo
de tiempo, cierto número de periodos de capitalización, después de sucesivas adiciones
de los intereses al capital o principal y lo denominaremos (S). El valor futuro representa la
capitalización del dinero en el tiempo y se obtiene por:
S = P(1+ i)N
N = (n)(m)
I = j/m
Donde:
m : frecuencia de capitalización
j : tasa nominal
N : número total de capitalizaciones
Valor Presente:
El cálculo del valor presente o actual de una cantidad de dinero con vencimiento en el
futuro, es su valor en cualquier fecha anterior a su vencimiento.
El cálculo del valor presente responde a las siguientes preguntas: Si se desea una
determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿Cuánto se tendrá que invertir hoy
conociendo la tasa de interés y el plazo de inversión?, otra es por ejemplo, ¿Qué cantidad
de dinero debe pagarse hoy? Para cancelar una deuda de forma anticipada.
Derivamos el valor presente “P” de la fórmula general:
P = S/(1+i)N

______________________________________________________________________
20
1. Se invierten U$ 1,500 dólares durante 18 meses a una tasa nominal del 13%,
calcular el valor acumulado, si el interés se compone a) mensualmente b)
diariamente. Resp. a) U$1,821.06 b) U$ 1,822.90
2. Se invierten U$ 2,000 durante 10 años a 10% c.s. durante los primeros tres años,
a 8% c.t. durante los 4 años siguientes y al 9% c.m. por los últimos tres años.
Calcular el valor acumulado después de 10 años. Resp. U$4,814.94
3. La población de San Rafael del Sur era de 15,000 al 31 de diciembre del 2000.
Durante el periodo del 2000 al 2010 el pueblo creció a una tasa del 2% anual.
Suponiendo que la tasa de crecimiento haya permanecido constante, estimar a) la
población al 31 de diciembre del 2020, b) el aumento de la población en el año
2013. Resp. a) 22,289 hab, b) 380 hab.
4. Cuanto habría que depositar hoy en un fondo de inversión que paga el 10.4% c.m.,
para tener U$ 2,000 dentro de 3 años. Resp. U$ 1,465.93
5. Una persona puede comprar un lote ahora en U$ 30,000, o bien, por U$ 12,000 de
enganche, U$ 12,000 en dos años y U$ 12000 en 5 años. ¿Cuál opción es la
mejor, si el dinero se puede invertir al a) 12% c.m., b) 8% c.m. durante los
primeros 3 años y 6% c.t. durante los dos años siguientes? Resp. a) Financiado
U$ 28,056.19,b) Efectivo, U$ 30,617.42
5.2 Cálculo de tasas equivalentes
En la vida diaria con frecuencia se establecen tiempos distintos de capitalización de los
intereses. Dos tasas anuales con diferentes periodos de capitalización son equivalentes
cuando generan el mismo interés compuesto para un capital al final de un año.
Lo anterior obliga a hacer una distinción entre dos tasas distintas: una que se denomina
nominal con capitalizaciones que corresponden a la unidad de tiempo (anual, semestral,
cuatrimestral, trimestral, etc) y otra que está ligada al periodo convenido de capitalización
que se conoce como efectiva.
Conversión de tasa nominal a tasa efectiva:
ie = (1+j/m)m
- 1
Conversión de tasa efectiva a tasa nominal:
j = m((1+ie)1/m
– 1) o i = ((1+ie)1/m
– 1)
Conversión de tasa nominal a tasa nominal:
j1 = m1((1+j2/m2)m2/m1
-1)
5.3 Cálculo del tiempo y la tasa a interés compuesto.
Cuando se conocen P, S, e i, se puede calcular el tiempo usando uno de los métodos
siguientes:

______________________________________________________________________
21
a) Se usan logaritmos para despejar N de la ecuación exponencial, si el interés
compuesto se permite en la parte fraccionaria de un periodo de conversión, una
solución logarítmica obtiene el valor correcto de N.
b) Se puede hacer una interpolación para aproximar el valor de N. Si se requiere
interés simple para la parte fraccionaria de un periodo de conversión, la
interpolación lineal obtiene el valor correcto de N.
𝑁 =
ln 𝑆/𝑃
ln(1 + 𝑖)
Ejercicios propuestos
1. ¿Cuánto tardaran U$ 2,000 en acumular U$ 800 de interés al 10% c.t?
2. Si el costo de la vida aumenta 8% por año, ¿Cuánto tiempo tardara el poder
adquisitivo de U$ 1 en caer a U$ 60 centavos?. Resp. 6 años, 7 meses y 19 días.
Calculo de la tasa de interés
Cuando P, S, y n han sido determinados, se puede calcular la tasa de interés “i”, con la
siguiente ecuación:
𝑖 = (
𝑆
𝑃
)
1/𝑁
− 1
Ejercicios propuestos
1. Calcular la tasa nominal c.t., para que U$ 2,000 se incrementen a U$ 3,000 en 3
años y nueve meses. Resp. 10.96% c.t.
5.4 Ecuaciones de Valor
Ya se estudió ecuaciones de valor a interés simple, la mayor parte de los principios y
procedimientos se aplican a interés compuesto.
Dos propiedades importantes de la equivalencia del interés compuesto son:
1. A determinada tasa de interés compuesto, si “X” es equivalente a “Y” y “Y” es
equivalente a “Z”, entonces “X” es equivalente a “Z”.
2. Si dos conjuntos de obligaciones son equivalentes en una fecha focal (es decir, la
suma de los valores fechados equivalentes de los miembros de un conjunto es
igual a la suma correspondiente del otro conjunto), entonces son equivalentes en
cualquier fecha focal.
2.2 Tiempo equivalente en ecuaciones de valor
Un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento se pueden cancelar
mediante un solo pago igual a la suma de los valores del conjunto de obligaciones si se
hace en una fecha determinada llamada tiempo equivalente.

______________________________________________________________________
22
Ejemplo: Una empresa debe C$ 120,000 con vencimiento en 3 meses, C$ 150,000 con
vencimiento a 10 meses y C$ 200,000 con vencimiento en 12 meses, si se hace un pago
único, determine el tiempo equivalente a un rendimiento del 18% c.m.
Por conveniencia, se fija el mes 12 como fecha focal, se suman las obligaciones para
determinar el valor del pago único, obteniendo como resultado C$ 470,000, también se
define que el tiempo entre el pago de C$ 470,000 y la fecha focal es N, se plantea la
ecuación de valor con i = 0.18/12 =0.015
470,000(1+0.015)N
= 120,000(1+0.015)9
+ 150,000(1+0.015)2
+ 200,000
470,000(1.015)N
= 137,206.80 + 154,533.75 + 200,000
470,000(1.015)N
= 491,740.55
(1.015) 𝑁 =
491,740.55
470,000
(1.015)N
= 1.046256489
N log 1.015 = log 1.046256489
𝑁 =
log 1.046256489
log1.015
N = 3.037122833
N= 3 meses y 1 día
La fecha para realizar el pago único es 9 meses y 29 días.
Ejercicios:
a) Una empresa debe C$ 90,000 con vencimiento en 3 meses, C$ 50,000 con
vencimiento a 8 meses y C$ 100,000 con vencimiento en 12 meses, si se hace un
pago único, determine el tiempo equivalente a un rendimiento del 18% c.m.
Ejercicios propuestos para el auto-estudio
Monto compuesto
1. ¿Cuál el valor final de un documento de valor nominal $3,000 a un plazo de 2 años y 7
meses comerciales si el interés es del 18% CT? Respuesta: $4,727.77
2. Calcule el monto de $2,000 desde el 10 de mayo al 18 de diciembre del mismo año al
14.965% CD. Respuesta: $2,190.54
3. ¿Cuál es el valor final de un certificado de valor nominal de $15,500 a un plazo de 8
meses y 12 días si la tasa de interés es de 6.8% CT? Respuesta. $16,249.14
4. Determine qué plan le conviene a una persona para ahorrar cierta cantidad de dinero a
los 5 meses, sabiendo que el dinero gana un interés del 22% CT. Respuesta: plan a)
a. Un solo depósito hoy de $8,000
b. Un depósito hoy de $3,500 y otro depósito de $4,500 a los 4 meses
c. Tres depósitos en los meses 1, 2 y 3 de $2,800 cada uno
5. Una cuenta de ahorros se abre con $500.00, al tercer mes se depositan $150, a los dos y
seis meses siguientes se retiran $85 y $100 respectivamente. Si el interés que gana es

______________________________________________________________________
23
del 6.30% CM determine la cantidad en la libreta de ahorros un año después de iniciada
la cuenta. Respuesta. $499.91
6. ¿Cuánto gana por concepto de intereses un inversionista que deposita $320,000 en una
cuenta que reditúa el 18.4% CM, en un año y medio de plazo? Respuesta: $100,828.92
7. Una apersona ahorra en el mes cero $1,500 a 4% CB, en el mes 15 ahorra $1,600 a 5%
CT. Halle el monto en el mes 24. Respuesta: $3,285.25
8. La señora Ferrer invierte hoy $25,000, ¿cuánto acumula en un semestre, si su inversión
reditúa el 2.8% mensual capitalizable por mes? ¿Cuánto dinero gana por intereses?
Recuerde que esta tasa significa que j/m = j/12 = 0.028 de donde j = 0.336 es la tasa
nominal anual CM. Respuesta: a) $29,505.21 b) $4,505.21
Valor actual o presente compuesto
9. ¿Qué capital debe invertir un año después para tener $12,000 en una cuenta que
produce el 24.8% de interés CM? Respuesta:$9,388.02
10. ¿Qué cantidad de dinero recibe hoy una empresa en calidad de préstamo si ha firmado
un documento por $56,500 que incluye capital e intereses a 28% CD y tiene un
vencimiento en 20 meses? Respuesta: $35,436.87
11. Determine el valor actual de $855 que vencen dentro de 300 días con las siguientes
tasas de interés: a) 12% CT, b) 14% CB, c) 14% CS, d) 15% CD Respuestas: a)
$774.77 b) $761.87 c) $763.82 d) $754.55
12. ¿Qué depósito debe efectuarse hoy en un fondo que paga el 12% CB para tener
disponibles $7,000 al cabo de 3 años? Respuesta: $4,901.12
13. ¿Qué valor tiene un depósito el día de hoy en una cuenta para garantizar dos retiros de
$2,000 y $3,500 dentro de 7 meses y 1.5 años respectivamente con el interés de 9.5%
CD? Respuestas: $4,927.41
14. Determine el valor total de dos depósitos el día 30 de noviembre, si el primero es de
$1,400 se efectuó el día 15 de febrero y el segundo por $1,800 se realizó el 26 de junio,
el primero con el 12% CD y el segundo con el 13% CS. Respuesta: $3,442.68
15. Determine que le conviene más a un empleado si la patronal le ofrece tres opciones
para liquidar sus prestaciones por servicio, al 15% CS. (sugerencia: halle el valor actual
de cada opción y seleccione la mayor) Respuesta: opción c)
a. Recibir hoy $3,000 y $3,800 a los 5 meses
b. Recibir hoy un solo pago de $6,500
c. Recibir hoy $1,000, $2,000 a los 2 meses y $4,000 a los 6 meses
16. Un documento por $50,000 se vence dentro de 15 meses, si se descuenta a una tasa: (a)
del 18% de forma continua (b) del 18.10 % CT (c) del 18.20% CS. Determine el menor
valor al día de hoy. (indicar el inciso) Respuesta. Inciso (a) $39,925.81.

______________________________________________________________________
24
17. Hoy se contrae una deuda que junto con sus intereses al 8.5% efectivo trimestral al final
de 4 años representará $500,000. Determine la cantidad que se deberá pagar si la deuda
se cancela al cabo de 18 meses. Respuesta. $221,142.71
18. Una empresa compra un equipo de computación con $3,500 de cuota inicial y un pago
por $10,000 a los dos meses de la compra. ¿Cuál es el precio de contado si se tienen
cargos del 33% CM? Respuesta: $12,971.88
19. ¿Cuál es el precio de contado de 40 impresoras que se pagan con un anticipo del 30% y
dos abonos o cuotas de $7,000 y $9,000 respectivamente a 2 y 3 meses de la compra?
Suponga intereses del 29% anual con capitalización quincenal. Respuesta: $21,493.50
Combinaciones
20. Una corporación financiera, recibe una letra de cambio por valor nominal de $35,000 con
vencimiento en 15 meses y un interés del 24% CT. A los 10 meses solicita que le sea
descontada por el Banco de América del Sur que cobra el 2.4% mensual, cuánto recibirá
la corporación por la letra? Respuesta. $41,217.35
21. Una empresa debe pagar hoy una deuda cuyo monto es de $3,870 y dentro de 9 meses
tiene que pagar otra por $2,650. Necesita saber cuánto debe pagar dentro de 5 meses si
le cargan intereses de 14.5% CD. Respuesta: 6,635.96
22. Si una persona debió pagar hace 1.5 años $580 y tiene que pagar $720 dentro de 8
meses. Si le cobran intereses corrientes del 18% CT y moratorios del 9% anual IC por la
cuenta no pagada y el 15% anual por la próxima a vencer ¿Qué pago único debe hacer
el día de hoy? Respuesta: $1,491.29
23. En una operación de exportación una empresa recibe un pagaré por $75,000 a 180 días
de plazo y que devenga un interés mensual de 1%. A fin de contar con recursos líquidos,
la empresa descuenta el documento en su banco y éste lo acepta cargando un interés de
2.50% trimestral ¿Cuál es el importe neto que recibe la empresa, si el descuenta se
efectúa 143 días antes del vencimiento? Respuesta: $76,451.56
24. ¿Cuál de las siguientes alternativas es más redituable para un inversionista?
a) Invertir en una cuenta de ahorros que paga el 32.5% CM;
b) Invertir en una cuenta bancaria que paga el 33.5% capitalizable por cuatrimestres, o
c) Invertir en una cuenta de valores al 30.8% capitalizable por semanas.
Respuesta: con el 32.5 anual compuesto por meses
25. Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra de
contado de un automóvil nuevo, o bien, 50% del precio de contado y 50% a 6 meses sin
descuento y sin intereses ¿qué alternativa debe escogerse si el dinero puede ser
invertido a una tasa de interés mensual de: a) 2% b) 3% c) 4% Respuestas: a) de
contado b) de contado c) a plazo
26. Un inversionista local tiene 3 opciones para invertir su dinero a) al 28.5% CM b) al 32%
simple c) al 30% CS ¿Qué opción le sugiere usted? Respuesta. 28.5% CM?

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25
Tasas de interés
27. A qué tasa nominal CT el monto de $3,000 será de $9,000 en 3 años? Respuesta. j =
38.349% CT.
28. a) A qué tasa efectiva anual se duplica un capital en 2 años? b) A qué tasa nominal CS
se duplica un capital en 2 años? c) A qué tasa nominal CM se duplica un capital en 2
años? Respuesta a) i = 41.42% b) j = 37.84% CS c) j = 35.163% CM
29. Si un certificado de depósito a término en el mercado primario de la Bolsa de Valores es
emitido a $93,677 para ser redimido a $100,000 en 90 días, calcular la tasa de
rentabilidad trimestral y la tasa de rentabilidad mensual; a) sin tomar en cuenta la
retención en la fuente y b) tomando en cuenta la retención del 3.7%. Respuesta. a)
6.7497% trimestral, 2.2011% mensual b) 6.4838% trimestral 2.1162% mensual.
30. Una persona invierte $4,500 y 15 meses después le devuelven $7,010.85 ¿Qué tasa de
interés efectivo mensual y anual gana sobre la inversión? Respuestas. 3% mensual y
42,5760% anual.
31. Un televisor cuyo precio de contado es de $4,500, al crédito se liquida con $5,200 a los
tres meses. ¿Cuál es la tasa de interés anual capitalizable por quincenas? Respuesta:
58.48%
32. El 2 de junio el señor González compra mercancía por $32,500 y firma un pagaré con
valor nominal de $37,250 y vencimiento al 21 de agosto siguiente. ¿Cuál es la tasa de
interés anual CD? Respuesta: 61.4377%
33. ¿Cuál es la tasa nominal anual CB, si un capital de $10,500 genera intereses del 30%
global total en 8 meses? Respuesta: 40.674%
34. ¿Con qué tasa anual compuesta por semanas se triplica un capital en 3 años?
Respuesta: 0.3675%
Plazo o tiempo
35. El 18 de marzo se firma un pagaré de valor nominal de $10,000, con el 15% CM cuyo
monto a pagar es de $11,182.92 ¿En qué fecha vence?
36. En qué tiempo un capital de $48,500 alcanza un valor de $60,000 si es invertido al 8.3%
CM? b) En qué tiempo se duplica? Respuestas. a) 2 años, 6 meses y 27 días b) 8 años,
4 meses, 17 días.
37. ¿En cuánto tiempo se liquidará un crédito de $175,000 con intereses del 30% compuesto
por quincenas y un pago final de $230,000? Respuesta: 22 quincenas.
38. Se depositan $500.00 el día 19 de septiembre al 2.2% CM ¿En qué fecha logra ganar
$8.00 de interés? Respuesta: 6 de junio siguiente.
39. Determinar el día que se cancela con $21,000 un crédito de $18,750, concedido el 5 de
junio con cargos del 36.72% CD. Respuesta: 24 de septiembre.

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26
40. Se compra un refrigerador, que de contado cuesta $7,850 el cual se paga con un anticipo
del 35% y un pago adicional de $5,650.¿Cuánto tiempo después de la compra se hace
este pago, si se pagan intereses del 28.6% capitalizable por semanas? Respuesta: 19
semanas
41. La totalidad de intereses que se paga sobre una deuda de $12,000 contraída el 20 de
junio es de $1,200, si el interés cobrado es del 26% CT ¿Cuál es el plazo y la fecha de
vencimiento de la deuda? Respuesta: 136 días, 3 de noviembre.
42. Encuentre la fecha en la que vence un documento con valor nominal de $4,550. Este se
firmó por un préstamo de $4,125 el 1 de junio con intereses del 21.6% CD? Respuesta:
11 de noviembre
43. ¿Cuál es la duración de una inversión de $80,000 al 3% CM para que alcance un valor
de $250,000? Respuesta: 38 años comerciales con 10 días.
44. Calcule el tiempo que se demora una inversión de $25,000 a plazo fijo para alcanzar un
monto de $30,000 al 2.5% efectivo. Respuesta. 7 años, 4 meses, 18 días.
Tasas equivalentes
45. Si un inversionista trabaja con el 2% mensual acumulativo en sus negocios, calcule las
tasas equivalentes: a) nominal CT b) nominal semestral CC c) nominal CB .
Respuestas. a) 24.4832% b) 11.8816% c) 24.24%
46. Calcule la tasa nominal CT equivalente a) al 18% CM b) al 20% CS. Respuestas. a)
18.27135% b) 19.5235%
47. a) Cuál es la tasa equivalente convertible continuamente a 24% efectivo? b) Cuál es la
tasa efectiva equivalente 20% CS? Respuesta. a) 21.511137% b) 21%
48. a) Determine una tasa de interés CM que rinda lo mismo que 20% convertible
continuamente. b) Calcule la tasa nominal convertible continuamente, que genere los
mismos intereses que 18% CT Respuesta. a) 20.167596% b) 17.606754%
49. Considere una tasa nominal de 22.34% CM y halle el conjunto de tasas equivalentes
siguientes: a) Nominal CT, b) Nominal CD, c) Nominal CC d) Nominal trimestral CC e)
Nominal semestral CM. Respuestas: a) 22.7585% b) 22.1413% c) 22.1346% d)
5.5336% e) 11.17%
50. A partir de 3.2% EM calcule el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a)Nominal CT,
b) Efectiva ES, c) Nominal trimestral CT, d) Efectiva ED e) Nominal CB. Respuestas:
a) 39.6419% b) 20.8031% c) 9.4496% d) 0.103610% e) 39.0144%
51. Si en un negocio su propietario gana 1.2% EM acumulativo ¿qué porcentaje gana en 2
años? ¿cuánto en 5 años? Respuestas: a) 33.1473% b) 104.5647%
52. Si el desarrollo o crecimiento económico de un país fue de 28.7377% en 6 años ¿de
cuánto fue el crecimiento promedio anual? Respuesta: 4.3%

______________________________________________________________________
27
53. ¿Es lo mismo, en términos de la tasa de interés pagar una deuda hoy con el 4.55%
nominal trimestral CC, que pagarla dentro de 2 años con el 9.1694% nominal semestral
CM? Respuesta: sí (sugerencias: calcule el monto a los 2 años o la tasa efectiva anual
para cada caso)
54. Una entidad financiera local paga en depósitos a término fijo de un año una tasa de
interés en dólares de 6.5% CD ¿Cuál es la tasa que paga efectivamente de forma anual?
Respuesta. 6.7153%
Ecuaciones de valor con interés compuesto
55. Un préstamo personal por $1,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos
pagos uno de $600 el día de hoy y otro por la cantidad que usted determine dentro de 3
meses si el interés es del 10% semestral. Respuesta. $649.43
56. El contador Pérez compra un televisor con video casetera integrada, con un enganche
de 150 dólares que representa el 20% del precio del aparato, y dos abonos iguales para
cubrir el 80% restante ¿De cuánto es cada uno, si se tienen cargos del 32% CM y los
pagos se hacen a 2 y 3 meses después de la compra? Respuesta: $ 320.37
57. Hoy se cumplen dos meses que la empresa Otelo SA consiguió un préstamo de $7,500
a 7 meses de plazo con el Banco Omega. Tres meses antes del primero le concedieron
otro por $12,000 a un plazo de 6 meses. El día de hoy la empresa hace un pago de
$10,000 y acuerda con el Banco liquidar el resto en 2 cuota iguales dentro de 2 y 5
meses respectivamente. Si le cargan una tasa de interés de 21.84% efectivo anual, halle
el valor de cada cuota. Respuesta: $5708.20
58. Una empresa local tiene 3 deudas así: $5,000 con vencimiento en 5 meses e intereses
del 20% CT. $10,000 con vencimiento en 9 meses e intereses del 24% CS $20,000 con
vencimiento en 21 meses e intereses del 30% efectivo. Estas deudas se van a cancelar
mediante 2 pagos iguales uno el día de hoy y otro al final de 2 años. Suponiendo un
rendimiento de 24% CM. Calcule el valor de los pagos. Respuesta. Cada pago
$22,022.88.
59. El Señor Ramiro Pascual, 3 meses antes de iniciar la construcción de su casa apertura
una cuenta de débito para este fin y deposita $25,000 y otros $45,000 al iniciar las obras.
Determine el valor del depósito 2 meses después si el presupuesto total es de $120,000
distribuidos de la forma siguiente: 30% al comenzar la construcción, 35% a los 2 meses,
20% 3 meses después y el resto al terminar, es decir 8 meses después del inicio y la
cuenta devenga el 15% CM. Respuesta: $46,000.74
60. La administración de un proyecto tiene 4 adeudos de $7,000, $15,000, $12,000, y
$13,000 que vencen respectivamente el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de
octubre del mismo año y todos devengan intereses de 32.85% CD. Entre deudor y
acreedor se acuerda que estos adeudos se liquiden en 3 pagos iguales el quinceavo día
de los meses de abril, junio y agosto en sustitución de los primeros ¿de cuánto es cada
uno? Respuesta: $15,340.62
61. La Librería Bolívar suscribió 3 operaciones de crédito con la Editorial Nuevo Mundo que
vencen el mismo año. La primera se suscribió el 15 de marzo por $75,000 a pagarse el
día 30 de noviembre; la segunda el 8 de mayo mediante un pagaré con valor nominal de

______________________________________________________________________
28
$50,500 y vencimiento el 10 de diciembre y la última el 1 de junio con un documento con
valor nominal de $60,000 y vencimiento el 25 de agosto. Acuerdan reemplazar el
compromiso con 2 pagos, uno el 15 de agosto y el otro el 15 de octubre por un valor que
es doble del primero. a) De cuánto es cada pago si devengan intereses de 27.375%
CD? b) ¿Con cuánto se liquidan las deudas con un pago único el 20 de diciembre?
Respuestas: a) $60,112.36 y $120,224.72 b) $192,614.84
62. El día 20 de marzo el Señor Dionisio Bello compra un automóvil usado y paga un
anticipo del 40% y el saldo se liquida en dos pagos uno de $3,000 el día 19 de mayo y el
otro de $2,500 el día 18 de junio del mismo año; a una tasa de interés del 30% CM
¿cuánto se pagaría de contado por el auto, si además se hace un descuento del 6.8%
adicional? Respuesta $8,041.51
63. En el problema anterior ¿En qué fecha después de la compra, el Señor Bello haría un
pago de $6,000 en sustitución de los dos de $3,000 y $2,500? Respuesta: 15 de
septiembre
64. Determine cuánto debe invertir en una cuenta el 10 de marzo y el 7 de mayo la Empresa
de Dulces el Gallito, para disponer de $12,000 el 18 de agosto y de $20,000 el 15 de
noviembre del mismo año, sabiendo que la cuenta devenga un interés de 13.87% CD,
suponiendo que: a) Los dos depósitos son iguales b) El segundo depósito es 40% mayor
que el primero. Respuestas: a) $14,885.54 cada depósito b) el primero $12,427.76, el
segundo $17,398.86
65. En el problema anterior, determine el valor de un depósito único efectuado el día 8 de
enero del mismo año, si es bisiesto. Respuesta: $28,758.45

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29
Ejercicio extra clase
I. Explique los siguientes términos
a) Interés compuesto
b) Periodo de capitalización
c) Tasa nominal
d) Tasa efectiva
e) Tasas equivalentes
f) Diferencia entre interés simple e interés compuesto
II. Determine lo que se pide:
1) El monto compuesto de C$ 100,000 al 5% por:
a. 10 años C$ 162,889.46
b. 20 años C$ 265,329.77
c. 30 años C$ 432,194.24
2) El monto compuesto y el interés de:
a. C$ 7,500 por 6 años al 7.5% c.s. C$ 11,665.91, C$ 4,165.91
b. C$ 1,500 por 5 años al 6% c.m. C$ 2,023.28, C$ 523.28
c. C$ 1,800 por 8 años y tres meses al 10% c.t. C$ 4,065.93, C$ 2,265.93
3) El valor presente de:
a. C$ 5,000 pagaderos en 6 años al 6.8% c.t. C$ 3,336.32
b. U$ 4,000 pagaderos en 5 años y 6 meses al 6% c.s. C$ 2,889.69
c. U$ 12,000 pagaderos en 4 años y 9 meses al 8% ct. C$ 8,237.15
4) Un ingeniero coloca en su cuenta de ahorro U$ 2,500 dólares, si esta paga el 7.5%
cs, cuanto retirara de la cuenta después de 8 años. R = 4,505.57
5) Acumular C$ 1,500 por 7.5 años al 5.2% ct. R = 2,209.91
6) Un documento fechado el 01 de marzo del 2007, estipula el pago de U$ 2,500 con
intereses al 5% c.s. 4 años más tarde, encuentre el importe de la venta del
documento al 01 de marzo del 2010 suponiendo un rendimiento del 6% c.t. R
= U$ 2,869.9
7) Hallar el valor final y el interés de un documento con valor de C$ 50,000 a un
plazo de 3 años y 6 meses si el interés es del 10% c.t. R = C$ 70,648.69, C$
20,648.69
8) Que deposito debe ser hecho el día de hoy en un fondo que paga el 9% c.m., para
tener disponibles C$ 60,000 al término de 2 años. R = C$ 50,149.88
9) Hallar el tiempo equivalente para el pago de dos deudas de U$ 250 dólares cada
una con vencimiento en 6 y 12 meses respectivamente, a una tasa del 6% c.m.
R = 9 meses.

______________________________________________________________________
30
10) Una deuda de U$ 500 a pagar en 2 años y otra de U$ 750 a pagar en 6 años, se
van a liquidar mediante un pago único dentro de 4 años. Determine el valor del
pago suponiendo un rendimiento del 4% c.t. R = U$ 1,234.04
11) Una persona debe U$ 1,000 a tres años, si hace el día de hoy un pago de U$ 400,
cuál será el importe del pago que tendría que hacer en 2 años para liquidar su
deuda mediante un rendimiento del 5% c.s. R = U$ 510.28
12) Un empresario adquiere maquinaria industrial para pagar así U$ 45,000 de inicio,
U$ 40,000 a 6 meses, U$ 50,500 a 12 meses y U$ 42,850 a 18 meses, si la
empresa distribuidora no le hubiese aprobado este plan de compra financiada,
¿Cuánto hubiese desembolsado el ingeniero para adquirir de contado los
equipos?, considere una tasa del 10% cs. C$ 165,915.67
13) Una persona debe C$ 8,000 a 3 meses y C$ 10,000 a 10 meses; si ofrece pagar
C$ 5,000 hoy, en qué fecha deberá pagar C$ 13,000 para cancelar la deuda?
Considere el 21% de interés cm y el día de hoy como fecha focal. R =
14) Sustituir dos deudas de U$ 400 y U$ 800 con vencimiento en 3 y 5 años
respectivamente, por dos pagos iguales con vencimiento en 2 y 4 años,
suponiendo un rendimiento de 5% cs. R = U$ 562.71
15) Una empresa distribuidora de equipos y accesorios de informática se comprometió
a pagar cuotas de C$ 375,000 dentro de 5 y 10 meses a una tasa del 10.8%
efectivo. Un mes antes de vencerse el primer pago, negocio con el proveedor un
nuevo plazo de 9 meses para cancelar toda la deuda con la misma tasa, ¿Qué
cantidad pagara entonces? R = C$ 1,361,917.37
16) Un terreno es vendido por U$ 500 en efectivo y U$ 250 anuales por los próximos 4
años, encuentre el precio de contado del terreno a una tasa del 6% efectivo anual.
R = 1,366.27
17) Encuentre una tasa nominal ct., equivalente al 12% cm. R = 12.12%
18) Una compañía invirtió C$ 45,000 en un negocio y 18 meses después le regresaron
C$ 54,900, que tasa de interés efectiva anual gano sobre la inversión.
R = 14.18%
19) Determine una tasa de interés capitalizable cada bimestre que rinda lo mismo que
25% ct. R = 24.75%
20) Una micro financiera pago por un depósito a plazo de un año una tasa de interés
del 8.5% cs., ¿Qué tasa efectiva anual pago? R = 8.68%

______________________________________________________________________
31
III Unidad: Anualidades
3.1. Definición y Clasificación
Definición:
El nombre de Anualidad se da en general a cualquier secuencia de pagos de igual valor
hechos a iguales intervalos de tiempo, sin importar si los pagos son mensuales,
trimestrales o semestrales.
A estos pagos periódicos que representamos por “R”, también se les denomina Renta, y
la suma de todos los pagos hechos en un año se conoce como renta anual. Estos valores
fijos que se pagan o reciben en las transacciones comerciales o financieras, pueden
equivaler a depósitos, retiros, amortizaciones o abonos a préstamo, pagos de prima de
seguro recibo o pagos de salario nominales fijos y pagos por alquiler de viviendas.
Por ejemplo, una renta anual de C$ 16,000 que se paga trimestralmente significa el pago
de C$ 4,000.00 cada 3 meses.
El término “anualidad” o “renta” pueden corresponder a un día, una semana, una
quincena, un mes, un trimestre, un semestre, un año, etc., en general a cualquier periodo
que se escoja en la actividad comercial o financiera, aunque por el nombre parezca
corresponder solo a un año.
Periodo de la renta o intervalo de pago: es el pago transcurrido entre cada pago
sucesivo de la anualidad. El número total de periódicos los designaremos por N.
Plaza o término de la anualidad: es el tiempo contado desde el principio primer intervalo
de pago hasta el final del último intervalo de pago.
Tasa de interés de una anualidad: es la tasa de interés compuesto y ocasionalmente
continuo que se paga o recibe en cada periodo. Esta tasa de interés es equivalente
efectiva i por periodos de capitalización.
Periodo de capitalización de una anualidad: es el intervalo de tiempo en el cual los
intereses acumulados se convierten en capital.
Clasificación de las anualidades:
Según la forma en que deben realizarse los flujos de dinero, las anualidades pueden
clasificarse de la siguiente manera:
Ciertas
a) Tiempo o plazo
Contingentes

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32
Simples
b) Intereses
Generales
Vencidas
c) Pagos
Anticipadas
Inmediatas
d) Iniciación
Diferidas
Por tanto, estudiaremos en este curso:
 Anualidades ordinarias o vencidas
 Anualidades anticipadas
 Anualidades diferidas
 Anualidades perpetuas
Anualidades ordinarias o vencidas: Son una serie de flujos periódicos de dinero
(pagos, ahorros o retiros) que se hacen al final de cada periódico de interés. Es decir, el
primer pago (ahorro o retiro) periódico se efectúa al final del primer intervalo de pago
(ocurre en una fecha ubicada a un periódico del capital) y el último pago (ahorro o retiro)
coincide en la fecha que toca cancelar el monto.
Anualidades inmediatas: son aquellas en que el primer pago (ahorro o retiro) se efectúa
en el primer periodo. Este pago puede ser anticipado o vencido.
Anualidades ciertas: aquellas en las que se conoce cuando empiezan y cuando
terminan (se conoce el número de periodos n), es decir, comienzan y terminan en fechas
fijas. Por ejemplo, los pagos por amortización de una deuda.
Anualidades anticipadas: son una serie de flujos de dinero periódicos (pagos, ahorros o
retiros) que se hacen a inicio de cada periodo de capitalización (a inicio del intervalo de
pago) y el último se produce un período antes del plazo de la anualidad.
En este caso, el primer pago (ahorro o retiro) periódico de dinero es simultaneo al capital.
El último pago (ahorro o retiro) ocurre en un periódico antes que venza el monto. Por
ejemplo, el pago por alquiler de una casa y el pago de una prima de póliza de seguro.
Anualidades diferidas: son aquellas en la que el primer pago se hace después del
transcurrido cierto número de periódicos (periodos de gracia).
Anualidades perpetuas: son aquellas en las que se saben cuándo empiezan, pero que
teóricamente no tienen fin.

______________________________________________________________________
33
Anualidades contingente: son aquellas en que su iniciación o su terminación depende
de un evento contingente como la muerte. Es decir, aquellas en la que el pago depende
de algún suceso cuya realización no puede fijarse. Por ejemplo, las pensiones de
jubilación.
3.2. Anualidades ciertas ordinarias vencidas
Cálculo del valor presente y de la renta
Una anualidad tiene dos valores: el valor final y el valor presente, en el primer caso todos
los casos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos
son trasladado al principios de la anualidad.
El valor presente “P” de una anualidad es la suma de los valores presentes de los
distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo.
𝑷 = 𝑹 (
𝟏− (𝟏 + 𝒊)−𝑵
𝒊
)
Donde “P” es el valor presente de la anualidad. “R” es la renta o anualidad. “i” es la tasa
de interés y “N” es el periodo de tiempo. Despejando obtenemos la fórmula para el cálculo
de la renta o anualidad.
𝑹 =
𝑷
(
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵
𝒊
)
1. Hallar el valor presente de una anualidad, consistente en el pago de C$ 1,000
trimestrales durante 1 año al 9% convertible trimestralmente. Resp. C$ 3,784.74
2. Una empresa contrae una deuda de C$ 500,000 para ser cancelada mediante
pagos semestrales durante 2.5 años. Calcular el valor del pago semestral (el valor
de la cuota de amortización). Suponga interés del 28% c.s. Resp. C$145,641.77
Calculo del valor futuro y de la renta
El monto “S” de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos
S = P (1 + i )N, cada uno acumulado hasta el término del plazo.
𝑺 = 𝑹(
(𝟏 + 𝒊) 𝑵 − 𝟏
𝒊
)
𝑹 =
𝑺
(
(𝟏 + 𝒊) 𝑵 − 𝟏
𝒊
)

______________________________________________________________________
34
1. En los últimos 10 años, una persona ha depositado C$ 500 al final de cada año en
una cuenta de ahorro, la cual paga 3.5 % efectivo. Cuanto había en la cuenta
inmediatamente después de haber hecho el décimo deposito? Resp. C$5, 865.70
2. Cual tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que
deberán hacerse en una cuenta de ahorro que paga el 3.5 % c.s., durante 10 años
para que el monto sea de C$ 25,000, precisamente después del último deposito?
Resp. C$ 1,054.78
3.3. Anualidades anticipadas
Una anualidad anticipada es la que tiene un pago periódico que vence al principio del
intervalo de pago. Los pagos se hacen al comienzo del periodo, tal como el pago de la
renta de una casa.
En la anualidad ordinaria, el intervalo de pago y el periodo del interés coinciden, mientras
la anualidad ordinaria tiene pago al final del plazo, la anticipada tiene pago al principio del
plazo.
La ecuación de valor presente encuentra una serie de flujos constantes “R”, el primero a
partir del día de hoy y el último un periodo antes del vencimiento.
𝑷 = 𝑹 + 𝑹 (
𝟏− (𝟏 + 𝒊)−𝑵+𝟏
𝒊
)
𝑹 =
𝑷
𝟏 + (
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵+𝟏
𝒊
)
1. En lugar de estar pagando U$ 250 de renta al principio de cada mes durante los
próximos 5 años, un ejecutivo decide comprar su casa. Cuál es el valor en efectivo
de los 5 años de renta al 7.5% c.m. Resp. U$ 12,554.30
2. Un auto usado se vende en U$ 9,550, el comprador desea pagarlo en 18 abonos
mensuales, el primero pagadero la fecha de la compra. Si se cobra el 18% c.m.,
calcular la magnitud del pago mensual. Resp. U$ 600.34
Cálculo del valor futuro y de la renta
El monto o valor futuro de una anualidad vencida, tiene flujos “R” pagaderos durante N + 1
periodos, en cambio, en la anualidad anticipada, se encuentra un flujo o pago “R” demás
que vamos a restarlo.

______________________________________________________________________
35
𝑺 = 𝑹(
(𝟏 + 𝒊) 𝑵+𝟏 − 𝟏
𝒊
)
𝑹 =
𝑺
(
(𝟏 + 𝒊) 𝑵+𝟏 − 𝟏
𝒊
)
1. Una empresa alquila una oficina en una zona residencial pagando U$1,500 al
comienzo de cada mes, mediante un contrato con vigencia de 3 años. ¿Qué monto
recibirá el propietario del inmueble si el valor del arriendo se deposita en una
cuenta de ahorro que gana el 9% c.m.? Resp. U$ 63,692.04
2. Una persona de cuarenta años desea acumular en una cuenta registrada de
ahorros para su retiro a los 65 años, la suma de U$ 15,000, ¿Qué cantidad debe
depositar al inicio de cada mes si la tasa de interés es del 9% c.m.? Resp. U$
13.27
3.4. Anualidades diferidas vencidas
Una anualidad diferida es aquella cuyo primer pago se hace algún tiempo después del
término del primer periodo de interés. A veces los bancos y entidades financieras ofrecen
préstamos con periodo de gracia, es decir, que la serie de pagos comienza después de
cierto tiempo.
La característica de este tipo de anualidades, es que el último flujo “R” coincide con el
vencimiento de la anualidad. Además, el número de periodos de capitalizaciones donde
no se produjo ningún pago o flujo “R, representa el tiempo de gracia “r”. De modo que, la
anualidad esta vencida entre los periodos r y N.
𝑷 = 𝑹 (
𝟏− (𝟏 + 𝒊)−𝑵+𝒓
𝒊
)(𝟏 + 𝒊)−𝒓
𝑹 =
𝑷
(
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝑵+𝒓
𝒊
)(𝟏 + 𝒊)−𝒓
1. Un industrial que va a iniciar operaciones con su nueva fábrica, solicito un
financiamiento de U$ 24,800 a cuatro años de plazo incluido un año de gracia, si la
amortización es mensual y el interés es del 21% cm. ¿Cuál es el valor de la cuota
para cancelar dicho préstamo? Resp. U$ 1,150.59

______________________________________________________________________
36
2. El 5 de marzo del 2014 una empresa agropecuaria adquirió implementos agrícolas
a través del financiamiento bancario, con el compromiso de efectuar pagos
mensuales de U$ 3,500 durante 30 meses, comenzando el 5 de julio del mismo
año, ¿Qué valor se pagaría de contado, si el interés cobrado es del 18% c.m.?
Resp. U$ 80,383.64
3. Calcular el valor descontado de una anualidad diferida con 3 años y seis meses de
gracia, que paga U$ 500 semestrales durante 7 años, si el interés es del 17% c.s.
Resp. U$ 2,262.56
4. Calcular el valor el 01 de julio del 2009, de pagos anuales de U$ 500 durante 6
años, si el primer pago es el 01 de enero del 2013 y el interés es 11.25% c.s.
Resp. U$ 1,540.85
Cálculo del valor futuro y de la renta
𝑺 = 𝑹 (
(𝟏+ 𝒊) 𝑵−𝒓 − 𝟏
𝒊
)
𝑹 =
𝑺
(
(𝟏 + 𝒊) 𝑵−𝒓 − 𝟏
𝒊
)
1. Al termino de 18 meses, una empresa deberá cancelar una deuda por un valor de
C$ 260,000 mediante pagos uniformes trimestrales al 12% c.t., ¿Qué valor debe
enterar, si el primero lo efectúa a los 6 meses del préstamo? Resp. C$ 48,972.19
2. Calcular el valor acumulado de depósitos trimestrales de U$ 300 cada uno,
inmediatamente después de dos años si el primero se hizo a los seis meses de
aperturar la cuenta y el dinero rinde 10% c.t. Resp. U$ 2,264.23
3.5. Anualidades perpetuas
Una perpetuidad es una anualidad cuyos pagos se inician en una fecha fija y continúan
eternamente. Este tipo de anualidad se presenta cuando se coloca un capital y se deja
intacto para retirar unicamente los intereses. Entonces mientras se mantenga el capital y
la tasa de interés, se tiene una renta a perpetuidad.
No tiene caso hablar del valor acumulado de una perpetuidad, porque el término de una
perpetuidad no tiene fin, sin embargo, el valor presente o descontado es el único
significado posible por estar bien definido, y es el valor fechado equivalente del conjunto
de pagos al principio del término de la perpetuidad.

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37
Sea “P” el valor descontado de una perpetuidad simple ordinaria, que es una serie infinita
de pagos hechos al terminar los periodos de interés y sea “i” la tasa de interés por periodo
y “R” el pago periódico de la perpetuidad, entonces:
𝑃 =
𝑅
𝑖
1. ¿Cuánto dinero se necesita para establecer el fondo de una beca que pague U$
1,500 anualmente, si el capital gana un interés del 7% efectivo anual y el primer
pago se hará a) al final del primer año, b) de inmediato. Resp. a) U$ 21,428.57 b)
U$ 22,928.57
2. Se espera que ciertas acciones paguen un dividendo de U$ 4 al final de cada
trimestre durante un periodo indefinido en el futuro. Si un inversionista desea
obtener un rendimiento anual efectivo de 12%, ¿Cuánto debe pagar por las
acciones? Resp. 139.19
3. Un filántropo ha creado una institución de estudios de arte y desea asegurar el
funcionamiento de este instituto a perpetuidad, ¿Cuál debe ser el aporte inicial si
para su funcionamiento se requieren C$ 65,000 al final de cada mes al 2.05%
efectivo mensual? Resp. C$ 3,170,731.71
Ejercicios propuestos para el auto estudio
Anualidades vencidas
1. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $100,000 al final de cada
año por 10 años, si la tasa de interés es del 15% efectivo anual Respuestas:
$501,876.86 y $2,030,371.82
2. Una Compañía obtiene ingresos semestrales por $50,000 durante 8 años, si los
reinvierte a una tasa de interés del 12.5% c.s., determine el valor final. Respuestas:
$1,310,342.80
3. Determine el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda de $
54,443.70 durante 3.75 años, si la tasa de interés que se paga es del 17.2% c.t.
Respuesta: $ 5,000.00.
4. Una persona ahorra al final de cada mes la cantidad $100.00 en una cuenta que gana
el 9% c.m. Determine el valor acumulado de la cuenta de ahorros al final de 15 años.
Respuesta. $37,840.57.
5. Una empresa desea tener disponible dentro de 51 meses $47,395.02 para reponer
una maquinaria. ¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo al final de cada
trimestre, si el fondo gana una tasa de interés de 16% c.t.? Respuesta $2,000.00
6. Determine el valor de la cuota destinada a un fondo de amortización al final de cada
mes durante 5 años, a una tasa de interés del 20% c.m. para saldar el principal de una

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38
deuda de $200,000. Nota. Los intereses se pagan por separado al 1.7% mensual.
Respuestas. $1,965.44. Intereses mensuales $3,400
7. Una empresa obtiene un préstamo de $18,000 la cual va a cancelar mediante el
sistema de cuotas niveladas mensuales ordinarias en un plazo de 15 años. Si la tasa
de interés es del 14.5% c.m., determine el valor de la cuota. Respuesta $245.79.
8. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $320 al final de cada
mes durante 4 años, si la tasa de interés es del 12% c.m. Respuestas. $12,151.67 y
$19,591.23
9. Desde hace 5 años una compañía dejó de pagar la cantidad de $4,000 al final de cada
semestre, se quiere saber qué valor tendrían esos pagos en la actualidad si la tasa de
interés es del 18% c.s. Respuesta $60,771.72.
10. Determine el principal de una deuda, sabiendo que se efectúan pagos iguales
mensuales vencidos por valor de $652.46 durante 5 años a un interés del 23.3352%
c.m. Respuesta. $22,987.17.
11. Una planta generadora de electricidad es vendida en $6,000 de cuota inicial y 18
pagos de $4,000 al final de cada mes. Si después de haber pagado las 6 primeras
cuotas y justamente antes de efectuar el pago de la séptima cuota decide cancelar en
un pago único el saldo de la deuda, cuánto deberá cancelar con intereses al 0.9950%
efectivo mensual? Respuesta: $43,147.39.
12. Una institución desea reunir $300,000 mediantes 6 depósitos semestrales iguales
vencidos con un interés del 5% efectivo semestral. a) Cuál debe ser el valor de la cuota?
Respuestas: $44,105.24
13. Un empleado considera que puede abonar $3,5000 por mes con excepción de los meses
de junio y diciembre, cuando por el reparto de utilidades y aguinaldo puede abonar
$10,000. Calcule la cantidad por la que puede solicitar un crédito hipotecario, si sabe que
le dan 10 años para pagarlo, el tipo de interés es del 21.6% c.m. y comenzaría en
diciembre. Respuesta. $227,091.38
Anualidades anticipadas
14. El alquiler de un lote de terreno es de $150 dólares mensuales anticipados. Un
contratista desea alquilar el terreno durante 3 años, si el interés pactado es de 0.5%
mensual. Determine el pago por anticipado y al final durante el período establecido.
Respuestas. $4,955.30 y $5,929.92.
15. Una persona está amortizando un préstamo personal de $ 1,811.72 mediante cuotas
niveladas semestrales vencidas a una tasa de interés del 16% c.s., en un plazo de 5
años. Halle un sistema de pago equivalentes mediante cuotas niveladas semestrales
anticipadas. Respuesta $250.00.
16. La empresa ALSA hace una donación de $30,000 a la Cruz Roja para que sea retirada
dentro de 16 meses. Determine la cantidad que deberá invertir la empresa en un
negocio financiero mensualmente, comenzando hoy para entregar la cantidad

______________________________________________________________________
39
prometida, si la tasa de interés es del 5% mensual acumulativo. Respuesta.
$1,207.71.
17. Una casa usted la puede comprar hoy a través de tres opciones:
a) Cuota inicial $6,500 y pagos anticipados anuales durante 3 años de $5,929.82 a un
interés del 30% anual.
b) A través de pagos mensuales de $ 667.18, el primero el día de hoy, a plazo de 4 años
y a una tasa de interés del 2.2232% efectivo mensual.
c) Cuota inicial $10,000 y pagos trimestrales vencidos de $2,343.49 durante año y medio
a un interés del 30% CT. Respuesta. Opción b a través del menor costo.
18. Los pagos mensuales anticipados para estudiar una maestría por 2 años en la UCC,
es de $300 dólares. La matrícula al inicio de año es de $500.00, derecho de
graduación $1,000.00 a los 2 años. Si se le carga un interés del 6.6 % c.m. Determine
el costo de los aranceles de la maestría al final del período y pagando por anticipado.
Respuestas. $9,820.87 y $8,609.55.
19. La deuda de un pequeño agricultor con un banco ha crecido hasta el día de hoy en
una cantidad de $14,525.90. La propuesta del banco para cancelar la deuda es
mediante pagos anticipados semestrales, en un plazo de 5 años comenzando hoy a
una tasa de interés del 31.93868% c.s.. Calcule el valor de la cuota semestral.
Respuesta. C$2,588.61.
20. La reposición de un activo fijo de la empresa Gallo y Asociados dentro de 2.5 años es
de $500,000. ¿Qué cantidad deberá depositar mensualmente la empresa
(comenzando hoy) en fondo de amortización que devenga el 18% c.c., para acumular
la cantidad deseada? respuesta: $13,122.75.
21. ¿Cuál es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor
C$11,302.31 durante 8 años a una tasa 6.5% trimestral? Respuesta. $160,500.
22. Determine el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor
$$13,302.31 durante 8 años a una tasa de interés del 26% c.t. Respuesta
$188,901.24
23. Un comerciante compró una mercadería mediante 8 pagos mensuales al principio de
cada mes de $3,000 y un pago final de $10,000 al término de un año. Si los intereses
fueron del 33% c.m. ¿Qué cantidad hubiese pagado de contado? Respuesta:
$29,089.56.
24. Al nacer su primogénito, un padre de familia hace un depósito bancario por $3,500, a)
¿cuánto debe depositar al comenzar cada semestre, iniciando en el segundo
semestre, para disponer de $150,000 cuando su hijo cumpla 7 años de edad,
suponiendo que la inversión reditúa el 30% c.s.? b) ¿De cuánto dispondría a los 15
años de edad si continúa con los depósitos? c ) Obtenga los intereses a los 15 años
del primogénito. Respuestas: a) $3,754.95 b) 41,644,241.90 c)
$1,535,603.30

______________________________________________________________________
40
25. Al comenzar su carrera profesional, cuya duración es de 9 semestres, un estudiante
decide ahorrar $500 al inicio de cada mes, durante todo ese tiempo, en un banco que
paga intereses del 21.6% c.m. ¿De cuánto dinero dispondrá 2 años después de haber
concluido sus estudios? Respuesta: $70,312.78
26. ¿Cuánto debe invertir al principio de cada quincena, una persona que pretende
acumular $54,000 en un año y medio, considerando que su inversión gana el 25.92%
convertible por quincena? Respuesta: $1,222.03
27. Una empresa debe pagar una deuda que estipula pagos mensuales vencidos de
$1,200 durante 4 años. Halle un pago equivalente mensual anticipado con el interés
del 9% c.m. Respuesta: $ 1,191.07
Anualidades Diferidas
28. Un auto se vende mediante un pago inicial de $3,000 y 60 pagos de $350.00 mensuales,
el primero dentro de 3 meses. Si la tasa de interés sobre saldos es del 18% c.m.
Determine (a) el valor del auto al contado (b) al término del último pago mensual.
Respuestas. a) $16,378.72 b) $41,226.32.
29. El costo de adquisición de una máquina es de $30,000. Los costos de operación y
mantenimiento se estimanen $500.00 mensuales, comenzando en el mes 5 después de
iniciar operaciones. Si la tasa que se le carga es del 1.5% mensual, determine hasta el
año 5 el valor presente de los costos. Respuestas: a) $47,762.94
30. Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $350.00 trimestrales,
realizados para el fondo de inversiones de una empresa consultora, el primer depósito
se efectúa al final del primer año y durante 4 años a una tasa de interés del 16% CT.
Respuestas $3,625.60. y $ 7,638.58.
31. Una empresa obtiene un préstamo de $400,000 para pagarlo en un plazo total de 12
años, determine la cuota según se indique:
a. Cuotas anuales a una tasa de interés del 18%, la primera en el año 3 después de
iniciada la deuda. Respuesta: $123,931.75
b. Cuotas mensuales a una tasa del 16.6661% c.m., la primera en el mes 5 después de
iniciada la deuda. Respuesta: $6,865.93
c. Cuotas trimestrales, la primera al término del año uno a una tasa de interés del
16.8987% c.t. Respuesta: $22,651.11
d. Cuotas mensuales anticipadas con el interés del 1.3888% efectivo mensual.
Respuesta: $6,350.58
32. A un empresario capitalino que va a montar una fábrica, le ofrecen un crédito con un
tiempo total de 5 años incluido un período de gracia de 2 años, amortización mediante
cuotas iguales mensuales a un interés del 24% c.m. Halle la cuota para un préstamo de
$1,000,000.00 Respuesta: $63,103.58.

______________________________________________________________________
41
Anualidades perpetuas
33. Determine el valor del capital que genera ingresos anticipados anuales de $6,000 de
forma indefinida a un interés del 8% efectivo. Respuesta: $81,000.00
34. ¿Qué cantidad de dinero invertida el día de hoy le permite a una persona ingresos
pagaderos mensuales indefinidos, de 1,200 dólares, si los intereses son del 0.58%
mensual? Respuesta: $206,896.55
35. Determine el valor actual de una renta mensual vencida a perpetuidad de $500.00 si la
tasa de interés es del 1% mensual. Respuesta: $50,000

______________________________________________________________________
42
SUGERENCIAS DE TRABAJO EXTRA CLASE
I. Aplicando los conocimientos adquiridos en el estudio de las anualidades,
resuelva los siguientes ejercicios.
1. El día de hoy, Martha compra una anualidad de C$ 2,500 anuales durante 15 años
en una compañía de seguros que utiliza el 3% anual. Si el primer pago vence en
un año, ¿Cuál fue el costo de la anualidad? C$ 29,844.84
2. Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias
anticipadas:
a) C$ 4000 anuales durante 7 años al 8.5% C$22,214.35; C$ 43,322.56
b) C$ 750 mensuales durante 3.25 años al 6% cm. C$ 26,647.39; C$ 33,119.14
c) C$ 480 trimestrales durante 8.75 años al 6% ct. C$ 13,191.23; C$ 22,692.47
3. Juan ahorra C$ 600 cada seis meses y los invierte al 8% cs, encuentre el importe
de sus ahorros después de 10 años. C$ 17,866.85
4. Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de C$ 100 al final de cada 3
meses durante 15 años, suponiendo intereses del 5% ct. C$ 4,203.46
5. Encuentre el valor presente y el valor final de 30 pagos de C$ 2,000 hechos al final
de cada mes, suponiendo intereses del 30% cm. C$ 41,860.59; C$ 87,805.41
6. ¿Cuánto debe invertir una empresa al final de cada tres meses durante los
próximos 4 años en un fondo que paga el 4% ct, con el objeto de acumular U$
2,500. U$ 144.86
7. Si mi sueldo me permite amortizar mensualmente para un crédito un importe
máximo de C$ 1,500 y la tasa de interés es actualmente del 14% cm y el crédito
debe pagarse en 3 años, ¿Cuánto dinero puedo pedir prestado? C$ 43,888.36
8. Si deseo acumular C$ 50,000 en 12 ahorros mensuales iguales, en donde la fecha
del último ahorro coincida con la fecha de mi objetivo, ¿Cuánto deberé de ahorrar
considerando una tasa del 30 cm? C$ 3,624.36
9. Se ofrece en arriendo un apartamento por la suma de U$ 1,500 mensuales
pagados por anticipado. Un posible arrendatario ofrece pagar de forma anual y al
final de cada año, ¿Cuál debe ser el monto a pagar suponiendo un interés del 36%
cm? U$ 23,426.69
10. Una deuda de C$ 800,000 concede un periodo de gracia de 6 meses, para
comenzar a ser pagada al término del 7mo mes, durante 2 años. Calcule el valor
que tendrá que pagarse mensualmente con un interés del 12% cm. C$
39,975.55
11. Un puente recién construido deberá repararse hasta el término de 5 años, se
estima que de ahí en adelante se necesitaran C$ 300,000 para reparaciones al
final de cada año por los próximos 20 años. Determine el valor presente para el
mantenimiento del puente sobre la base del 3% efectivo anual. C$ 3,850,032.15

______________________________________________________________________
43
12. Hallar el valor presente de una renta perpetua de C$ 10,000 mensuales,
considerando un rendimiento del 33% cm. C$ 363,636.36
13. Cuanto deberá invertir hoy el señor Francisco Pérez, para obtener una renta anual
de C$ 50,000 durante los próximos 6 años si la tasa de interés en el mercado es
del 12% anual. C$ 205,570.37
14. Una persona deposita la cantidad de C$ 260,000 en un banco que paga el 8%
anual con el propósito de realizar cuatro retiros anuales durante 4 años, ¿Cuál
será el valor de cada retiro? C$ 78,499.41
15. Una empresa deposita en un fondo de amortización al final de cada mes la
cantidad de C$ 10,000 ¿Cuál será el valor acumulado en el fondo al término del
tercer año si el fondo gana una tasa de interés del 12% c.m.? C$ 430,768.78
16. ¿Cuánto deberá invertir una empresa al final de cada tres meses durante los
próximos 5 años en un fondo que paga el 16% c.t., con el objeto de acumular el
valor del principal de un préstamo de C$ 250,000? C$ 8,395.44
17. Determine el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda de
C$ 54,443.70 durante 3 años y 9 meses, si la tasa de interés es del 17.2% c.t. C$
5,000
18. Un préstamo de U$ 18,000 se va a cancelar mediante el sistema de cuotas iguales
mensuales durante 5 años incluidos 4 meses de gracia, determine el valor de la
cuota si la tasa de interés es del 12% c.m. U$ 438.46
19. Desde hace 5 años una compañía paga la cantidad de U$ 4,000 al final de cada
semestre, calcular el valor que tienen esos pagos en la actualidad si la tasa de
interés es del 18% c.s. Resp. U$ 60,771.72
20. Una empresa desea tener disponible dentro de 51 trimestres U$ 47,395.02 para
reponer una maquinaria, ¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo de
amortización al final de cada trimestre si este gana un interés del 16.32% c.t.? U$
289.19
Nota: Este trabajo debe presentarse en equipos de 5 integrantes y manuscrito.

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