1. Relaciones Binarias
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. (a) Dar un ejemplo de una relaci´n que sea sim´trica, transitiva pero no
o e
sea reflexiva.
(b) En el conjunto de las proposiciones compuestas que se pueden formar
con las variables proposicionales: p, q, r
Se define la relaci´n γ como:
o
P γ Q ⇔ P ∨ Q es tautlog´
ıa
Determine si dicha relaci´n es: Reflexiva, sim´trica, antisim´trica y
o e e
transitiva.
Soluci´n
o
1. (a) Basta considerar R = {(a, b); (b, a); (b, b); (a, a)} en A = {a, b, c} No-
tamos que c ∈ DomR pero (c, c) ∈ R, luego R no es reflexiva, pero
/
es sim´trica y transitiva.
e
(b) i. γ NO es reflexiva:
En efecto; sea P : (p∧ ∼ p) una proposici´n del conjunto, la
o
cual sabemos es una contradicci´n.Luego P ∨ P ≡ P es una con-
o
tradicci´n luego (P, P ) ∈ γ.
o /
ii. γ es sim´trica:
e
Desde que P ∨ Q ≡ Q ∨ P .
iii. γ NO es antisim´trica:
e
Para ver ello consideremos: P : (p∧ ∼ p), Q : (q∨ ∼ q) luego
P γ Q ∧ Q γ P pero P ≡ Q.
iv. γ NO es transitiva:
Para ver ello consideremos: P : (p∧ ∼ p), Q : (q∨ ∼ q) y
R : (∼ r ∧ r) tales que P γ Q ∧ Q γ R pero P γ R pues es
contradicci´n.
o
1