El documento presenta la resolución de una ecuación cuadrática. Se encuentra que las posibles soluciones enteras son 8, 9, 10 y 11. Luego, se determina que las únicas soluciones no enteras son la raíz cuadrada de 83 y la raíz cuadrada de 102.

1. M aximo Entero
´
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Encuentre todas las soluciones no enteras de
x2 − 19 x + 88 = 0
Soluci´n
o
1. Sea x satisfaciendo la ecuaci´n pedida, luego:
o
x2 − 19 x + 88 = 0
x2 + 88
x =
19
x2 +88
Como x ∈ Z ⇒ x = 19 = k, k ∈ Z
88
0 ≤ x2 = 19k − 88 ⇒ ≤k ⇒5≤k
19
Adem´s de x = k ⇒ k ≤ x < k + 1 (x > 0)
a
⇒ k 2 ≤ x2 < (k + 1)2
⇒ k 2 ≤ 19k − 88 < (k + 1)2
⇒ k 2 ≤ 19k − 88 ∧ 19k − 88 < (k + 1)2
(a) k 2 ≤ 19k − 88 ⇒ k 2 − 19k + 88 ≤ 0 ⇒ (k − 11)(k − 8) ≤ 0
∴ k ∈ [8; 11] ⇒ k = 8, 9, 10, 11
(b) 19k − 88 ≤ (k + 1)2 ⇒ 19k − 88 ≤ k 2 + 2k + 1 ⇒ 0 < k 2 − 17k + 89
⇒ = 172 − 4(89) < 0 luego la ecuaci´n se satisface en R
o
As´ conclu´
ı ımos que los valores de k son
k = 8, 9, 10, 11
Luego las soluciones ser´n
a
k =8 ⇒ x=√ 8
k =9 ⇒ x= √ 83
k = 10 ⇒ x = 102
k = 11 ⇒ x = 11
√ √
∴ las soluciones no enteras ser´n
a 83, 102.
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