3. Objetivos:
Entender el significado de factorizar polinomios.
Utilizar los diversos criterios para factorizar.
Objetivos:
Resolver problemas diversos con la ayuda de la factorización.
4. DIVIDE Y VENCERÁS
Una frase que se puede aplicar en muchos contexto de
la vida pero hoy nos centraremos en el contexto de las
matemáticas. La técnica divide y vencerás consiste en:
1. Descomponer un problema en un conjunto de subproblemas
más pequeños.
2. Se resuelven estos subproblemas.
3. Se combinan las soluciones para obtener la solución para el
problema original.
5. Un polinomio está definido sobre ℤ si todos sus
coeficientes pertenecen a ℤ
Ejemplos
1. 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥6
−5𝑥𝑥4
+ 7
𝑃𝑃 𝑥𝑥 está definido sobre ℤ ,
2. 𝐹𝐹 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥5
+6𝑥𝑥2
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2
+ 8
𝐹𝐹 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 está definido sobre ℤ , pues {3; 6; −1; 8} ⊂ ℤ
3. 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥4+ 3𝑥𝑥2 + 2
𝑄𝑄 𝑥𝑥 NO está definido sobre ℤ , pues {5; 3; 2} ⊄ ℤ
II. FACTOR
Es importante mencionar que trabajaremos
solamente con polinomios definidos sobre ℤ.
𝑓𝑓 𝑥𝑥 es factor de 𝑃𝑃 𝑥𝑥 si:
⋄ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es de grado 1 a más.
⋄
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
es exacta (𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 0)
Ejemplos
1. ¿ 𝑥𝑥 − 1 es factor de 𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥2 + 3?
⋄ 𝑥𝑥 − 1 es de grado 1
⋄ ¿
𝑥𝑥5
− 4𝑥𝑥2
+ 3
𝑥𝑥 − 1
es exacta?
Por el teorema del resto.
𝑥𝑥 − 1 = 0 𝑥𝑥 = 1
Reemplazando en: 𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥2 + 3
𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 1 − 4 + 3 = 0 es EXACTA
𝑥𝑥 = 1
DEFINICIONES PREVIAS
I. POLINOMIO DEFINIDO SOBRE ℤ
pues {2; – 5; 7} ⊂ ℤ
6. 𝟐𝟐. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 5)
sus factores son:
𝑥𝑥 + 4
𝑥𝑥 + 5
(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 5)
𝟑𝟑. 𝑀𝑀(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)2(𝑥𝑥 − 7)
𝑥𝑥 + 3
(𝑥𝑥 + 3)2
𝑥𝑥 − 7
(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 7)
(𝑥𝑥 + 3)2(𝑥𝑥 − 7)
III. FACTOR PRIMO (F.P.)
𝑓𝑓 𝑥𝑥 es un factor primo de 𝑃𝑃 𝑥𝑥 si se cumple lo
siguiente:
⋄ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es un factor de P(x).
⋄ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 no se puede expresar como producto de
factores.
Observación:
Todo polinomio lineal no se puede expresar
como producto de factores.
Ejemplos
𝟏𝟏. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 5)
sus factores primos son:
𝑥𝑥 + 4,
𝑥𝑥 + 5
𝟐𝟐. 𝑀𝑀(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)2
(𝑥𝑥 − 7)
sus factores primos son:
𝑥𝑥 + 3
𝑥𝑥 − 7
sus factores son:
∴ 𝑥𝑥 − 1 es factor de 𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥2 + 3.
7. Observación 2
Los polinomios de la forma 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂 (𝑎𝑎 > 0)
no pueden expresarse como producto de sus
factores. Ejemplos
𝑥𝑥2 + 1, 𝑥𝑥2 + 4, 𝑥𝑥2+ 7, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2, . . .
𝟑𝟑. 𝑀𝑀(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 + 1)(2𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 5)
Sus factores primos son:
𝑥𝑥2
+ 1, 2𝑥𝑥 − 3, 𝑥𝑥 + 5
Observación 3
Si 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓𝒎𝒎
𝑥𝑥 . 𝑔𝑔𝒏𝒏
𝑥𝑥 y 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑔𝑔 𝑥𝑥 no se
pueden descomponer, entonces 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑔𝑔 𝑥𝑥
son sus factores primos
𝟒𝟒. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 4)𝟑𝟑
(𝑥𝑥2
+ 3)𝟐𝟐
Sus factores primos son:
𝑥𝑥 − 4, 𝑥𝑥2
+ 3
Es el proceso mediante el cual el polinomio es
expresado como una multiplicación indicada y/o
potencias de sus FACTORES PRIMOS.
Ejemplos
𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 7)
Polinomio Factores primos
𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 − 7
𝑥𝑥2 − 16 (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 4) 𝑥𝑥 + 4 , 𝑥𝑥 − 4
𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2 (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 + 2 , 𝑥𝑥 + 1
𝑥𝑥 + 3 (𝑥𝑥2 − 9) 𝑥𝑥 + 3 2(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 + 3 , 𝑥𝑥 − 3
FACTORIZACIÓN
Factorizado
8. Criterio del factor común
𝟏𝟏. Factorice 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥3
Se extrae “𝑥𝑥” con el menor exponente:
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3
Sus factores primos son: 𝑥𝑥 , 2𝑥𝑥 + 5
2. Factorice 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥5𝑦𝑦3 + 𝑥𝑥4𝑦𝑦4 + 𝑥𝑥4𝑦𝑦3
= 𝑥𝑥4 𝑦𝑦3
(2𝑥𝑥 + 5)
(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1)
Sus factores primos son: 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦
, , (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1)
CRITERIOS PARA FACTORIZAR
Consiste en extraer la(s) variable(s) y/o
constante(s) con el menor exponente que se
repite en todo el polinomio.
Ejemplos
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥3
x3
Se extrae “𝑥𝑥” e “𝑦𝑦” con su menor exponente: 𝑥𝑥4 𝑦𝑦3
𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 + 𝑥𝑥4𝑦𝑦𝑦𝑦3 + 𝑥𝑥4𝑦𝑦3
𝟑𝟑. Factorice 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 4
Se extrae lo común:
𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2
Sus factores primos son: 𝑥𝑥 + 2, 2𝑥𝑥 + 7
( 𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 4 )
𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 4
𝑥𝑥 + 2
𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 (2𝑥𝑥 + 7)
