El documento presenta un modelo matemático para describir el vaciado de un tanque cilíndrico. Inicialmente se llena el tanque con agua y se deja vaciar a través de un orificio en la base. Se toman medidas del nivel del agua en función del tiempo y se resuelve la ecuación diferencial resultante usando Matlab, obteniendo la ecuación h(t)=0.0367t^2 - 1.4477t + 13.0094. Este modelo permite predecir el nivel del agua en cualquier momento y tiene un error menor que otros mé

1. UNIVERSIDAD CONTINENTAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE
INGENIERÍAS
Modelo matemático de vaciado de tanques
Grupo 5:
● Franco Alexis Luque Quispe
● Uriel anchapuri Jorge
● Quispe Cruz Reinaldo
● Rodrigo Ramírez Llacsa
● Yonel Bobadilla Triveño
● Fabián ramos Apaza
Tutor:
Nina Ortiz Dugan Paul
AREQUIPA – PERÚ
2022

2. Modelo matemático de vaciado de tanques
Idea general:
Dinámica de una variable dependiente en relación a su variable independiente.
Pregunta esencial:
¿Cómo obtener el modelo matemático que describe la dinámica entre las dos variables?
1. Introducción:
Nuestro modelo matemático pretende observar, analizar y determinar los valores
ideales de variables en los diferentes tipos de procesos de vaciados de tanques, que
podemos observar en las grandes industrias. El modelo que queremos representar se
apoya en un modelo general, lo cual facilita la comprensión y relación de cómo varía
la altura del líquido a través del tanque. Así mismo, es importante saber la forma
geométrica del recipiente porque determina el comportamiento físico del agua.
● Ejemplo de tanques industriales:
● Diagrama esquemático del modelo de vaciado de tanques.

3. Si el tanque es tal que el volumen del agua en cualquier momento t se expresa como V(t) =
Aw h, donde Aw es el área constante de la superficie superior del agua.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐴𝑤
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −
𝐴0
𝐴𝑤
√2𝑔ℎ
2. Solución e Ideación:
Nuestra solución para este modelo es resolver la ecuación diferencial y relacionar la salida
del agua (Ao) con la altura en la que se encuentra en el agujero de nuestro envase. Por lo
cual, llenaremos inicialmente con agua el recipiente con un agujero, el cual regula el paso
del líquido en su salida. Una vez resuelta la ecuación, será nuestro modelo con respecto al
tiempo que nos guiará a sacar muestras matemáticas para saber en cuánto tiempo se
vaciará hasta cierto punto el tanque. Entonces, para este proyecto utilizaremos los
siguientes materiales:
1. Un recipiente cilíndrico dispuesto en forma vertical………...S/. 10.00
2. Un cronómetro…………………………………………………... .S/. 0. 00 (usamos
nuestro celular)
3. Un recipiente vacío (en donde caerá el agua)...........................S/. 0.00

4. 4. Un líquido (agua)...........................................................................S/. 0.00
3. Modelo propuesto
Se desea modelar el vaciado de un tanque. El cual es llenado inicialmente de un
líquido, que para nuestro caso es agua. El tanque cuenta con un orificio en la
parte inferior, ubicado en el fondo, el cual regula el paso del líquido en su salida.
En una fase inicial, el tanque se encuentra lleno a una altura de 13 cm.
4. Toma de datos
4.1 Prototipo
4.2 Datos obtenidos:

5. 4.3 Ecuación obtenida h(t) mediante un procedimiento matemático:

6. 4.5 Ecuación obtenida h(t):
h(t) = 𝑎𝑡2
+ 𝑏𝑡 + 𝑐
13 = c
12 = 0.3136a + 0.56b + c
11.5 = 1.9321a +1.39b + c
11 = 2.1025a + 1.45b + c
10 = 5.2441a + 2.29b + c
9 = 8.1796a + 2.86b + c
8.5 = 15.3664a + 3.92b + c
8 = 19.5364a + 4.42b + c
7 = 22.09a + 4.7b + c
6 = 34.81a + 5.9b + c
5 = 43.0336a + 6.56b + c
4.5 = 44.89a + 6.7b + c
4 = 59.1361a + 7.69b + c
3 = 82.0836a + 9.06b + c
2 = 105.6784a + 10.28b+ c
1 = 153.76a + 12.4b + c
0 = 198.2464a + 14.08b + c
- Matlab (valor aproximado):
(1 0 0 )

7. (1 0.56 0.3136 )
(1 1.39 1.9321 )
(1 1.45 2.1025 )
(1 2.29 5.2441 )
(1 2.86 8.1796 )
(1 3.92 15.3664)
(1 4.42 19.5364)
(1 4.7 22.09 )
(1 5.9 34.81 )
(1 6.56 43.0336)
(1 6.7 44.89 )
(1 7.69 59.1361)
(1 9.06 82.0836)
(1 10.28 105.678)
(1 12.4 153.76 )
(1 14.08 198.2464)
Por mínimos cuadrados
- Matlab
Los valores de a, b y c son:
a = 0,0367
b = - 1,4477

8. c = 13,0994
Estos valores coinciden con excel:
4.6 Margen de error
● Margen de error de la ecuación h(t) obtenida en el matlab: h(t)=0,0367(t)^2 -
1,4477(t) + 13,0094
t h(experimental h(aproximado) t h(experimental h(aproximado)
0,56 12 12,21019712 0,56 12 11,91032
1,39 11,5 11,06800507 1,39 11,5 10,3966075
1,45 11 10,98739675 1,45 11 10,2911875
2,29 10 9,88662547 2,29 10 8,8720075
2,86 9 9,16916932 2,86 9 7,96927
3,92 8,5 7,89836288 3,92 8,5 6,42008
4,42 8 7,32755188 4,42 8 5,74783
4,7 7 7,015913 4,7 7 5,38775
5,9 6 5,745497 5,9 6 3,97775
6,56 5 5,09182112 6,56 5 3,29432
6,7 4,5 4,957273 6,7 4,5 3,15775
7,69 4 4,04688187 7,69 4 2,2759075
9,06 3 2,90570612 9,06 3 1,29807
10,28 2 2,00544128 10,28 2 0,66428
12,4 1 0,700912 12,4 1 0,094
14,08 0 -0,09857312 14,08 0 0,12088

9. ● Margen de error de la ecuación h(t) obtenida mediante el procedimiento
matemático: h(t)=0,075(t)^2 - 1,97(t) + 12,99
t h(experimental) h(aproximado)
0,56 12 12,21019712
1,39 11,5 11,06800507
1,45 11 10,98739675
2,29 10 9,88662547
2,86 9 9,16916932
3,92 8,5 7,89836288
4,42 8 7,32755188
4,7 7 7,015913
5,9 6 5,745497
6,56 5 5,09182112
6,7 4,5 4,957273
7,69 4 4,04688187
9,06 3 2,90570612
10,28 2 2,00544128
12,4 1 0,700912
14,08 0 -0,09857312
Error (PM)
1 0,08968 8,97%
2 1,1033925 110,34%
3 0,7088125 70,88%
4 1,1279925 112,80%
5 1,03073 103,07%
6 2,07992 207,99%
7 2,25217 225,22%
8 1,61225 161,23%
9 2,02225 202,23%
10 1,70568 170,57%
11 1,34225 134,23%
12 1,7240925 172,41%
13 1,70193 170,19%
14 1,33572 133,57%
15 0,906 90,60%

10. 16 -0,12088 -12,09%
- Nos damos cuenta que con el programa matlab hay un mínimo error,
en comparación con la ecuación general calculada.
5 Conclusiones:
● La ecuación obtenida h(t) mediante un software matemático como el MatLab,
tiene un menor margen de error.
● Utilizar diversas herramientas como el Matlab, Excel y otros. Ayuda en la
obtención de los valores a, b y c.
● Con este tipo de modelo podemos calcular cualquier ejemplo similar y también
se puede modificar el envase, sólo se tendría que cambiar el área.
● Por otro lado, se recomienda grabar la simulación para poder obtener los datos
más exactos.