Este documento presenta los conceptos básicos de congruencias lineales y el teorema del residuo chino. Explica cómo resolver congruencias lineales de la forma ax ≡ b (mod m) encontrando el inverso de a modulo m. También muestra cómo usar el teorema del residuo chino para resolver sistemas de congruencias lineales.

1. Oscar Bedoya
oscar.bedoya@correounivalle.edu.co
http://eisc.univalle.edu.co/~oscarbed/MD/
Matemáticas Discretas

2. * Congruencias lineales
* Sistemas de congruencias lineales
* Teorema del residuo chino

3. Encuentre un valor x tal que:
3x  4 (mod 7)
Teoría de números

4. Encuentre un valor x tal que:
3x  4 (mod 7)
un posible valor es x=6, porque
18  4 (mod 7)
Teoría de números

5. Encuentre un valor x tal que:
3x  4 (mod 7)
un posible valor es x=6, porque
18  4 (mod 7)
• Otros valores de x que cumplen la congruencia son:
 x=13 ya que 39  4 (mod 7)
 x=-1 ya que -3  4 (mod 7)
 x=20 ya que 60  4 (mod 7)
Teoría de números

6. Congruencias lineales
• Una congruencia de la forma
ax  b (mod m)
donde m es un entero positivo, a y b son enteros y x es una
variable, se llama congruencia lineal
Teoría de números

7. Método para resolver ax  b (mod m)
1) Encuentre el inverso de a mod m
2) Multiplique ambos lados de la congruencia por a
a  a  x  a  b (mod m)
x ≡ a  b (mod m)
3) Una vez que conozca el valor x, se tiene una solución
Teoría de números

8. Resolver 3x  4 (mod 7)
Teoría de números

9. Resolver 3x  4 (mod 7)
• Encuentre el inverso de 3 mod 7
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
• x ≡ a  b (mod m) es una solución
Teoría de números

10. Resolver 3x  4 (mod 7)
• Encuentre el inverso de 3 mod 7
El inverso es -2
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
-23x ≡ -24 (mod 7)
x ≡ -8 (mod 7)
x = 6
• x=6 es una solución
Teoría de números

11. Resolver 5x ≡ 2 (mod 7)
• Encuentre el inverso de 5 mod 7
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
• x ≡ a  b (mod m) es una solución
Teoría de números

12. Resolver 5x ≡ 2 (mod 7)
• Encuentre el inverso de 5 mod 7
El inverso es 3
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
35x ≡ 32 (mod 7)
x ≡ 6 (mod 7)
x = 6
Teoría de números

13. Resolver 7x ≡ 3 (mod 5)
Teoría de números

14. Resolver 7x ≡ 3 (mod 5)
• Encuentre el inverso de 7 mod 5
El inverso es -2
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
-27x ≡ -23 (mod 5)
x ≡ -6 (mod 5)
x = 4
Teoría de números

15. Resolver 11x ≡ 5 (mod 6)
Teoría de números

16. Resolver 11x ≡ 5 (mod 6)
• Encuentre el inverso de 11 mod 6
El inverso es -1
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
-111x ≡ -15 (mod 6)
x ≡ -5 (mod 5)
x = 1
Teoría de números

17. Método para resolver ax  b (mod m)
• Encuentre el inverso de a mod m
• Multiplique ambos lados de la congruencia por a
a  a  x  a  b (mod m)
x ≡ a  b (mod m)
• Una vez que conozca el valor x, se tiene una solución
Teoría de números

18. Método para resolver ax  b (mod m)
• Encuentre el inverso de a mod m
• Multiplique ambos lados de la congruencia por a
a  a  x  a  b (mod m)
x ≡ a  b (mod m)
• Una vez que conozca el valor x, se tiene una solución
• Para encontrar todas las soluciones se expresa como:
x ≡ ( a  b (mod m)) mod m
Teoría de números

19. Resolver 3x  4 (mod 7)
• Encuentre el inverso de 3 mod 7
El inverso es -2
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
-23x ≡ -24 (mod 7)
x ≡ -8 (mod 7)
x = 6
• x=6 es una solución
Teoría de números

20. Resolver 3x  4 (mod 7)
• Encuentre el inverso de 3 mod 7
El inverso es -2
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
-23x ≡ -24 (mod 7)
x ≡ -8 (mod 7)
x = 6
• x=6 es una solución
• Todas las soluciones están dadas por x ≡ 6 (mod 7)
Teoría de números

21. Todas las soluciones están dadas por x ≡ 6 (mod 7)
• Se cumple que 7|(x-6), por lo tanto, 7c=x-6, es decir,
x = 6 + 7c
Teoría de números

22. Todas las soluciones están dadas por x ≡ 6 (mod 7)
• Se cumple que 7|(x-6), por lo tanto, 7c=x-6, es decir,
x = 6 + 7c
• Se asignan valores a c para conocer más soluciones:
 Si c=0, se obtiene la solución x=6
 Si c=-1, se obtiene la solución x=-1
 Si c=1, se obtiene la solución x=13
 Si c=2, se obtiene la solución x=20
Teoría de números

23. Resolver 5x ≡ 2 (mod 7)
• Encuentre el inverso de 5 mod 7
El inverso es 3
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
35x ≡ 32 (mod 7)
x ≡ 6 (mod 7)
x = 6
Teoría de números
Encuentre 3 soluciones

24. Resolver 5x ≡ 2 (mod 7)
• Encuentre el inverso de 5 mod 7
El inverso es 3
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
35x ≡ 32 (mod 7)
x ≡ 6 (mod 7)
x = 6
• Solución general: x≡6 mod 7, x=6+7c
• Soluciones: x=6, x=13, x=-1
Teoría de números

25. Encuentre al menos 3 soluciones para la siguiente
congruencia:
• 4x ≡ 5 (mod 9)
Teoría de números

26. Resolver 4x ≡ 5 (mod 9)
• Encuentre el inverso de 4 mod 9
El inverso es -2
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
-24x ≡ -25 (mod 9)
x ≡ -10 (mod 9)
x = 8
• Solución general: x≡8 mod 9, x=8+9c
• Soluciones: x=8, x=17, x=-1
Teoría de números

27. Encuentre al menos 3 soluciones para la siguiente
congruencia:
• 2x ≡ 7 (mod 17)
Teoría de números

28. Resolver 2x ≡ 7 (mod 17)
• Encuentre el inverso de 2 mod 17
El inverso es -8
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
-82x ≡ -87 (mod 17)
x ≡ -56 (mod 17)
x = 12
• Solución general: x≡12 mod 17, x=12+17c
• Soluciones: x=12, x=29, x=-5
Teoría de números

29. > Encuentre al menos 3 soluciones para las siguiente
congruencia:
• 3x ≡ 5 (mod 16)
Teoría de números

30. Resolver 3x ≡ 5 (mod 16)
• Encuentre el inverso de 3 mod 16
El inverso es -5
• Multiplique a ambos lados de la congruencia por el inverso
-53x ≡ -55 (mod 16)
x ≡ -25 (mod 16)
x = 7
• Solución general: x≡7 mod 16, x=7+16c
• Soluciones: x=7, x=23, x=-9
Teoría de números

31. Acertijo de Sun-Tsu
Existe un número que cuando se divide entre 3, el residuo
es 2, cuando se divide entre 5, el residuo es 3, y cuando se
divide entre 7 el residuo es 2. ¿Cuál es el número?
Teoría de números

32. Acertijo de Sun-Tsu
Existe un número que cuando se divide entre 3, el residuo
es 2, cuando se divide entre 5, el residuo es 3, y cuando se
divide entre 7 el residuo es 2. ¿Cuál es el número?
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)
Teoría de números

33. Sistemas de congruencias lineales
Encontrar un valor de x que satisfaga las siguientes
congruencias
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)
Teoría de números

34. Teorema del residuo Chino
Dado un sistema de congruencias de la forma:
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
x ≡ a3 (mod m3)
Teoría de números

35. Teorema del residuo Chino
• Encuentre m=m1m2m3
• Encuentre M1=m/m1, M2=m/m2 y M3=m/m3
• Encuentre
y1, el inverso de M1 mod m1
y2, el inverso de M2 mod m2
y3, el inverso de M3 mod m3
• La solución está dada por x=a1M1y1+a2M2y2+a3M3y3
Teoría de números

36. Resolver
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)
Teoría de números

37. Resolver
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)
• m=357=105
• M1=35, M2=21, M3=15
• Se encuentran los inversos y1, y2, y3 de:
35 mod 3, 21 mod 5, 15 mod 7
• y1=-1, y2=1, y3=1
• x = 235(-1) + 3211 + 2151 = 23
Teoría de números

38. Resolver
x ≡ 4 (mod 11)
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 7)
Teoría de números

39. Resolver
x ≡ 4 (mod 11)
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 7)
• m=1157=385
• M1=35, M2=77, M3=55
• Se encuentran los inversos y1, y2, y3 de:
35 mod 11, 77 mod 5, 55 mod 7
• y1=-5, y2=-2, y3=-1
• x = 435(-5) + 277(-2) + 355(-1) = -1173
Teoría de números

40. Resolver
x ≡ 4 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 3)
Teoría de números

41. Resolver
x ≡ 4 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 3)
• m=1153=165
• M1=15, M2=33, M3=55
• Se encuentran los inversos y1, y2, y3 de:
15 mod 11, 33 mod 5, 55 mod 3
• y1=3, y2=2, y3=1
• x = 4153 + 3332 + 1551 = 433
Teoría de números

42. • Resolver el acertijo:
Se tiene un número que dividido entre 5 da como residuo 2,
dividido entre 3 se obtiene como residuo 2 y al dividirlo
entre 2 sobra 1. Encuentre el número usando el teorema
del residuo chino
Teoría de números

43. • Resolver el acertijo:
Se tiene un número que dividido entre 5 da como residuo 2,
dividido entre 3 se obtiene como residuo 2 y al dividirlo
entre 2 sobra 1. Encuentre el número usando el teorema
del residuo chino
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 1 (mod 2)
Teoría de números

44. Resolver
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 1 (mod 2)
• m=532=30
• M1=6, M2=10, M3=15
• Se encuentran los inversos y1, y2, y3 de:
6 mod 5, 10 mod 3, 15 mod 2
• y1=1, y2=1, y3=1
• x = 261 + 2101 + 1151 = 47
Teoría de números