Algebra(3) 5° 1 b

39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to. Año Secundaria ÁLGEBRA 1er. Año Secundaria
I. Objetivos Específicos:
1. Evita operaciones innecesarias sobre todo
multiplicaciones, ubicando directamente el
resultado en este caso el producto.
2. Consigue rapidez en la reducción de
expresiones cuyas formas aparentemente
son operativas.
3. Conoce artificios diversos para minimizar
el tiempo de resolución de los ejercicios.
4. Interpreta geométricamente
los productos notables.
5. Identifica los productos notables a partir
de los factores. Así como el
reconocimiento de los factores a partir del
producto.
II. Procedimientos:
A. Iniciales
El razonamiento deductivo y las
demostraciones matemáticas
Si las matemáticas tienen tanto prestigio
entre las demás ciencias, se debe al papel
especial que desempeña en las
matemáticas el razonamiento deductivo,
base de las demostraciones matemáticas.
Demostrar una propiedad es deducirla de
otras anteriormente demostradas. Este tipo
de razonamiento garantiza la verdad de la
conclusión si la información de la que se
parte (las premisas) es verdadera (o se
supone verdadera).
La “demostración matemática” tiene las
siguientes características :
- Se sabe ya la conclusión a la que se
quiere llegar.
- Inducción y deducción son inseparables
en matemáticas
- Es un concepto relativo que varía con el
tiempo.
Afirma Raymond Wilder (E.U.A. 1898):
“Lo que constituye una “demostración”
varía de una cultura a otra y de una época
a otra”.
Morris Kline, profesor de matemáticas de
la Universidad de New York, escribe: “La
típica actitud en el siglo XVIII era: ¿Para
qué preocuparse tanto por demostrar lo
evidente mediante abstrusos razonamiento,
cosas que nunca se pusieron en duda?
¿Para qué demostrar lo evidente mediante
lo menos evidente? Incluso la geometría
euclidiana fue criticada por presentar
demostraciones que no se consideraban
necesarias”
La primera “demostración” tal como se
entiende hoy en matemáticas parece haber
sido hecha por Tales de Mileto unos 600
años antes de nuestra era; él demostró que
“todo diámetro biseca a la circunferencia”.
¿Por qué esa necesidad de demostrar lo
que es evidente e incontrovertible?
Una razón es que ninguna ciencia exacta
puede basarse sistemáticamente en lo que
es “obvio” o “evidente”. Lo “obvio” es
siempre subjetivo, inestable y sospechoso,
casi nunca permite llegar a resultados
importantes y menos cuando la ciencia se
vuelve más y más abstracta.
La demostración pretende convencer a
todos los interlocutores, incluso a uno
mismo: también pretende, y eso es
importante en la docencia, aclarar y hacer
comprender mejor lo que se quiere
enseñar. Si la demostración no va a
facilitar la comprensión, es mejor
descartarla. Es lo que hicieron los
matemáticos chinos en el siglo XVII
cuando, a través de los misioneros jesuitas
descubrieron la geometría euclidiana:
adoptaron todo el contenido de la obra de
Euclides excepto las demostraciones, que
les parecieron demasiado verbosas y no
explicaban nunca cómo se habían
descubierto.
Otra particularidad de la demostración
matemática es que establece propiedades
que son verdaderas y válidas en todos los
casos, si se dan las mismas condiciones
iniciales. Una vez demostrado el teorema
de Pitágoras, por ejemplo, sabemos que es
verdadero para cualquier triángulo
rectángulo, con lados que tengan
milímetros o kilómetros de largo. La
generalización que produce la
demostración permite la aplicación de un
teorema dado a cualquier caso particular.
Hay otra razón que hace necesarias las
demostraciones matemáticas: La
geometría, por ejemplo, no es una
colección fortuita de verdades sobre
propiedades especiales de las figuras, es
también un “sistema axiomático” o
“deductivo” en el que cada teorema se
deduce de otro, demostrado previamente,
hasta llegar a un pequeño número de
“axiomas” o “postulados” que no pueden
ser demostrados y que hay que aceptar
como verdaderos.
Pruebas Geométricas
En cuanto se descubrió el conjunto de los
números irracionales, se observó que la
colección de las magnitudes geométricas
(por ejemplo los segmentos) era más
completa que el conjunto de los números
racionales, entonces se construyó una
herramienta matemática más amplia
denominada álgebra geométrica.
Los principales elementos del álgebra
geométrica fueron los segmentos de recta,
donde a partir de ellos se definieron las
operaciones de cálculo, por ejemplo, la
adición se interpretaba como la unión de
los segmentos. (En forma colineal uno a
continuación de otro), la sustracción como
la eliminación de una parte del segmento
minuendo igual al segmento sustraendo, la
multiplicación de segmentos originó la
aparición del sistema bidimensional (la
representación en el plano cartersiano), la
división resultaba posible sólo bajo la
condición de que la dimensión (tamaño del
segmento) dividendo era mayor que la
dimensión del divisor.
Pruebas geométricas de algunas
identidades algebraicas:
El álgebra geométrica también interpretaba
las identidades algebraicas. Los ejemplos
siguientes, conocidos desde tiempos
inmemoriales, muestran claramente el uso
de áreas de figuras geométricas para
“demostrar” identidades algebraicas.
Trinomio Cuadrado Perfecto
= + + +
ba
b
a
B C
A D
b2
a2
ab
ab a2 ab ab b2
Area de ABCD= (a+b)(a+b)=a2
+ab+ab+b2
( ) 222 bab2aba ++=+
b a - b
a
a - b
b
b
a
(a-b)
2
b2
(a - b)2
= a2
- b(a - b) - b(a - b) - b2
( ) 222 bab2aba +−=−
Diferencia de cuadrados
a
a
b
b
a-b
a-b =
a b
a-b
a + b
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
MULTIPLIACION

( ) ( )ba.baba 22 −+=−
Desarrollo de un Trinomio al
cuadrado:
ab
ac bc
ab ac
bc
a
2
b
2
c2
a b c
a
b
c
bc2ac2ab2cba)cba( 2222 +++++=++
B. Desarrollo
En la multiplicación algebraica
encontramos los factores que la
constituyen con una característica especial
que hará posible el conocimiento
inmediato del producto.
Dicha multiplicación notable generará
como resultado un producto notable,
generándose de esa manera las identidades
algebraicas a mencionarse en la presente
sesión:
Es importante que el alumno los estudie y
los reconozca de inmediato para su
posterior aplicación no sólo en el nivel
secundario, sino también cuando esté
cursando estudios superiores.
Se denomina Producto al resultado de una
multiplicación y llamamos Notable a todo
aquello que merece una nota o atención, es
decir a aquello importante que se da a
notar.
Sin lugar a dudas los Productos Notables
son importantes, cuyos resultados se deben
conocer sin necesidad de efectuar
operaciones.
Las multiplicaciones notables generan
productos notables y la relación de ambos
recibe el nombre de identidades
algebraicas o equivalencias algebraicas ya
que se cumplen para cualquier valor que se
dé a la variables.
Los principales productos notables son:
I. Trinomio cuadrado perfecto:
El desarrollo de un binomio al cuadrado
nos da el cuadrado del primer término,
más el doble del primer término por el
segundo término, más este elevado al
cuadrado.
( )
222 bab2aba ++≡+
( ) 222
bab2aba +−≡−
Consecuencias:
a2
+ 2a + 1 ≡ (a + 1)2
a2
– 2a + 1 ≡ (a - 1)2
a2
+ b2
= (a+b)2
– 2ab
a2
+ b2
= (a-b)2
+ 2ab
Identidades de Legendre
(a+b)2
+ (a - b)2
≡ 2(a2
+ b2
)
(a+b)2
– (a-b)2
≡ 4ab
Consecuencias:
(a+b)4
- (a - b)4
= 8 ab(a2
+b2
)
2. Diferencia de cuadrados
El producto de dos binomios uno que
presenta la suma de 2 expresiones y el
otro la diferencia de las mismas
expresiones es el cuadrado de la
primera, menos la segunda al cuadrado.
(a+b)(a-b) = a2
– b2
(am
+ bn
) (am
– bn
) ≡ a2m
– b2n
Consecuencias :
x – y =
++
∈∈




 −




 + Ry;Rx;yxyy
1n1n
22
factoresn
4422 ba....baba)ba)(ba(
−−
−=



 +



 ++−
  
3. Desarrollo de un trinomio al
cuadrado
Al desarrollar un trinomio al cuadrado
se obtiene la suma de cuadrados de los
tres términos, más el doble de la suma
de los productos tomados de dos en dos.
(Productos binarios).
( ) bc2ac2ab2cbacba
2222 +++++≡++
Consecuencias:
( ) bc2.ac2.ab2cbacba 2222 +++=−+
( ) ( ) ( ) ( ) ( baabc2bcacabbcacab 2222
++++≡++
4. Multiplicación de binomios con un
término en común:
Al multiplicar dos binomios con un
término en común se obtiene: el común
al cuadrado, más el producto de la suma
de no comunes, más el producto de no
comunes, es decir:
(x+a)(x+b) ≡ ( ) abxbax 2
+++
Consecuencias:
( )( ) ( ) abxbaxbxax
2
−−+≡−+
( )( ) ( ) abxbaxbxax
2
++−≡−−
( ) abxbaxbxax
mm2mm
+++≡




 +




 +
5. Desarrollo de un binomio al cubo
Al desarrollar un binomio al cubo se
obtiene: el cubo del primer término,
más el producto del triple del primero al
PRODUCTO

cuadrado por el segundo, más el
producto del primero por el segundo al
cuadrado, más el cubo del segundo
término.
( )
32233 bab3ba3aba +++≡+
Consecuencias:
( ) 32233
bab3ba3aba −+−≡−
(a+b)3
≡ a3
+ b3
+ 3ab (a+b)
(a-b)3
≡ a3
– b3
– 3ab (a-b)
(a+b)3
+ (a-b)3
≡ 2a (a2
+3b2
)
6. Suma y diferencia de cubos
(a+b)(a2
– ab + b2
) ≡ a3
+ b3
(a-b) (a2
+ ab + b2
) ≡ a3
– b3
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
A continuación mencionaremos un resumen de
las principales identidades algebraicas donde
identificaremos los más importantes productos
notables:
01. Binomio al cuadrado:
* (a+b)2
= a2
+2ab+b2
*
PerfectoCuadradroTrinomio
2)ba(   
22 bab2a +−=−
02. Suma por diferencia:
* (a+b)(a - b)=
CuadradosdeDiferencia
ba 22
 −
03. Binomio al cubo:
dadesarrolla
Foma
bab3ba3a)ba(*
bab3ba3a)ba(*
32233
32233




−+−=−
+++=+
olladasemidesarr
Forma
)ba(ab3ba)ba(*
)ba(ab3ba)ba(*
333
333




−−−=−
+++=+
04. Binomio por trinomio:
cubosdeSuma
3322 bababa)ba(

+=



 +−+
*
cubosdediferencia
3322 bababa)ba(  −=



 ++−
05. Binomio con un término común:
* (x+a)(x+b)= x2
+(a+b)x+ab
06. Producto de binomios:
* (ax+b)(cx+d)=acx2
+(ad+bc)x+bd
07. Trinomio al cuadrado:
*
  
dadesarrollaForma
2222 bc2ac2ab2cba)cba( +++++=++
*
  
olladasemidesarrForma
2222 )bcacab(2cba)cba( +++++=++
08. Trinomio al cubo:
*(a+b+c)3
=a3
+b3
+c3
+3a2
b+3a2
c+3b2
a+3b2
c+3c2
a+
3c2
b+6abc
Forma desarrollada
* (a+b+c)3
= a3
+b3
+c3
+3(a+b)(a+c)(b+c)
Forma semidesarrollada
09. Polinomios de una variable
*(x+a)(x+b)(x+c)..............(n factores ) =
xn
+(Σa) xn - 1
+(Σab) xn - 2
+...+(abc...)
10. Identidades de Legendre:
* (a+b)2
+(a - b)2
= 2(a2
+b2
)
* (a+b)2
- (a - b)2
= 4(ab)
Corolario:
* (a+b)4
- (a - b)4
= 8 ab(a2
+b2
)
11. Identidades de Lagrande:
* (a2
+b2
)(x2
+y2
)= (ax+by)2
+(ay - bx)2
* (a2
+b2
+c2
)(x2
+y2
+z2
)=
(ax+by+cz)2
+(ay - bx)2
+(az - cx)2
+ (bz - cy)2
12. Identidad de Argan:
* (x2
+x+1) (x2
- x+1)= x4
+x2
+1
• Identidades auxiliares:
* a3
+b3
+c3
- 3 abc=
(a+b+c)(a2
+b2
+c2
- ab - ac - bc)
* a3
+b3
+c3
- 3 abc=
2
1
(a+b+c)[(a - b)2
+(c - a)2
+(b - c)2
* (a+b+c)3
=
a3
+b3
+c3
+3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3 abc
* (a+b+c)3
+2(a3
+b3
+c3
)=
3(a+b+c)(a2
+b2
+c2
)+6 abc
• Identidades condicionales:
I. Si a+b+c= 0; se demuestra que:
* a2
+b2
+c2
= - 2(ab+bc+ac)
* a3
+b3
+c3
= 3 abc
* a4
+b4
+c4
= 2(a2
b2
+a2
c2
+b2
c2
)
* a5
+b5
+c4
= - 5 abc (ab+ac+bc)
* (a2
+b2
+c2
)2
= 2 (a4
+b4
+c4
)
* (ab+aac+bc)2
= a2
b2
+a2
c2
+b2
c2
*
5
cba
2
cba
3
cba 555222333 ++
=







 ++







 ++
*
7
cba
2
cba
5
cba 777222555 ++
=







 ++







 ++
II. Si a2
+b2
+c2
= ab+bc+ac
Donde a, b, c ∈ R
Se demuestra que: a= b= c
III. Si: a2n
+b2n
+c2n
+...+m2n
=0
0m...cba n2n2n2n2 =++++
Donde n ε N, es posible sólo si:
a= b= c= .........= m= 0
PROBLEMAS EXPLICATIVOS 1
01.Sabiendo que: a - b= b - c= 7 7 . Determine
el valor numérico de:
70
)ba()cb()ca( 777 −+−+−
a) 10 b) 13 c) 2

d) 16 e) 12
Resolución:
Del dato:
)ca(
obtienesemiembros
ambosSumando
7ca
7cb
7ba
7
7
7
−
=−
=−
=−
Reemplazando:
70
7772
7
7
7
7
7
7




+



+




Efectuando obtenemos:
70
77)7(128 ++
70
)7(130
13
CLAVE “B”
02.Dadas las condiciones:
a2
+b2
+c2
= 2
(a+b+c)(1+ab+ac+bc)= 32
Calcule: a+b+c
a) 4 b) 3 32 c) 16
d) 64 e) 2
Solución:
Del dato:
a2
+b2
+ c2
= 2 ...............................(α)
(a+b+c)(2+2ab+2ac+2bc)= 64 .........(β)
(α)en(β):
64bc2ac2ab2cba)cba(
2
)cba(
222 =



 +++++=++
++
  
Luego: (a+b+c)3
= 64
Se concluye = a+b+c= 4
CLAVE “A”
03.Siendo:
ab= 110100 33 +−
322 101ba +=+
Determine el valor de (a - b)4
- (a+b)4
a) 44 b) 22 c) - 88
d) 45 e) 88
Solución:
Se solicita: (a - b)4
- (a+b)4
= - 8ab(a2
+b2
)
Reemplazando datos:
88E
)101(8E
1001011018)ba()ba( 33344
−=
+−=




 +−



 +−=+−−   
CLAVE “C”
04.Siendo a ≠ b ≠ c.
a+b+c=
)ba)(ac(
1
)ac)(cb(
1
)cb)(ba(
1
−−
+
−−
+
−−
Determine el valor numérico de:
E=(a+b)3
+(b+c)3
+(c+a)3
+3 abc
a) 1 b) 3 c) 0
d)
c
ba +
e) - 1
Solución:
Dato: a+b+c= 0
Luego: E=(a+b)3
+(b+c)3
+(c+a)3
+3 abc
E= - c3
- a3
- b3
+ 3abc
E= - (a3
+b3
+c3
)+ 3abc
E= - 3 abc + 3 abc= 0
CLAVE “C”
05.Siendo a3
+b3
+c3
= 4 abc
Además: a2
+b2
+c2
= ab+ac+bc+1 ∧ abc ≠ 0
Reducir:






++−




 +
+
+
+
+
c
1
b
1
a
1
c
ba
b
ca
a
cb
a) - 1 b) - 3 c) 0
d) - 2 e) 3
Solución:
Del dato:
abcabc3cba
GaussPor
333 =−++    ................. (α)
=−++ abc3cba
333
  
1
222
bcacabcba)cba( 




 −−−++++
Luego: a3
+b3
+c3
- 3 abc= a+b+c ......(β)
Reemplazando (β) en (α) tenemos:
a+b+c= abc, luego:
3)abacbc()1ab1ac1bc(
solicitanquelo
eneplazandoRe
)1ac(bca
)1bc(acb
)1ab(cba
−=++−−+−+−





−=+
−=+
−=+
CLAVE “B”
06.Si se cumple que: a3
+ b3
+ c3
= 0, simplificar:
)ca(c)bc(b)ab(a
abc3
−+−+−
; abc ≠ 0
a) a+b+c b) abc
c) ab+bc+ac d) 0
e) a2
+b2
+c2
Solución:
Se solicita:




 −−−++− acbcabcba
abc3
222
acbcabcba
abc3cba
222
333
−−−++
−++
a+b+c
CLAVE “A”
07.Siendo: a + 4b + 9c= 0
Según ello reducir:
ac
)ac3(
bc
)c3b2(
ab
)b2a( 222 −
+
−
+
−
a) abc b) 14 c) - 14
d) - 36 e) a+b+c
Solución:
La expresión a reducir es:
ac
ac6ac9
bc
bc12c9b4
ab
ab4b4a 222222 −+
+
−+
+
−+
6
c
a
a
c9
12
b
c9
c
b4
4
a
b4
b
a
−++−++−+

b
c9a
c
b4a
a
c9b4 +
+
+
+
+
= - 22
(- 1) + (- 9) + (- 4) - 22
- 36
CLAVE “D”
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si x + 5=1−x . Halle 5−5 + xx
1.1 Si 8=
+
+
2−2
4−4
aa
aa
. Hallar E = 1−+aa
02. Si 0=8+8+2 xx . Hallar :
E = (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7)
2.1 Si x = 3
3+2 + 3
3−2 . Hallar :
E = 12+3−3 xx
03. Si : a + b = 3 y ab = 2
Halle : N =
22
33
+
+
ba
ba
3.1 Si 2=
4
+
x
y
y
x
x , y ≠ 0
Calcular :
E =
yx
yx
yx
yx
2+3
2−5
−
2+
2+5
04. Si a > 0. Hallar
E = 1−
1−2−1+2
1−−1+
22
44
)a()a(
)a()a(
4.1 Si (a + b) = 1 . Halle :
6 )ba( 22 + - 4 )ba( 33 −
05. Si 7=+ 1−xx . Hallar :
M = 8 1−8
− xx
5.1 Si 11=





+





nn
a
b
b
a
Hallar : E =
n
nn
)ab(
ba −
a > b
06. Simplificar :
E =
16
257753+1−21+2 ...)()(
6.1 Simplificar :
E = 16 162−681797135 )()()(
07. Si 3=+ 1−xx . Halle 3−3 − xx
7.1 Si : x + y = y2+54 ∧ xy = 5
Calcular e = 22 −yx si x,y ∈ R+
08. Efectuar : (x+2)2
– 2(x+1)2
+ x2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) –1
09. Reducir : 33
)21(14)22(5 +−+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Calcular :
( )( )532532 −+++
a) 2 2 b) 2 3 c) 2 6 d) 2 e)
3
11. Reducir:
4 84422
b)ba)(ba)(ba)(ba( +−+++
a) a b) b2
c) a2
d) b e) ab
12. Hallar :
33
2142021420K −++=
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
13. Efectuar : (x2
+5x+5)2
– (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Reducir : (a+b+c)3
– (a+b)3
– 3(a+b+c)(a+b)c
a) a3
b) b3
c) c3
d) 2a3
e) 2b3
15. Efectuar :
(a+b+c)(a+b+d)+(b+c+d)(a+c+d) – (a+b+c+d)2
a) ab+cd b) ac+bd c) ad+bc
d) a2
+b2
+c2
+d2
e) (a+b) (c+d)
16. Hallar la raíz cuadrada de :
(a+b+c)4
– 4(ab+bc+ac)(a2
+b2
+c2
+ab+ac+bc)
a) a2
+b2
+c2
b) ab+bc+ca c) a2
+bc
d) b2
+ac e) c2
+ab
17. Sabiendo que : a+b+c = 4
a2
+b2
+c2
= 6
Hallar : ab+ac+bc
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
18. Conociendo que : ax+by = 8
ay – bx = 6
a2
+b2
= 5
Calcule : x2
+y2
a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25
19. Si a+b+c = 3
a3
+b3
+c3
= 9
obtener : N = (a+b)(b+c)(c+a)
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
20. Dados : x+y = 3
x3
+y3
= 9
Luego x.y resulta :
a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3
PRACTICA DE FIJACION DE APRENDIZAJE
01. Si las variables “x” e “y” verifican la igualdad de
x + y = 1 podemos afirmar que:
E = (x2
+ y) – (x – y2
) es equivalente a:
a) 1 b) –2 c) 0
d) 2 e) – 2
02. Si: x + x-1
= 3
Calcule: P = 2xx 22
++ −
a) 5 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a
03. Si : a + b = 5 ∧ a2
+ b2
= 17
Hallar: a – b , si a > b
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04. Simplificar:
M = (x – 1) (x + 3) (x + 1)+(x – 1) (x – 2) (x+ 4)
– 2(x + 3) (x +1) (x – 2)
a) 0 b) x + 7 c) x – 7
d) 7 – x e) – (x + 7)
05. Si:
a + b + c = 3 ............................ (α)
a2
+ b2
+ c2
= 9 ........................ (β)
Calcular:
E = (a + b)2
+ (a + c)2
+ (b + c)2
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 21
06. Empleando equivalencia algebraica, encuentre el
equivalente de:

S = 1257x17x5x3 +
a) 256 b) 128 c) 64
d) 32 e) 16
07. Si: x + x-1
= 1. Calcular:
F =
22 xx 33
xx
−+ −
+
a) –2-1
b) 2 c) – 2
d) 20
e) 2-1
08. Simplificar la expresión:
E =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
8
93
929
9
83
828
1x
1xx1x
1x
1xx1x










+
+−+










−
++−
a) (x + 1)17
b) (x – 1)17
c) x17
d) x e) 1
09. Calcule M y N, si se sabe que son enteros, a partir
de: 10022
+ 1022
= 2(M2
+N2
)
a) 502 y 405 b) 552 y 450 c) 550 y 402
d) 562 y 452 e) N.a
10. Si se cumple que: 7
a
b
b
a
=+
Calcule:
a
b
b
a
+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a
11. Efectuar :
( )( )23612361 −−++++
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Si: 1
x
1
x =− . Calcular:
R = 





−





+
3
3
2
2
x
1
x
x
1
x
a) 8 b) 6 c) 4
d) 12 e) 16
13. Sabiendo que:
(3b+a)2
≡ 3[(a+b)2
– (b – a)2
]
Calcule:
ba
ba5
E
−
+
=
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) N.a
14. Reducir:
N = (a + b + c)2
+ (a + b – c)2
– 4(a – b)2
+ 2(a
+ b + c) (a + b - c)
a) 0 b) 4ab c) 8ab
d) – 1 e) 1bab
15. Si se cumple que:
a + b = 3 y ab = -2
Determinar el valor de a5
+b5
a) 243 b) 191 c) 573
d) 373 e) 753
16. A partir de: x4
+ x-4
= 47
Calcular: P = x + x-1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
17. Si se cumple que:
(x+y+z+w)2
= 4(x+y) (z+w)
Calcule el valor de:
( )












=
− −+ + )zx(3 yw)yx(5 )wz(
832E
a) 2 b) 20
c) 22
d) 23
e) N.a
18. Encontrar el valor numérico de:
M = x3
+ 3x - 4 2
Si: x = 33
8383 −−+
a) 1 b) 2 c) 0
d) – 1 e) – 2
19. Si: 0zyx
333
=++ . Calcular:
G =
( )
xyz
zyx 3
++
a) 1 b) 1/3 c) 9
d) 27 e) 13
20. Si se cumple:
(x+a) (x+b) )(x+c) ≡ x3
+ 3x2
+ 3x + 2
Obtener el valor de:
K =
abc
cba 222
++
a) 3/4 b) 3/2 c) 2/3
d) 4/3 e) 1

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