Este documento presenta una serie de ejercicios de números reales, incluyendo la clasificación de números como naturales, enteros, racionales o reales; la expresión de radicales como potencias fraccionarias; el uso de intervalos para expresar desigualdades; y operaciones con radica

1. Ejercicios de números reales
Ejercicio nº 1.-
Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:
3
−3 2, 7 4 7 3 9 1, 020020002. ..
7
Ejercicio nº 2.-
Considera los siguientes números:
3 2
− 1, 5 3
8 2 3 2 2, 131331333. ..
2 3
Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales.
Ejercicio nº 3.-
Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales y reales:
23 8
−9 15 3 5 2, 3 2, 838383...
13 4
Ejercicio nº 4.-
Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:
 3 14
5, 7 − 2, 35 −4 4 3 8
8 7
Ejercicio nº 5.-
Di cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:
−1 10
2, 87 − 15 16 3 2 2, 333...
3 5
Potencias de exponente fraccionario
Ejercicio nº 1.-
Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:
3
a5
a) 6
x4 ⋅3 x2 b)
a
Ejercicio nº 2.-
Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
a) 3 a ⋅ a7 b) 5
23 : 2
Ejercicio nº 3.-
Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los radicales en forma de potencia de exponente fraccionario:
4 53
a) 5
x2 ⋅ 3 x2 b)
5

2. Ejercicio nº 4.-
Simplifica, expresando previamente los radicales en forma de potencia:
a3
a) 4 3 ⋅ 34 b)
3
a2
Ejercicio nº 5.-
Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica:
a) 3
a2 ⋅ a b) 4 x5 : x
Intervalos y entornos:
Ejercicio nº 1.-
Expresa en forma de intervalo los números que verifican:
x − 4 ≤ 2
Ejercicio nº 2.-
Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta
desigualdad:
x − 5 ≤ 2
Ejercicio nº 3.-
Expresa, mediante intervalos, los valores de x para los que se cumple la siguiente desigualdad:
x + 1≤ 4
Ejercicio nº 4.-
Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen:
x + 2 ≥ 3
Ejercicio nº 5.-
Escribe en forma de intervalo los valores de x que cumplen la siguiente desigualdad:
x − 2≥ 5
Operaciones con radicales
Ejercicio nº 1.-
Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones:
84 21 6+ 5
a) b) 80 − 3 45 c)
45 15 6− 5

3. Ejercicio nº 2.-
Halla y simplifica al máximo:
30 12 2
a) b) 147 − 2 243 c)
45 10 2 2 +1
Ejercicio nº 3.-
Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
45 6 +3 3
a) 18 ⋅ b) 98 − 2 18 c)
10 4 3
Ejercicio nº 4.-
Efectúa y simplifica:
2 3 2+ 2
a) b) 48 − 2 12 c)
27 2 3+ 2
Ejercicio nº 5.-
Calcula y simplifica:
5 343 3+ 2
a) b) 45 − 3 125 c)
7 125 3− 2
Notación científica
Ejercicio nº 1.-
Los valores de A, B y C son:
A = 2, 28 ⋅ 107 B = 2 ⋅ 10 −4 C = 4, 3 ⋅ 105
A
Calcula : + A ⋅C
B
Ejercicio nº 2.-
Calcula y expresa el resultado en notación científica:
3, 7 ⋅ 10 12 − 4, 2 ⋅ 10 11 + 28 ⋅ 10 10
1, 2 ⋅ 10 − 4
Ejercicio nº 3.-
a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000
por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.
b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por
término medio? Exprésalo en kilómetros.
Ejercicio nº 4.-
Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120
ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

4. Ejercicio nº 5.-
Efectúa y expresa el resultado en notación científica:
( 2, 4 ⋅ 10 )
−5 2
+ 3, 1 ⋅ 10 −8
2 ⋅ 10 −12
Uso de la calculadora
Ejercicio nº 1.-
Halla con la calculadora:
a) √2197
3
b) (4,31 · 108 ) ∶ (3,25 · 10−4 ) + 7 · 1011
Ejercicio nº 2.-
Opera con la calculadora:
a) 6 15 625 ( )(
b) 3, 28 ⋅ 109 + 4, 25 ⋅ 1015 : 2, 7 ⋅ 103 )
Ejercicio nº 3.-
Utilizando la calculadora, halla:
3, 4 ⋅ 10 −7 + 2, 8 ⋅ 10 −6
a) 5 16 807 b)
4, 2 ⋅ 10 − 4
Ejercicio nº 4.-
Halla, utilizando la calculadora, el valor de:
5, 25 ⋅ 109 + 2, 32 ⋅ 108
a) 7 16 384 b)
2, 5 ⋅ 10 −12
Ejercicio nº 5.-
Obtén el valor de las siguientes expresiones, con ayuda de la calculadora:
a) 4 20 736 b) 9, 2 ⋅ 10 −12 + 3, 8 ⋅ 10 −15 − 2, 64 ⋅ 10 −14 c) log 5 27 + ln 32

5. Soluciones Ejercicios de números reales
Ejercicio nº 1.-
Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:
3
−3 2, 7 4 7 3 9 1, 020020002. ..
7
Solución:
• Naturales: 4
• Enteros: − 3; 4
3
• Racionales: − 3; 2, 7; ; 4
7
• Reales: Todos
Ejercicio nº 2.-
Considera los siguientes números:
3 2
− 1, 5 3
8 2 3 2 2, 131331333. ..
2 3
Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales.
Solución:
• Naturales: 3 8
• Enteros: 3 8
3 2
• Racionales: − ; ; 1, 5; 3 8
2 3
• Reales: Todos
Ejercicio nº 3.-
Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales y reales:
23 8
−9 15 3 5 2, 3 2, 838383...
13 4
Solución:
8
• Naturales:
4
8
• Enteros: ; −9
4
23 8
• Racionales: ; ; − 9; 2, 3; 2, 838383 ...
13 4
• Reales: Todos
Ejercicio nº 4.-
Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:
 3 14
5, 7 − 2, 35 −4 4 3 8
8 7

6. Solución:
14
• Naturales:
7
14
• Enteros: − 4;
7
 3 14
• Racionales: 5, 7; − 2, 35; ; − 4;
8 7
• Reales: Todos
Ejercicio nº 5.-
Di cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:
−1 10
2, 87 − 15 16 3 2 2, 333...
3 5
Solución:
10
• Naturales: 16 ;
5
10
• Enteros: − 15; 16 ;
5
−1 10
• Racionales: 2, 87; − 15; 16 ; 2, 333...; ;
3 5
• Reales: Todos
Potencias de exponente fraccionario
Ejercicio nº 1.-
Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:
3
a5
a) 6
x4 ⋅3 x2 b)
a
Solución:
a) 6
x4 ⋅3 x2 = x4 6 ⋅ x2 3 = x2 3 ⋅ x2 3 = x4 3 = 3 x4 = x 3 x
3
a5 a5 3
b) = = a7 6 = 6 a7 = a 6 a
a a1 2
Ejercicio nº 2.-
Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
a) 3 a ⋅ a7 b) 5
23 : 2
Solución:
a) 3 a ⋅ a 7 = a 1 3 ⋅ a 7 2 = a 23 6 = a 3 6 a 5
b) 5
23 ÷ 2 = 2 3 5 ÷ 21 2 = 21 10 = 10 2

7. Ejercicio nº 3.-
Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los radicales en forma de potencia de exponente fraccionario:
4 53
a) 5
x2 ⋅ 3 x2 b)
5
Solución:
a) 5
x 2 ⋅ 3 x 2 = x 2 5 ⋅ x 2 3 = x 16 15 = 15 x 16 = x 15 x
4
53 53 4
b) = = 51 4 = 4 5
5 51 2
Ejercicio nº 4.-
Simplifica, expresando previamente los radicales en forma de potencia:
a3
a) 4 3 ⋅ 34 b)
3
a2
Solución:
a) 4 3 ⋅ 3 4 = 31 4 ⋅ 3 4 2 = 31 4 ⋅ 3 2 = 3 9 4 = 3 2 4 3 = 9 4 3
a3 a3 2
b) = = a5 6 = 6 a5
3
a2 a2 3
Ejercicio nº 5.-
Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica:
a) 3
a2 ⋅ a b) 4 x5 : x
Solución:
a) 3
a 2 ⋅ a = a 2 3 ⋅ a1 2 = a 7 6 = 6 a 7 = a 6 a
b) 4
x5 : x = x 5 4 : x1 2 = x 3 4 = 4 x 3
Intervalos y entornos:
Ejercicio nº 1.-
Expresa en forma de intervalo los números que verifican:
x − 4 ≤ 2
Solución:
Es el intervalo [2, 6].

8. Ejercicio nº 2.-
Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta
desigualdad:
x − 5 ≤ 2
Solución:
Son los números del intervalo [3, 7].
Ejercicio nº 3.-
Expresa, mediante intervalos, los valores de x para los que se cumple la siguiente desigualdad:
x + 1≤ 4
Solución:
Es el intervalo [−5, 3].
Ejercicio nº 4.-
Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen:
x + 2 ≥ 3
Solución:
Son los números de (−∞, −5 ] ∪ [ 1, +∞).
Ejercicio nº 5.-
Escribe en forma de intervalo los valores de x que cumplen la siguiente desigualdad:
x − 2≥ 5
Solución:
Son los números de (−∞, −3] ∪ [ 7, +∞).

9. Operaciones con radicales
Ejercicio nº 1.-
Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones:
84 21 6+ 5
a) b) 80 − 3 45 c)
45 15 6− 5
Solución:
84 21 84 ⋅ 21 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 7 22 ⋅ 72 2⋅7 1 14 1 14 3 14 3
a) ⋅ = = = = ⋅ = . = ⋅ =
45 15 45 ⋅ 15 32 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 52 5 3 5 3 5 3 15
b) 80 − 3 45 = 2 4 ⋅ 5 − 3 3 2 ⋅ 5 = 4 5 − 9 5 = −5 5
c)
6+ 5
=
( 6 + 5 )( 6+ 5)= 6+5+2 30
=
11 + 2 30
= 11 + 2 30
6− 5
( 6 − 5 )( 6+ 5)
6−5 1
Ejercicio nº 2.-
Halla y simplifica al máximo:
30 12 2
a) b) 147 − 2 243 c)
45 10 2 2 +1
Solución:
30 12 30 ⋅ 12 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 22 ⋅ 3 22 2 2 5
a) = = = = =
45 10 45 ⋅ 10 32 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 5 5 5
b) 147 − 2 243 = 3 ⋅ 7 2 − 2 3 5 = 7 3 − 18 3 = −11 3
c)
2
=
(
2 2 2 −1 ) =
4− 2
=
4− 2
2 2 +1
(2 )(
2 +1 2 2 −1 ) 8 −1 7
Ejercicio nº 3.-
Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
45 6 +3 3
a) 18 ⋅ b) 98 − 2 18 c)
10 4 3
Solución:
45 18 ⋅ 45 32 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 5
a) 18 ⋅ = = = 34 = 32 = 9
10 10 2⋅5

10. b) 98 − 2 18 = 2 ⋅ 72 − 2 2 ⋅ 32 = 7 2 − 6 2 = 2
c)
6 +3 3
=
( 6 +3 3 ) 3
=
18 + 9
=
2 ⋅ 32 + 9
=
4 3 4 3⋅ 3 4⋅3 12
3 2 +9 3 2 9 2 3 2 +3
= = + = + =
12 12 12 4 4 4
Ejercicio nº 4.-
Efectúa y simplifica:
2 3 2+ 2
a) b) 48 − 2 12 c)
27 2 3+ 2
Solución:
2 3 2⋅3 3 1 1
a) = = = =
27 2 27 ⋅ 2 33 3 2
3
b) 48 − 2 12 = 24 ⋅ 3 − 2 22 ⋅ 3 = 4 3 − 4 3 = 0
c)
2+ 2
=
( 2 + 2 )(3 − 2 ) = 6 − 2 2 +3 2 −2
=
4+ 2
3+ 2
(3 + 2 )( 3 − 2 ) 9−2 7
Ejercicio nº 5.-
Calcula y simplifica:
5 343 3+ 2
a) b) 45 − 3 125 c)
7 125 3− 2
Solución:
5 343 5 ⋅ 343 5 ⋅ 73 72 7
a) = = = =
7 125 7 ⋅ 125 7 ⋅ 53 5 2
5
b) 45 − 3 125 = 3 2 ⋅ 5 − 3 5 3 = 3 5 − 15 5 = −12 5
c)
3+ 2
=
( 3 + 2 )( 3 + 2 ) = 9 + 2 + 6 2
=
11 + 6 2
3− 2
( 3 − 2 )( 3 + 2 ) 9 − 2 7
Notación científica
Ejercicio nº 1.-
Los valores de A, B y C son:
A = 2, 28 ⋅ 107 B = 2 ⋅ 10 −4 C = 4, 3 ⋅ 105
A
Calcula : + A ⋅C
B

11. Solución:
A
B
+ A ⋅C =
2, 28 ⋅ 10 7
2 ⋅ 10 − 4
(
+ 2, 28 ⋅ 10 7 ⋅ 4, 3 ⋅ 10 5 = )( )
= 1,14 ⋅ 1011 + 9, 804 ⋅ 1012 = 1,14 ⋅ 1011 + 98, 04 ⋅ 1011 = 99,18 ⋅ 1011 = 9, 918 ⋅ 1012
Ejercicio nº 2.-
Calcula y expresa el resultado en notación científica:
3, 7 ⋅ 10 12 − 4, 2 ⋅ 10 11 + 28 ⋅ 10 10
1, 2 ⋅ 10 − 4
Solución:
3, 7 ⋅ 1012 − 4, 2 ⋅ 1011 + 28 ⋅ 1010 370 ⋅ 1010 − 42 ⋅ 1010 + 28 ⋅ 1010
= =
1, 2 ⋅ 10 − 4 1, 2 ⋅ 10 − 4
=
( 370 − 42 + 28) ⋅ 1010 =
356 ⋅ 1010
= 296, 67 ⋅ 1014 = 2, 9667 ⋅ 1016 ≈ 2, 97 ⋅ 1016
−4 −4
1, 2 ⋅ 10 1, 2 ⋅ 10
Ejercicio nº 3.-
a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000
por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.
b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por
término medio? Exprésalo en kilómetros.
Solución:
a) 5 l = 5dm = 5 · 10 mm de sangre
3 6 3
4,5 · 10 · 5 · 10 = 2,25 · 10 número de glóbulos rojos
6 6 13
· 8 · 10−3 = 1,8 · 10 mm = 180 000 km
13 11
b) 2,25 · 10
Ejercicio nº 4.-
Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120
ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?
Solución:
y 80 mm = 8 · 10−2 cm
8 3 3 3
10 bacterias/cm
−2
120 · 8 · 10 = 9,6 cm en una caja.
3
8
9,6 · 10 número de bacterias en una caja.
Ejercicio nº 5.-
Efectúa y expresa el resultado en notación científica:
( 2, 4 ⋅ 10 )−5 2
+ 3, 1 ⋅ 10 −8
2 ⋅ 10 −12

12. Solución:
( 2, 4 ⋅ 10 )
−5 2
+ 3,1⋅ 10 −8
=
5, 76 ⋅ 10 −10 + 3,1⋅ 10 −8
=
−12
2 ⋅ 10 2 ⋅ 10 −12
5, 76 ⋅ 10 −10 + 310 ⋅ 10 −10 315, 76 ⋅ 10 −10
= −12
= −12
= 157, 88 ⋅ 10 2 =
2 ⋅ 10 2 ⋅ 10
= 1, 5788 ⋅ 10 4 ≈ 1, 58 ⋅ 10 4
Uso de la calculadora
Ejercicio nº 1.-
Halla con la calculadora:
a) √2197
3
b) (4,31 · 108 ) ∶ (3,25 · 10−4 ) + 7 · 1011
Solución:
a) 2 197 SHIFT [x ] 3 = 13
1/y
Por tanto:
3 2 197 = 13
b) 4.31 EXP 8 ÷ 3.25 EXP 4 +/- + 7 EXP 11 = 2.026153846
12
por tanto
( 4,31 · 10 ) : ( 3,25 · 10−4 ) + 7 · 10 = 2,03 · 10
8 11 12
Ejercicio nº 2.-
Opera con la calculadora:
a) 6 15 625 ( )(
b) 3, 28 ⋅ 109 + 4, 25 ⋅ 1015 : 2, 7 ⋅ 103 )
Solución:
a) 15 625 SHIFT [x ] 6 = 5
1/y
Por tanto:
15 625 = 5
b) ( 3.28 EXP 9 + 4.25 EXP 15 ) ÷ 2.7 EXP 3 = 1.574075289
12
( 3,28 10 + 4,25 · 10 ) : ( 2,7 · 10 ) = 1,57 ·10
9 15 3 12
por tanto
Ejercicio nº 3.-
Utilizando la calculadora, halla:
3, 4 ⋅ 10 −7 + 2, 8 ⋅ 10 −6
a) 5 16 807 b)
4, 2 ⋅ 10 − 4

13. Solución:
a) 16 807 SHIFT [x ] 5 = 7
1/y
Por tanto:
5 16 807 = 7
b) ( 3.4 EXP 7 +/- + 2.8 EXP 6 +/- ) ÷ 4.2 EXP 4 +/- = 7.476190476−03
Por tanto:
3, 4 ⋅ 10 −7 + 2, 8 ⋅ 10 −6
−4
= 7, 48 ⋅ 10 − 3
4, 2 ⋅ 10
Ejercicio nº 4.-
Halla, utilizando la calculadora, el valor de:
5, 25 ⋅ 109 + 2, 32 ⋅ 108
a) 16 384
7 b)
2, 5 ⋅ 10 −12
Solución:
a) 16 384 SHIFT [x ] 7 = 4
1/y
Por tanto:
7 16 384 = 4
b) (5.25 EXP 9 + 2.32 EXP 8) ÷ 2.5 EXP 12 +/− = 2.1928
21
Por tanto:
5, 25 ⋅ 10 9 + 2, 32 ⋅ 10 8
−12
= 2,19 ⋅ 10 21
2, 5 ⋅ 10
Ejercicio nº 5.-
Obtén el valor de las siguientes expresiones, con ayuda de la calculadora:
a) 4 20 736 b) 9, 2 ⋅ 10 −12 + 3, 8 ⋅ 10 −15 − 2, 64 ⋅ 10 −14 c) log 5 27 + ln 32
Solución:
a) 20 736 SHIFT [x ] 4 = 12
1/y
Por tanto:
4 20 736 = 12
b) 9.2 EXP 12 +/- + 3.8 EXP 15 +/- − 2.64 EXP 14 +/- = 9.1774−12
por tanto 9,2 · 10−12 + 3,8 · 10−15 −2,64 · 10−14 = 9,18 · 10−12