Esta guía trata sobre las operaciones con números racionales. Explica que los números racionales forman un conjunto cerrado bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, y que el resultado siempre será un número racional. Luego, detalla los procedimientos para realizar cada operación con fracciones, incluyendo ejemplos. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar las diferentes operaciones con fracciones.

1. Colegio Técnico Profesional Profesores: Pamela Rogel C.– Erwin Coronado C.
Santa Teresa de los Andes Sector: Matemática
Osorno Curso: 1° Medio
Guía de Ejercicios
Tema: El conjunto de los números racionales.
A. Expresión fraccionaria:
Las operaciones en los racionales:
En los números racionales se pueden aplicar las operaciones usuales, es decir, los números racionales se pueden
sumar, restar, multiplicar y dividir.
Una propiedad importante que cumplen los números racionales con estas operaciones es que sin importar la
operación que se aplique, el resultado obtenido siempre será un número racional. A esta propiedad se le conoce
como cerradura, y por lo tanto se dice que el conjunto de los números racionales es cerrado con respecto a estas
operaciones.
¿A qué corresponde esta guía?
Esta guía corresponde a la segunda parte de los números racionales y contempla las operaciones en los racionales
de acuerdo a su representación fraccionaria.
I. Suma
La relación fundamental en la suma de fracciones es que:
a c a+c
+ = (* )
b b b
Es decir, cuando se tienen dos fracciones de igual denominador, se conserva el denominador y se suman los
numeradores.
Entonces cuando se tienen fracciones con distinto denominador, podemos utilizar lo anterior junto con la
amplificación y obtener el siguiente resultado al sumar dos fracciones:
a c ad bc
+ = + ( Amplificando para igualar denominadores )
b d bd bd
luego
ad bc ad + bd
+ = ( Aplicando la relación fundamental en la suma ) (*)
bd bd bd
a c ad + bc
Es decir + =
b d bd
5 3
+
Por ejemplo, obtener el resultado de
7 8
5 3 5 ⋅ 8 3 ⋅ 7 40 21
+ = + = + ( Amplificando cada fracción para igualar denominadores )
7 8 7 ⋅ 8 8 ⋅ 7 56 56
luego
5 3 40 + 21 61
=
+ = ( Aplicando la relación fundamental en la suma )
7 8 56 56
Otro método es identificar el mínimo común múltiplo entre los denominadores y realizar la amplificación según este
m.c.m. Para obtener este m.c.m. se utiliza la descomposición prima. Veamos un ejemplo
5 3 1
Sumar: + +
6 8 4
Obtengamos el m.c.m.(4,6,8) 4 6 8 2
2 3 4 2 luego el m.c.m.(4, 6,8) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24
1 3 2 2
1 3 1 3
1 1 1 24
5 3 1 20 9 6 20 + 9 + 6 35 11
Luego, se tiene + + = + + = = = 1
6 8 4 24 24 24 24 24 24

2. 1. Determinar el resultado de las siguientes sumas de fracciones utilizando la definición
general. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según
−a a a
corresponda. (Si el resultado es negativo, recuerda que = = − )
b −b b
5 3 3 2 2 5 1
a. + = e. + = i. + + =
6 6 5 6 3 8 2
4 2 −1 1 2 1
b. + + = f. 3 + = j. +3+ + 2 =
5 6 3 2 5 2
2 4 1 2 1  4 −3
c. 5 + = g. + + +  = k. + =
7 5  2 5 10  5 8
8 1 −5 4 −5 8 3 −7
d. +4+ + = h. 8 + = l. + + + =
9 4 3 5 4 5 2 6
Cuando sumas un entero con una fracción, como en los ejercicios c., f. y h. ¿Qué puedes concluir
respecto del tipo de fracción que se obtiene?
2. Determina el resultado de las siguientes sumas de fracciones utilizando el mínimo común
denominador. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta,
según corresponda.
4 3 5 −2 1 −6 1
a. + = e. + = i. + + =
14 7 8 6 6 12 18
10 −1 −1 −8 5 − −3 1 11
b. + + = f. + + 8= j. + +
3 6 3 21 7 8 12 6
1 4 1 2 1 1 2  3 −3 −3
c. + + = g.  +  +  +  = k. + + =
5 3 2  3 9   4 12  8 4 8
5 4 −1  −1   1 −5   −2 −1 5  4
d. + + = h.  −2 +  +  +  = l.  + +  + =
9 3 12  5  5 6   5 10 12  6
II. Resta
En la resta la relación fundamental solo varía en el signo:
a c a−c
− = (* )
b b b
De igual forma, respecto de fracciones con distinto denominador, solo varía el signo, quedando la definición para la
resta de fracciones como:
a c ad bc
− = − ( Amplificando para igualar denominadores )
b d bd bd
luego
a c ad − bd
− = ( Aplicando la relación fundamental en la resta ) (*)
b d bd
2 1
Por ejemplo, obtener el resultado de −
5 6
2 1 2 ⋅ 6 1 ⋅ 5 12 5
− = − = − ( Amplificando cada fracción para igualar denominadores )
5 6 5 ⋅ 6 6 ⋅ 5 30 30
luego
12 5 12 − 5 7
− = = ( Aplicando la relación fundamental en la resta )
30 30 30 30

3. 1. Determinar el resultado de las siguientes restas de fracciones utilizando la definición
general. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según
−a a a
corresponda. (Si el resultado es negativo, recuerda que = = − )
b −b b
4 1 16 12 3 9 51
a. − = e. − = i. − − =
5 6 7 6 7 2 14
5 8 1 3 1 1 7 7
b. − − = f. 5 − − = j. − − − =
4 3 3 4 2 6 12 4
4 8 3 4  1 2 8 −6  10 −8 
c. − − = g. − −  = k. − − − −  =
5 50 2 5  10 5  3 9  15 6 
3 11 −5 9 5 −9 1 3 −7
d. − − = h. − −4= l. − − − =
7 42 84 4 36 4 3 24 12
2. Determina el resultado de las siguientes restas de fracciones utilizando el mínimo común
denominador. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta,
según corresponda.
3 5 −3 12 2 −6 −1
a. − = e. − = i. − − =
10 10 5 6 4 8 6
9 −1 5 5 −1 3 −2
b. − − = f. 6 − − = j. −4− =
12 8 3 6 4 14 7
1 −3 5 −2  5 −2 −5   3 1   7 −1 
c. −3 − − − = g. − − −  = k.  −  −  −  =
6 4 8 5  6 5 30   8 6   24 12 
 1  3 1  7  1 6 1 4
d.  −  −  − = h.  −6 −  − − − =
 4  5 40   8  2 4 2 5
3. Determinar el valor de los siguientes ejercicios combinados de sumas y restas. Utiliza el
método que más te acomode y expresa el resultado como fracción mixta en caso que
corresponda.
5 3 1 −2 5 3 1
a. − + + = e. − + 
4 4 4 4 4 4 4
1 2 5  4   2 
b. 1 + − − = f.  − 5  −  − 10  =
6 8 12  25   50 
 25 5  6  25 5   9 1 
c.  + − = g.  + − +  =
 24 12  5  24 12   6 12 
−5 8 15 −4 1 2 −1    5  5
d. − + +5− = h.  −  −   −  − 2  +  =
60 60 30 15 13  13 2    26  2

4. III. Multiplicación
Para multiplicar dos fracciones se opera como sigue:
a c a ⋅ c ac
⋅ = = (* )
b d b ⋅ d bd
Observa que siempre se tiene que a ⋅ b = , lo que te servirá cuando estudiemos lenguaje algebraico.
ab
También debes tener en cuenta que a ⋅1 = 1 ⋅ a = a
3 −5
Por ejemplo, al obtener el resultado de ⋅ se tiene
4 8
3 −5 3 ⋅ ( −5 ) −15
⋅= =
4 8 4 ⋅8 32
Una observación importante en la operación multiplicación es considerar la simplificación antes de operar. Por
ejemplo, si se tiene
a c b e d a d acbedad a a b c d d e a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . = = = ( Ordenando y Simplificando )
b d c d a d e bdcdade a b c d dde d
Conviene realizar
a c b e d a d a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . = (Simplificando antes de operar )
b d c d a d e d
5 3 5 7 4 3 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .
Por ejemplo, multipliquemos las fracciones
6 4 3 8 5 7 3
5 3 7 9 4 3 5 9 ⋅ 5 3 ⋅ 3 ⋅ 5 15
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . = ( Descomponiendo en factores primos )
6 4 3 8 5 7 3 6 ⋅ 8 2 ⋅ 3 ⋅ 8 16
1. Determinar el resultado de las siguientes multiplicaciones de fracciones. Exprese el
resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.
a
(Recuerda que a = )
1
1 8 6 −6 4 −3 1
a. ⋅ = d. ⋅ = g. ⋅ ⋅ =
5 6 12 8 7 4 2
−8 3 1 1 −12 5  7 1
b. ⋅ ⋅ = e. 8 ⋅ ⋅ = h. ⋅ − ⋅ =
5 12 4 4 13 4  12  5
20 8 3 3  −1  5   1 2  1 30  81
c. ⋅ ⋅ = f. ⋅ ⋅ −  = i. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
3 10 5 4  6  8 
  3 9  15 6  9
2. Determina el resultado de los siguientes ejercicios combinados. Exprese el resultado
como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.
−4 3 6 5 −3 7 1 7 −1 2  3 2 
a. ⋅ − = d. ⋅ − ⋅ = g. ⋅ ⋅ − +  =
5 4 8 4 5 6 2 3 4 4 5 3
9 1 5 1   5 4 1 3 1  2 2 1
b. − ⋅ −  = e.  6 −  ⋅ − = h. ⋅ + 2 − ⋅ −  =
5 2  7 14   6 3 3 5 6  7  3 5
1 −3 −2 −5  4  −1 2 −5   8  3 1  2  7 −1 
c. 2 ⋅ − ⋅ = f. ⋅ − + −  = i. ⋅ −  − ⋅ −  =
6 4 5 3  6  6 12 4  
  9  8 6  3  24 12 

5. IV. División
Para dividir dos fracciones se opera como sigue:
a c a ⋅ d ad
÷ = =
b d b ⋅ c bc
Debes saber que la división de fracciones, se escribe como sigue:
a
a c b ad
÷ = =
b d c bc
d
5 6 5 ⋅ 7 35 11
Por ejemplo, ÷ = = = 1
4 7 4 ⋅ 6 24 24
1. Determinar el resultado de las siguientes divisiones de fracciones. Exprese el resultado
como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.
2 1 7 2 4 −3 1
a. ÷ = d. ÷ = g. ⋅ ⋅ =
7 6 13 26 7 4 2
−6 3 1 6 8 −30 −8 5 −21
b. ÷ ÷ = e. ÷ ÷ = h. ÷ ÷ =
8 8 3 15 12 9 9 18 3
3 1 5  2  6  7 1  4 3
c. 5 ÷ ÷ = f. ÷ ÷−  = i. ÷ ÷ ÷  =
10 5 4  12  12  
  14 2  8 9 
Operaciones combinadas
Para realizar operaciones combinadas, recuerda que existe una prioridad en las operaciones:
-Paréntesis – Potencias –Multiplicación -División - Adición y sustracción de izquierda a derecha
También debes recordar que para eliminar paréntesis se opera de adentro hacia afuera y cuando hay un signo
negativo delante de un paréntesis, el paréntesis se elimina cambiando los signos interiores
5 6  3 7 4  1 1 
Por ejemplo, determinar el resultado de ÷ − + ⋅ ⋅ − 
4 7  4 3 5  2 4 
 
5 6  3 7 4  1 1   35  3 28  2 − 1   35  3 28 1  35  3 7 
÷ −  + ⋅ ⋅  −  = − +   = − + ⋅  = − + 
4 7  4 3 5  2 4   24  4 15  4   24  4 15 4  24  4 15 
 
35  3 7  35 45 + 28 35 73 350 − 292 58 29
− +  = − = − = = =
24  4 15  24 60 24 60 240 240 120
1. Determinar el resultado de las siguientes operaciones combinadas. Exprese el resultado
como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.
2  1  1  3 4   −3  1 2  2  7 14   5 1 
a. −  + ÷ −   = d.  +  − ⋅ ÷  −  −  =
7  5  2  5 3  
  5  12 24  3  2 1   3 2 
7 1  12  −5 −3 1  2 1  1
b. − 3− = e. + ⋅  − − =
2 2  10 
  8 4 23 4 4
 −6 3  1  4 1  5 20  4 8  2  3 5 
c.  ÷  +  −  + = f. ÷ 1 + −  +  −  =
 8 8  3  6 2   6 15  3 9  3  2 4 

6. Fracciones compuestas
El determinar el valor de una fracción compuesta, significa aplicar las operaciones necesarias para que esta
fracción se convierta en una fracción simple.
1
1+ 5
Por ejemplo, determinar el valor a que equivale la fracción compuesta 4
1
2−
2
1−
3
1 21 5 + 21 26 26 26
1+ 5 1+
4 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = − 26
1 1 1 1 2 − 3 −1 5
2− 2− 2−
2 3− 2 1
1− 2− 1
3 3 3 1
3
1. Determinar el resultado de las siguientes fracciones compuestas. Exprese el resultado
como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.
5 6 2 2
+ 4−
a. 4 = c. 4 5 = e. 3=
4 −1 1 3
1−
5 5
4
3+
5 1−
1 1 1
1+ 1+ 2+
b. 2= d. 3 = f.
4 =
5 4 1
5− 1+
5 5+ 3
1
1−
4

7. Taller de evaluación
5
1. 2+ +3=
6
5 10 25 30
a. 5 b. c. d.
6 6 6 6
1 1 1 4 1 
2.  2 − 3 ÷  4 ⋅ 3 − 2  =
   
4 4
a. −1 b. − c. 1 d.
5 5
5
3. 7− =
1
3−
2
4
a. 6 b. 5 c. 4 d.
5
4. Si el precio de un artículo que es $ 800.000 se aumenta en su cuarta parte, y el nuevo precio se
disminuye en su cuarta parte, el precio final es
a. $750.000 b. $450.000 c. $800.000 d. $600.000
7 4
5. Tres amigos compraron pescado; Alicia compró los de un kilo, Carlos los de un kilo y Mario los
9 5
9
de un kilo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?
11
I) Alicia compró más pescado que Carlos.
II) Mario compró más pescado que Carlos.
III) Alicia compró menos pescado que Mario.
a. Solo I b. Solo II c. Solo III d. Solo II y III
1 3
6. Un tambor contiene 40 litros que equivalen a de su capacidad. Entonces, para llegar a los de
4 10
su capacidad hay que agregar
a. 6 litros b. 8 litros c. 48 litros d. 120 litros
70
7. Si los de una cantidad corresponden a 35.000.¿Cuál es la cantidad?
100
a. 50.000 b. 50.500 c. 40.000 d. 40.500
1 2 3 4 5 6 7
a
b
c
d