Función vectorial de variable real

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE CIENCIAS
E INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL SEMANA: 03
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL
INTRODUCCIÓN
Las funciones vectoriales se conocen también
como campos vectoriales y se clasifican en:
Campos vectoriales de variable escalar
Campo escalar Un campo escalar es una función
real de varias variables en la que a cada punto de
su dominio se le asigna el valor que toma una
determinada magnitud escalar sobre dicho punto.
Campos vectoriales de variable vectorial
Campo vectorial Es una función vectorial de
varias variables en la que a cada punto de su
dominio se le asigna el vector correspondiente a
una determinada magnitud vectorial que actúa
sobre dicho punto.
Las funciones con las que se ha trabajado hasta el
momento son funciones reales de una variable
real (su rango es un subconjunto de los reales). Se
estudiarán en este capítulo funciones de una
variable real pero cuyo rango es un conjunto de
vectores. Este tipo de funciones son las que se
utilizan para describir la trayectoria de un objeto.
Aplicación de las funciones vectoriales en la medición
de los campos electromagnéticos de los planetas:
Aplicaciones de las funciones vectoriales en la
física, las matemáticas y la vida social:
Prevención de temblores:
•
f
t
𝒇(𝑡)
C
t
z
y
x
R

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Un campo donde se aplican las funciones vectoriales es
en la medición de las escalas de impacto del
movimiento de las placas tectónicas es decir de los
temblores:
Si se analizara más a fondo los movimientos de las
placas tectónicas y se identificaran lo epicentros será
más fácil y más útil el hecho de analizar estos sismos:
Y así se evitarían grandes catástrofes como la de 1985
en la ciudad de México:
Funciones vectoriales
Definición. - Una función vectorial de una
variable real en el espacio es una función cuyo
dominio es un conjunto de números reales y
cuyo rango es un conjunto de vectores del
espacio, es decir, es una función del tipo
1 1 2 2
1 2
f :
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ( ), ( ),..., ( ))
n
n n
n
I R
t f t f t e f t e f t e
f t f t f t
 
    

R
3
1 2 3
1 2 3
f :
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ), ( ), ( ))
I R
t f t f t f t f t
f t f t f t
 
   

R
i j k
2
1 2
1 2
f :
( ) ( ) ( )
( ( ), ( ))
I R
t f t f t f t
f t f t
 
  

R
i j
donde 1 2 3, yf f f son funciones reales de
variable real t , llamadas funciones componentes
de f .
Dominio de una función vectorial.- Esta dado por
la intersección de los dominios de sus funciones
componentes, es decir, si
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t entonces
1 2 3(f) ( ) (f ) (f )I Dom Dom f Dom Dom 
Ejemplo:

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Si  2
( ) 1 , ,f t t t ln t  el dominio de f
será  0/  ttI R
Rango o imagen de f .- sea f: I → Rn
una función
vectorial tal que 1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))nf t f t f t f t
,
definimos
Im(f) = {(f1(t), f2(t), f3(t), … , fn(t))/ tεI} , donde
Im(f) = f(I)
Traza de f.- El conjunto imagen f(I) ⊂ ℝ3
se
denomina la traza de f.
Nota: Si la función vectorial f describe el
movimiento de una partícula, el vector
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t señala su posición en
el instante t , en estos casos t representa la
variable tiempo.
Ejemplo 1:
3
: / ( ) (2 3 ) 2 ( 1 )f f t t t t      R R i j k
Ejemplo 2: 3 2
: / ( ) ( , , 3 )f f t t sent cos t R R
Ejemplo 3:
Grafique la curva trazada por la función vectorial
f(t) = 2costi + 2sentj + 3k
Solución
Parametrizando {
x = 2cost
y = 2sent
z = 3
Un punto de la curva ya sobre la curva:
x2
+ y2
= 4, sin embargo, como la coordenada z
de cualquier punto tiene el valor constante z = 3
Ejemplo 4: Determine la función vectorial que
describe la curva C de intersección del plano y =
2x y el paraboloide: z = 9 − x2
− y2
.
Solución
Parametrizando la curva C de intersección
dejando x = t se deduce que y = 2t y
z = 9 − t2
− (2t)2
= 9 − 5t2
de acuerdo a las
ecuaciones paramétricas.
{
x = t
y = 2t
z = 9 − 5t2
− ∞ < t < +∞
función vectorial que describe el trazo del
paraboloide en el plano la función vectorial que
describe el trazo del paraboloide en el plano
y = 2x está dada por:
f⃗(t) = ti + 2tj + (9 − 5t2
)k

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Ejemplos
• Un campo vectorial para el movimiento del aire
en la tierra asociará a cada punto en la superficie
de la tierra un vector con la velocidad y la dirección
del viento en ese punto. Esto se puede dibujar
usando flechas para representar el viento; la
longitud (magnitud) de la flecha será una
indicación de la velocidad del viento. Un "Alta" en
la función usual de la presión barométrica
actuaría, así como una fuente (flechas saliendo), y
un "Baja" será un sumidero (flechas que entran),
puesto que el aire tiende a moverse desde las
áreas de alta presión a las áreas de presión baja.
• Un campo de velocidad de un líquido móvil. En
este caso, un vector de velocidad se asocia a cada
punto en el líquido. En un túnel de viento, las
líneas de campo se pueden revelar usando humo.
• Campos magnéticos. Las líneas de campo se
pueden revelar usando pequeñas limaduras de
hierro. Aplicación de las funciones vectoriales en
la medición de los campos electromagnéticos de
los planetas.
• Las ecuaciones de Maxwell permiten que
utilicemos un conjunto dado de condiciones
iniciales para deducir, para cada punto en el
espacio euclidiano, una magnitud y una dirección
para la fuerza experimentada por una partícula de
prueba cargada en ese punto; el campo vectorial
que resulta es el campo electromagnético.
Ejercicios
01. Determine el dominio de la función vectorial
definida por
a. f⃗(t) = (ln(t) , t2
, √1 − t )
b. f⃗(t) = (√t ,
1
√t−1
, ln(4 − t2
))
c. f⃗(t) = (t ,
1
√t−1
, ln(4 − t))
d. f⃗(t) = (√t − 3 , √t + 3 , t3
)
e. f⃗(t) = (t2
− 4 ,
1
√t−1
, ln(
4−t
√t2−9
))
f. f⃗(t) = (t ,
1
√t2+5t−20
, ln(t2
− 5t + 6))
g. f⃗(t) = (
1
t+2
,
8
√9−t2
, ln(t20
+ 5))
2.- Hallar el Dominio de las siguientes Funciones
Vectoriales de Variable Escalar:
) ( ) t
a f t e i Sent j 
1 3
) ( )
5 1
b f t i j
t t
 
 
d) 3
) ( ) ( 4, 7, )c f t t t t  
 ) ( ) (2 8), (7 )e f t Ln t Ln t  
3.- Hallar el Dominio de las siguientes funciones
vectoriales de variable Escalar:

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) ( ) t
a f t e i sent j 
1 3
) ( )
5 1
b f t i j
t t
 
 
5
) ( ) 5 5t
c f t t i j t k  
3
) ( ) ( 4, 7, )d f t t t t  
 ) ( ) (2 8), (7 )e f t Ln t Ln t  
𝑓) 𝑓⃗(𝑡) = (𝑙𝑛(𝑡 + 1) , √𝑡2 + 2𝑡 − 8)
g) 𝑓⃗(𝑡) = (
𝑡2
𝑡+2
, 2𝑡3
,
2𝑡
𝑡+1
)
j) 𝑓⃗(𝑡) = (
1
𝑡2 , 0, 𝑙𝑛(𝑡 + 1))
k) 𝑓⃗(𝑡) = (
1
𝑡2+1
, 𝑙𝑛(𝑡2
− 1),
2𝑡
𝑡−1
)
l) 𝑓⃗(𝑡) = (𝑙𝑛(𝑡 − 1) , √𝑡2 − 2𝑡 − 3)
ll) 𝑓⃗(𝑡) = (𝑙𝑛(
𝑡−5
𝑡−2
, √𝑡2 − 9, 𝑡2
− 5)
m) 𝑓⃗(𝑡) = (√ 𝑡, 𝑙𝑛 (
𝑡2−9
𝑡2−36
) , 𝑡2
)
n) 𝑓⃗(𝑡) = (√9 − 𝑡2, √𝑡2 − 1, 𝑙𝑛𝑡)
04. f⃗(t) = (t, 3t), t ∈ R, se expresa también con
las ecuaciones paramétricas x = t, y = 3t. La
imagen o la trayectoria de f es una recta en el
plano R2
.
05. f⃗(t) = (cost, sent), t ∈ [0, 2π]. En este
caso, la trayectoria de f es la circunferencia
centrada en (0, 0) de radio 1?
06. Describa la curva en el espacio que definen las
siguientes funciones vectoriales:
a) f⃗(t) = (1 − t, 2 + 4t, 3 + 2t), t ∈ R
b) f⃗(t) = (sent, 3, cost), t ∈ R
c) f⃗(t) = (2cost, 2sent, t), t ∈ R
08. Sea f⃗: I ⊆ R ⟶ R3
, tal que f⃗(t) = (acost, 3,
bsent, t), t ∈ R esta curva es llamada hélice.
Note que {
x = acost
y = bsent
z = t
⟹ {
x2
= a2
cos2
t
y2
= b2
sen2
t
z = t
⟹
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Se puede observar como la traza que hace la
superficie x = acosz al cilindro
x2
a2
+
y2
b2
= 1
09. Determine el domino de la función vectorial
definida por f⃗(t) = (ln(t) ; t2
; √1 − t)
10.- Un jugador de béisbol lanza una pelota con un
ángulo de 45° con respecto a la horizontal, a una
distancia de 75 metros si la pelota es capturada al
mismo nivel de lanzamiento, determinar la rapidez
inicial de lanzamiento.

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11.- Un proyectil es disparado a una altura de 10
metros con una velocidad inicial de 1500m/s y con
un ángulo de elevación de 30°. Determinar:
a) la velocidad, en cualquier instante
b) la altura máxima.
c) el alcance del proyectil.
d) la rapidez con la que el proyectil choca con el
suelo.
Bibliografías
Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la
matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill,
1967.
Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría Analítica”,
Harla, sexta edición, 1992.
Referencias
https://analisisfigempa.wikispaces.com/Integral+Dobl
e
http://migueltarazonagiraldo.com/
http://usach.maximi89.cl/descargas.php
https://funcionvectorialvite.wordpress.com/2009/10/12
/aplicaciones-de-las-funciones-vectoriales-en-la-fisica-
las-matematicas-y-la-vida-social/

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