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Juana Pinto
22.319.488
Estructura Discreta
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Estructura Discretas I:
Leyes del Algebra
Participante: Juana Pinto
C.i: 22.319.488
Prof.: Domingo Mendez
Noviembre de 2016
Juana Pinto
22.319.488
Estructura Discreta
Algebras de Proposicionales
Son las expresiones que se obtiene a partir de variables proposicionales: p., q, r. entre otras,
mediante aplicaciones de los conectivos lógicos, se llaman formas proposicionales, esta se
denotará con letras mayúsculas A, B, C,… en caso de que se quiera enfatizar las variables que
intervienen en las funciones proposicionales se escribirá así: A(p, q); B(p1,p2,p3), etc.
Ejemplo
Son formas preposicionales las siguientes expresiones
1. ( ) [ ( )]
2. ( ) ( )
3. ( ) [ ( ( ))]
Para ser precisos, se define forma proposicional como una expresión que se obtiene siguiendo las
siguientes reglas:
1. Todas las variables proposicionales son formas proposicionales. A estas las llamaremos
formas proposicionales atómicas.
2. Si A y B son formas proposicionales, entonces también lo son:
Signos de agrupación
Los signos de agrupación, paréntesis, corchetes, etc., son usados en la construcción de formas
proposicionales para evitar las ambigüedades. Asó, los paréntesis permiten diferenciar las dos
formas:
( ) ( )
Que tiene significaciones distintas. En ( ) , la conectiva principal es . En cambio, en la
forma ( ) la conectiva principal es .
Se llama conectiva principal de un forma proposicional (no atómica) a la última conectiva que se
usó para construir dicha forma proposicional. Así, en ( ) la conectiva principal es . En
cambio, en ( ) es y en ( ) es .
Con el objeto de aligerar la escritura, se adoptan las siguientes convenciones que permiten
eliminar algunos signos de agrupación sin caer en ambigüedades.
Juana Pinto
22.319.488
Estructura Discreta
Convención 1: asignamos el siguiente rango a cada conectiva
Rango 4
Rango 3
Rango 2
Rango 1
Además, se establece que el rango de una forma proposicional atómica es 0 y que el rango de una
forma proposicional no atómica es el rango de su conectiva principal.
Así, ( ) es de rango 2, ( ) es de rango 1 y , ( ) es de rango 4.
Convención 2: Se escribirá, en lugar de , ( )
Convención 3: Si una forma proposicional es de la forma (A) α B, donde α representa a una de las
conectivas , y si el rango α es mayor que el rango de A, entonces se escribe AαB en
lugar de (A) α B.
Similarmente, si se tiene A α (B) y el rango de α es mayor que B, entonces se escribe A α B en
lugar de A α (B).
Ejemplo
a. ( ) se puede escribir así:
En efecto, como el rango de es mayor que el de , los paréntesis pueden suprimirse.
b. ( ( ) puede escribirse así:
En efecto, como el rango es mayor que el de y el de , los dos juegos de paréntesis
pueden ser suprimidos.
c. [( ) ] [ ( ) ] se puede escribir así: ( )
En efecto, como el rango de es mayor que el rango de las preposiciones de ambos extremos,
los dos pares de corchetes pueden ser eliminados.
Ejemplo
Colocar los signos de agrupación a la siguiente forma proposicional
( )
Solución
El conectivo de mayor rango es , entonces agrupamos del modo siguiente
Juana Pinto
22.319.488
Estructura Discreta
[ ] [ ( )]
Además, como el conectivo de mayor rango en ( ) ,esta última expresión se agrupa
así:
( ) ( ( ))
Finalmente se tiene
[ ] [( ) ( ( ))]
Tabla de la Verdad de Formas Proposicionales
Como cada forma proposicional está definida únicamente mediante operaciones veritativas,
el valor lógico de una forma proposicional depende únicamente de los valores lógicos que se
asigne a sus variables proposicionales. Para el cálculo de este valor se usan las tablas de la
verdad.
Ejemplo
Construir la tabla de la verdad de la proposición ( )
Solución
Existen dos métodos: el acumulativo y el abreviado
Método Acumulativo
Se asigna una columna para cada variable proposicional y una columna para cada operación
indicada, conservando el orden en que estas se llevaron a cabo.
En el caso ( ) , la primera operación que se llevó a cabo fue la negación, siguió la
disyunción y luego el bicondicional.
p q ( )
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
Juana Pinto
22.319.488
Estructura Discreta
El orden en que se asignan los valores lógicos a las variables proposicionales p y q es
arbitrario. Sin embargo, conviene en mantener el orden en que aparecen en las dos primeras
columnas.
Método Abreviado
Este es el método que más se usa, ya que permite ahorrar tiempo y espacio, como primer paso
se escribe directamente la forma proposicional asignando inmediatamente valores lógicos a
las variables proposicionales (nivel 1) y a las negaciones de éstas (nivel 2). Luego se asignan
los valores a las conectivas conservando el orden en que éstas se usaron para construir la
forma proposicional. Así:
p q ( )
1 1 1 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
1 1 3 2 4
Tautologías y Contradicciones
Tautología: es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se
le asigne a sus variables proposicionales. En otras palabras, una forma proposicional es una
tautología si en su tabla de verdad, la columna bajo su conectiva principal está formada solo
por “unos”.
Contradicción: es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le
asigne a sus variables proposicionales, o sea, si la columna bajo su conectiva principal está
formada solo por “ceros”.
Ejemplo
( ) es una tautología. En efecto:
p q ( )
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
1 1 2 3
Juana Pinto
22.319.488
Estructura Discreta
Es claro que [( ) ], por ser la negación de la tautología anterior, es una
contradicción.
Ejemplo
, es una tautología y es una contradicción
1 0 1
0 1 1
0 1 0
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A las tautologías se les llama también leyes de la lógica.

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  • 1. Juana Pinto 22.319.488 Estructura Discreta UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Estructura Discretas I: Leyes del Algebra Participante: Juana Pinto C.i: 22.319.488 Prof.: Domingo Mendez Noviembre de 2016
  • 2. Juana Pinto 22.319.488 Estructura Discreta Algebras de Proposicionales Son las expresiones que se obtiene a partir de variables proposicionales: p., q, r. entre otras, mediante aplicaciones de los conectivos lógicos, se llaman formas proposicionales, esta se denotará con letras mayúsculas A, B, C,… en caso de que se quiera enfatizar las variables que intervienen en las funciones proposicionales se escribirá así: A(p, q); B(p1,p2,p3), etc. Ejemplo Son formas preposicionales las siguientes expresiones 1. ( ) [ ( )] 2. ( ) ( ) 3. ( ) [ ( ( ))] Para ser precisos, se define forma proposicional como una expresión que se obtiene siguiendo las siguientes reglas: 1. Todas las variables proposicionales son formas proposicionales. A estas las llamaremos formas proposicionales atómicas. 2. Si A y B son formas proposicionales, entonces también lo son: Signos de agrupación Los signos de agrupación, paréntesis, corchetes, etc., son usados en la construcción de formas proposicionales para evitar las ambigüedades. Asó, los paréntesis permiten diferenciar las dos formas: ( ) ( ) Que tiene significaciones distintas. En ( ) , la conectiva principal es . En cambio, en la forma ( ) la conectiva principal es . Se llama conectiva principal de un forma proposicional (no atómica) a la última conectiva que se usó para construir dicha forma proposicional. Así, en ( ) la conectiva principal es . En cambio, en ( ) es y en ( ) es . Con el objeto de aligerar la escritura, se adoptan las siguientes convenciones que permiten eliminar algunos signos de agrupación sin caer en ambigüedades.
  • 3. Juana Pinto 22.319.488 Estructura Discreta Convención 1: asignamos el siguiente rango a cada conectiva Rango 4 Rango 3 Rango 2 Rango 1 Además, se establece que el rango de una forma proposicional atómica es 0 y que el rango de una forma proposicional no atómica es el rango de su conectiva principal. Así, ( ) es de rango 2, ( ) es de rango 1 y , ( ) es de rango 4. Convención 2: Se escribirá, en lugar de , ( ) Convención 3: Si una forma proposicional es de la forma (A) α B, donde α representa a una de las conectivas , y si el rango α es mayor que el rango de A, entonces se escribe AαB en lugar de (A) α B. Similarmente, si se tiene A α (B) y el rango de α es mayor que B, entonces se escribe A α B en lugar de A α (B). Ejemplo a. ( ) se puede escribir así: En efecto, como el rango de es mayor que el de , los paréntesis pueden suprimirse. b. ( ( ) puede escribirse así: En efecto, como el rango es mayor que el de y el de , los dos juegos de paréntesis pueden ser suprimidos. c. [( ) ] [ ( ) ] se puede escribir así: ( ) En efecto, como el rango de es mayor que el rango de las preposiciones de ambos extremos, los dos pares de corchetes pueden ser eliminados. Ejemplo Colocar los signos de agrupación a la siguiente forma proposicional ( ) Solución El conectivo de mayor rango es , entonces agrupamos del modo siguiente
  • 4. Juana Pinto 22.319.488 Estructura Discreta [ ] [ ( )] Además, como el conectivo de mayor rango en ( ) ,esta última expresión se agrupa así: ( ) ( ( )) Finalmente se tiene [ ] [( ) ( ( ))] Tabla de la Verdad de Formas Proposicionales Como cada forma proposicional está definida únicamente mediante operaciones veritativas, el valor lógico de una forma proposicional depende únicamente de los valores lógicos que se asigne a sus variables proposicionales. Para el cálculo de este valor se usan las tablas de la verdad. Ejemplo Construir la tabla de la verdad de la proposición ( ) Solución Existen dos métodos: el acumulativo y el abreviado Método Acumulativo Se asigna una columna para cada variable proposicional y una columna para cada operación indicada, conservando el orden en que estas se llevaron a cabo. En el caso ( ) , la primera operación que se llevó a cabo fue la negación, siguió la disyunción y luego el bicondicional. p q ( ) 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
  • 5. Juana Pinto 22.319.488 Estructura Discreta El orden en que se asignan los valores lógicos a las variables proposicionales p y q es arbitrario. Sin embargo, conviene en mantener el orden en que aparecen en las dos primeras columnas. Método Abreviado Este es el método que más se usa, ya que permite ahorrar tiempo y espacio, como primer paso se escribe directamente la forma proposicional asignando inmediatamente valores lógicos a las variables proposicionales (nivel 1) y a las negaciones de éstas (nivel 2). Luego se asignan los valores a las conectivas conservando el orden en que éstas se usaron para construir la forma proposicional. Así: p q ( ) 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 3 2 4 Tautologías y Contradicciones Tautología: es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales. En otras palabras, una forma proposicional es una tautología si en su tabla de verdad, la columna bajo su conectiva principal está formada solo por “unos”. Contradicción: es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales, o sea, si la columna bajo su conectiva principal está formada solo por “ceros”. Ejemplo ( ) es una tautología. En efecto: p q ( ) 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 2 3
  • 6. Juana Pinto 22.319.488 Estructura Discreta Es claro que [( ) ], por ser la negación de la tautología anterior, es una contradicción. Ejemplo , es una tautología y es una contradicción 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 A las tautologías se les llama también leyes de la lógica.