Derivadas parciales y teoremas

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 2: DIFERENCIACIÓN
VECTORIAL
TEMA: DERIVADAS PARCIALES.

4. DEFINICIÓN
DEFINICIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

5. EJEMPLO 1: HALLAR LAS DERIVADAS
PARCIALES
Hallar las derivadas parciales de la funciónyx yf f ( ) 2 2 3
, 3 2f x y x x y x y= − +
( )
( )
2 2 3
2 2
, 3 2
, 3 2 6x
f x y x x y x y
f x y xy x y
= − +
= − +
( )
( )
2 2 3
2 3
, 3 2
, 2 2y
f x y x x y x y
f x y x y x
= − +
= − +

6. EJEMPLO 2: HALLAR LAS DERIVADAS
PARCIALES
Hallar las derivadas parciales de la funciónyx yf f ( ) 2 3 3 2
, 2 2 5f x y x y x y xy= + − +
( )
( )
2 3 3 2
3 2 2
, 2 2 5
, 2 6 2x
f x y x y x y xy
f x y xy x y y
= + − +
= + −
( )
( )
2 3 3 2
2 2 3
, 2 2 5
, 3 2 4y
f x y x y x y xy
f x y x y x xy
= + − +
= + −

7. NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS
PARCIALES

8. EJEMPLO 3: HALLAR Y EVALUAR LAS
DERIVADAS PARCIALES
Dada hallar , y evaluar cada una en el punto (1, ln2)( )
2
, x y
f x y xe= yx yf f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 ln2 1 ln2
ln2 ln2
, 2
1,ln 2 1 2 1 ln 2
1,ln 2 2ln 2
1,ln 2 4ln 2 2
x y x y
x
x
x
x
f x y xe xy e
f e e
f e e
f
= +
= +
= +
= +
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
3
3 1 ln2
ln2
,
,
1,ln 2 1
1,ln 2
1,ln 2 2
x y
y
x y
y
y
x
x
f x y xe x
f x y x e
f e
f e
f
=
=
=
=
=

9. EJEMPLO 4: HALLAR LAS PENDIENTES DE
UNA SUPERFICIE EN LAS DIRECCIONES DE
x Y y
Hallar las pendientes en las direcciones de x y y de la superficie dada por
( )
2
2 25
,
2 8
x
f x y y= − − +
( )
( )
,
1 1
,1
2 2
, 2
1
,1 2
2
x
x
y
y
f x y x
f
f x y y
f
= −
 
= − 
 
= −
 
= − 
 
en el punto
1
,1,2
2
 
 
 

10. EJEMPLO 5: HALLAR LAS DERIVADAS
PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES
VARIABLES
Hallar la derivada parcial de con respecto a z( ) ( )2
, , Sin 2f x y z z xy z= +
( ) ( ) ( ) ( )  
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
Sin 2 Sin 2 Sin 2
Cos 2 2 Sin 2
2 Cos 2 Sin 2
z xy z z xy z xy z z
z z z
z xy z xy z
z xy z xy z
  
  
   + = + + +   
 = + + + 
= + + +

11. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
DERIVADAS PARCIALES MIXTAS (CRUZADAS)

12. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS

13. EJEMPLO 6: HALLAR LAS DERIVADAS
PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Mostrar que y para la función dada porxz zxf f= ( ), , lnx
f x y z ye x z= +zxz zzxf f=
( )
( )
, , ln
, ,
x
x
z
f x y z ye z
x
f x y z
z
= +
=
( )
( )
( ) 2
1
, ,
1
, ,
, ,
xz
zx
zz
f x y z
z
f x y z
z
x
f x y z
z
=
=
= −
( )
( )
( )
2
2
2
1
, ,
1
, ,
1
, ,
xzz
zxz
zzx
f x y z
z
f x y z
z
f x y z
z
= −
= −
= −

14. INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
DEFINICIÓN DE DIFERENCIA TOTAL

15. INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
DEFINICIÓN DE DIFERENCIALIDAD

16. INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA DIFERENCIABILIDAD
DIFERENCIABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD

17. REGLA DE LA CADENA PARA
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

18. EJEMPLO 7: REGLA DE LA CADENA
CON UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Sea donde Hallar cuanto t = 02 2
w x y y= −
dw
dt( )Sin y t
x t y e= =
( ) ( )
( )( )( )
2
2 2
2 Cos 2
2 Sin Cos Sin 2
t
t t t
dw w dx w dy
dt x dt y dt
xy t x y e
t e t e t e
 
 
= +
= + −
= + −
0
2
t
dw
dt
=
= −

19. REGLA DE LA CADENA PARA
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLE INDEPENDIENTES

20. EJEMPLO 8: REGLA DE LA CADENA
CON DOS VARIABLE INDEPENDIENTES
Utilizar la regla de la cadena para encontrar dada
w w
y
s t
 
 
2 2
2w xy
s
donde x s t y y
t
=
= + =
( )
( ) ( )2 2
2 2 2
2 2
1
2 2 2
1
2 2 2
4 2 2
6 2
w w x w y
s x s y s
y s x
t
s
s s t
t t
s s t
t t
s t
t
    
    
= +
 
= +  
 
   
= + +   
   
+
= +
+
=

21. REGLA DE LA CADENA PARA
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA

22. EJEMPLO 9: HALLAR UNA DERIVADA
IMPLÍCITAMENTE
Hallar dada la ecuación 3 2 2
5 4 0y y y x+ − − + =
( ) 3 2 2
, 5 4F x y y y y x= + − − +
dy
dx
( ) ( ) 2
, 2 , 3 2 5x yF x y x F x y y y= − = + −
( )
( )
( )
2 2
, 2 2
, 3 2 5 3 2 5
x
y
F x y xdy x
dx F x y y y y y
− −
= − = =
+ − + −

23. PREGUNTAS