Tipos de logica

Heriberto Molina Campaña – heribertomolinac@gmail.com - 2016

HeribertoMolinaCampaña–heribertomolinac@gmail.com-2016
Versátil
Aplicable
Estudiada
Cuantifica variables
individuales
Los lenguajes
cuantifican a las
variables
predicativas
1. LOGICA DE PROPOSICIONES
2. LOGICA DE PREDICADOS

Primer criterio de clasificación determinado en
función de cómo sean esos cálculos
La lógica se estructura
en cálculos
Un cálculo es una
estructura sintáctica

La lógica formal moderna puede
caracterizarse como una cebolla, en donde
sobre un cálculo base se monta otro que
contiene más recursos expresivos y que
necesita de nuevos elementos, sobre esta
segunda capa se puede montar otras
nuevas según se sigamos ampliando
recursos o quitando restricciones del uso de
estos recursos.

Este cálculo es un calculo hipotético,
porque la deducción se establece en una
relación condicional entre las premisas y la
conclusión (si ocurren las premisas,
entonces ocurre la conclusión)
1. Lógica de proposiciones o de enunciados
El cálculo básico de la lógica
formal es el cálculo de enunciados
o proposicional, cuyas fórmulas
son proposiciones, oraciones o
enunciados sin analizar
internamente.
La relación lógica a estudiar es la
que se establece entre oraciones
que constituyen la unidad mínima de
significación lógica.
L. P. C. Representación del
lenguaje natural tomando
como elemento básico una
representación matemática de
las frases declarativas simples
(o proposiciones)
Ej: Jorge es listo (p)

Elementos de la Lógica de proposiciones o de enunciados
Variables
Se han acordado cinco variables o letras como
símbolos: p, q, r, s, t. Si hacen falta más variables, se recorre a
subíndices:
Así, p = La Tierra es un planeta.
El lenguaje o vocabulario de la lógica proposicional o de enunciados consta
de tres clases de elementos o símbolos: variables, constantes y auxiliares.

Constantes
Constantes o conectores proposicionales son las partículas de significado no
variable que tienen la función de alterar, relacionar o conectar enunciados
atómicos haciéndolos complejos. Los más frecuentes son la negación, la
conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional.
Negación: ¬. (También: -, ~ )
Representa la partícula lingüística no o cualquiera otras partículas que incluyan
la idea de negación. Por ejemplo: no es el caso que, no pasa que, ni, etc.
También prefijos que indican esta idea como imposible.
Así, la formalización de "La luna no tiene satélites", será ¬p ; habiendo definido
"La luna tiene satélites" con la letra p.

Conjunción:  (También: · , & )
Representa la partícula lingüística y o cualquier otra que indique la idea de unión, como también,
igualmente, pero.
Así, la formalización de "Marte tiene satélites y Júpiter también", considerando "Marte tiene
satélites" = p y "Júpiter tiene satélites" = q, será p  q .
Disyunción:  .
Representa la partícula lingüística o. Es preciso advertir que esta partícula tiene dos sentidos: un
inclusivo y otro exclusivo. En sentido inclusivo equivale a y/o, o sea, que incluye la verdad de los
dos enunciados de la disyunción o bien sólo la de uno de los dos. El sentido exclusivo expresa la
idea que la verdad de un miembro es incompatible con la verdad del otro: o uno o el otro, pero no
los dos. El sentido inclusivo es lo que, en general, se adopta a lógica.
Así, la formalización de "Se aprende lógica escuchando a clase o estudiando", siendo "Se
aprende lógica escuchando a clase" = p y "Se aprende lógica estudiante" = q, será p q .

Condicional:  . (También:  )
Representa las partículas lingüísticas si … entonces ... o cualquiera otros que indiquen la idea de
condición, como cuando … entonces... , entonces o una simple "coma". La partícula entonces o
equivalente separa el antecedente del consecuente.
Así, la formalización de "Si llueve, entonces la tierra se moja", con p simbolizando "Llueve" y q,
"La tierra se moja", será p  q .
Bicondicional :  . (También:  )
Representa las partículas lingüísticas si y sólo si … o cualquier otra que indique doble condición,
comoequivale, cuando y sólo cuando, únicamente. Se trata de una condición necesaria y
suficiente.
Así, la formalización de "Es de noche si y sólo si se ha post el sol", con p simbolizando "Es de
noche" y q "Se ha post el sol", será p  q.
EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN

Observaciones: Simbolizamos la proposición atómica “Llueve” con la variable p, y la proposición “Hace sol”, con la variable q
Escribir la formalización adecuada
1. Llueve y
hace sol
2. Llueve y no
hace sol
3. Llueve o
hace sol
4. Si no llueve,
hace sol
5. No es cierto que
llueva
6. No es cierto que no
llueva
7. Hará sol si y solo si
no llueve
p q p ¬q P V q ¬ P  q
¬ p ¬ ¬ p q  ¬ p

Simbolizamos:
“Llueve” = p
“Hace sol” = q
“Las brujas se peinan” = r
1. Llueve y hace sol, las brujas se peinan
2. 2. No es cierto que si llueve y hace sol las brujas se peinan
3. Las brujas se peinan únicamente si llueve y hace sol
4. Cuando las brujas no se peinan, no llueve o no hace sol
5. Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las brujas no se peinan

Simbolizamos:
“Las estrellas emiten luz = p; Los planetas
reflejan la luz = q; “Los planetas giran
alrededor de las estrellas”= r
1. Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y giran alrededor de ellas
2. Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas
3. Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas giran alrededor de ellas
4. Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces éstos no giran alrededor
de ellas

Simbolizamos:
“Pablo atiende en clase = p; “Pablo
estudia en casa = q; “Pablo fracasa en los
exámenes” = r; “Pablo es aplaudido =s
1. Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y no será aplaudido
2. Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia en casa, entonces fracasará en los exámenes y
no es aplaudido
3. Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los exámenes y no es aplaudido
4. Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no se dará que fracase en los exámenes y
no sea aplaudido.

Otorga ordenadamente, variables,
proposiciones a las diferentes
oraciones de cada caso.
1. “Si escoges tus deseos y tus miedos, no existirá para ti ningún tirano”. Epicteto
2. “Quien tiene un porqué para vivir puede soportar cualquiera como”. Nietzsche
3. “El mundo entero es un escenario y todos los humanos somos unos actores”. Shakespeare
4. “Cuando uno no tiene imaginación, la muerte es poca cosa; cuando uno la tiene, la muerte es
demasiado”. Céline
5. “Ojos que no ven, corazón que no siente”
Vistar lógica de enunciados

Sobre este cálculo básico se desarrolla el siguiente nivel que serán los cálculos de predicados o
cuantificacionales, que se caracterizan por analizar las oraciones en sus componentes, sujeto y predicado, y
porque se puede cuantificar sobre individuos, es decir podemos tratar con todos o con algunos de los elementos
que pueden ser sujetos de una oración.
Es fundamentalmente una lógica de clase donde la relación lógica que se estudia es la pertenencia a un conjunto
o la posesión de propiedades por los distintos individuos de los que se habla.
A diferencia de la lógica de proposiciones, la lógica de predicados es una lógica categorial, porque la deducción
se efectúa según se puedan establecer o no relaciones de pertenencia o de posesión de propiedades de los
individuos con las categorías en lo que agrupan
2. Lógica de predicados o cuantificacional
Jorge es listo
término predicado

Ejemplo
Si todos los hombres son mamíferos, y los
mamíferos tienen pelo, entonces
¿Tendrán los hombres pelo?
Cuando comprendemos que la clase de los hombres está
incluida en la de los mamíferos y ésta en las cosas con pelo
es fácil aceptar que los hombres tienen pelo. Si aceptamos
que las propiedades de una clase general se heredan en las
subclases que forman parte de ella.

Cuando decíamos que se pueden
cuantificar sobre los individuos que
forman parte de las clases, nos referimos
a que esta lógica tiene recursos para
hablar de individuos que están dentro de
un conjunto.
‘Todos’ y ‘Algunos’ son cuantificadores y
por este motivo hablamos de lógica
cuantificacional

Existen razonamientos válidos que no
son expresables ni analizables en lógica
de proposiciones
La lógica de predicados es una extensión
de la lógica de proposiciones que tiene
en cuenta la estructura interna de los
enunciados

Introduce los siguientes (nuevos) elementos:
Predicados, que permiten expresar propiedades o relaciones
entre objetos
Cuantificadores, que permiten expresar la generalidad de los
enunciados (enunciados válidos para todos los objetos de un
cierto tipo o sólo para algunos)
Funciones, que permiten expresar transformaciones de objetos
Constantes y variables, que permiten referirse a objetos
concretos u objetos generales

Cuantificadores
En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general,
los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos
elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.
El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos los
individuos.
Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es
verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.
CUANTIFICADORES

Martha es amable y simpática, pero no todos son simpáticos
Am  Sm (Ex) (Sx)
EJEMPLO
m = Martha
A = amable
S = simpatico
 = ,
 = y

Cuantificador Existencial
La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que
existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x)
es verdad”.
Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes
maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que…”
o “para algún x…”.
CUANTIFICADORES

Todos los humanos respiran
(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa
humanos, R respiran y x es un elemento de un
dominio general que podría ser el de las personas o
cualquier subconjunto deseado.
EJEMPLO

Todos los alumnos son estudiosos
(∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa
alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio
general que podría ser el de las personas o cualquier
subconjunto
EJEMPLO

Si usamos x para representar a algún humano, la
afirmacion “cada persona es hombre o mujer” se
puede representar como ∀x(H(x) ∨M(x))
donde H(x)= “x es hombre”,
M(x)= “x es mujer”
Ejemplo

Ejercicios
Visite Ejercicios de
lógica de predicados

3. Lógica de primer orden
3. Lógica de primer
orden
1. Lógica
proposicional
2. Lógica de
predicados+ =
Tiene la restricción de que sólo se puede utilizar cuantificadores con
elementos individuales. Es decir, no se puede hablar de todas o de
algunas de las clases de algún tipo

EJEMPLOS
Formalizar la siguiente deducción:
1. Ningún tiburón duda nunca de su buena
preparación.
2. Un pez que no sea capaz de bailar un
minuto es despreciable.
3. Ningún pez está seguro de su buena
preparación a menos que tenga tres filas de
dientes.
4. Todos los peces, excepto los tiburones, son
amables con los niños.
5. Ningún pez obeso puede bailar un minuto.
6. Un pez con tres filas de dientes no es
despreciable.
7. Luego todos los peces obesos son amables
con los niños
Formalización: E l dominio son los peces.
T(x): x es un tiburón
P(x): x duda de su buena preparación
M(x): x es capaz de bailar un minuto
D(x): x es despreciable
DI(x): x tiene tres filas de dientes
A(x): x es amable con los niños
O(x): x es obeso
Deducción:
(1) ∀x(T(x)→ ∼ P(x)) Premisa
(2) ∀x(∼ M(x) → D(x)) Premisa
(3) ∀x(∼ P(x) → DI(x)) Premisa
(4) ∀x(∼ T(x) → A(x)) Premisa
(5) ∀x(O(x)→ ∼ M(x)) Premisa
(6) ∀x(DI(x)→ ∼ D(x)) Premisa
(7) ∀x(O(x) → A(x)) G.U. Conclusión

4. Lógica de 2° (3°, 4°…n)
Sobre la lógica de primer orden, según admitamos cuantificar sobre propiedades o predicados, o
predicados de predicados, se subirá de orden. Por, ejemplo, si se permite utilizar oraciones como
“Hay un rasgo que todos los problemas filosóficos tienen en común”, entonces, porque estamos
cuantificando sobre una propiedad, estaríamos en una lógica de 2 orden y asís sucesivamente.

SEGUNDO CRITERIO DE CLASIFICACION
Hablamos de LOGICA CLASICA
cuando los cálculos lógicos son
bivalente, es decir, que sus
formulas pueden ser verdaderas o
falsas y no puede ocurrir que lo
sean a la vez. .
Si en los cálculos lógicos se
contemplan más valores de verdad
que lo verdadero y lo falso u otros
recursos expresivos entonces
hablamos de LOGICA NO
CLASICA
Número de valores de verdad que se acepten en los cálculos:

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